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Statistics版 - 请教: Var(Xi-X-bar) 等于Var(Xi) 吗?
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d*****y
发帖数: 26
1
请问 Var(Xi-X-bar) 怎么求?X-bar是Xi的均值。
我想用以下方法:
Var(Xi-X-bar)=Var(Xi)+Var(X-bar)-2Cov(Xi,X-bar)
但Cov(Xi,X-bar)又怎么求?
如果我展开Var(Xi-X-bar):
Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
.+Xn)]=(1-1/n)^2*S^2+(1/n)^2*(n-1)*S^2=(1-1/n)S^2
如果我直接用方差计算公式:
Var(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2
和上面得出的不一样
不明白正确的计算方法是什么,还有以上两种方法之一错在哪里?
多谢指教
c*****m
发帖数: 4817
2
你好象对随机变量,方差,样本,样本方差的概念有些混淆

..

【在 d*****y 的大作中提到】
: 请问 Var(Xi-X-bar) 怎么求?X-bar是Xi的均值。
: 我想用以下方法:
: Var(Xi-X-bar)=Var(Xi)+Var(X-bar)-2Cov(Xi,X-bar)
: 但Cov(Xi,X-bar)又怎么求?
: 如果我展开Var(Xi-X-bar):
: Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
: .+Xn)]=(1-1/n)^2*S^2+(1/n)^2*(n-1)*S^2=(1-1/n)S^2
: 如果我直接用方差计算公式:
: Var(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2
: 和上面得出的不一样

d*****y
发帖数: 26
3
谢谢指教,我是搞混了,更正为:
如果我展开Var(Xi-X-bar):
Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
.+Xn)]=(1-1/n)^2*Var(X)+(1/n)^2*(n-1)*Var(X)=(1-1/n)Var(X)
如果我直接用方差计算公式:
S^2(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2(X)
根据以上两个结果,E[S^2(Xi-X-bar)]就不等Var(Xi-X-bar),所以我还是不明白,请
继续指教,多谢

【在 c*****m 的大作中提到】
: 你好象对随机变量,方差,样本,样本方差的概念有些混淆
:
: ..

t****r
发帖数: 702
4
S^2(X) is an unbiased estimator for Var(X), that is, E(S^2)=Var(X)
Var(Xi-Xbar) NOT Equal to Var(Xi) because Xi is part of Xbar; In other
words, Xi-Xbar is more centeralized than Xi and hence has smaller variance

..

【在 d*****y 的大作中提到】
: 谢谢指教,我是搞混了,更正为:
: 如果我展开Var(Xi-X-bar):
: Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
: .+Xn)]=(1-1/n)^2*Var(X)+(1/n)^2*(n-1)*Var(X)=(1-1/n)Var(X)
: 如果我直接用方差计算公式:
: S^2(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2(X)
: 根据以上两个结果,E[S^2(Xi-X-bar)]就不等Var(Xi-X-bar),所以我还是不明白,请
: 继续指教,多谢

l*******s
发帖数: 12
5

Cov(Xi, X_bar)
= Cov(Xi, (X1+X2+...+Xn)/n)
= Cov(Xi, Xi/n) + Cov(Xi, X1/n) + ... + Cov(Xi, Xn/n)
Assuming X1, X2, ... Xn iid => Cov(Xi, Xj) = 0 for j != i
= Cov(Xi, Xi/n)
= Var(Xi)/n
So Var(Xi-X_bar) = (1-1/n)Var(Xi)
..

【在 d*****y 的大作中提到】
: 请问 Var(Xi-X-bar) 怎么求?X-bar是Xi的均值。
: 我想用以下方法:
: Var(Xi-X-bar)=Var(Xi)+Var(X-bar)-2Cov(Xi,X-bar)
: 但Cov(Xi,X-bar)又怎么求?
: 如果我展开Var(Xi-X-bar):
: Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
: .+Xn)]=(1-1/n)^2*S^2+(1/n)^2*(n-1)*S^2=(1-1/n)S^2
: 如果我直接用方差计算公式:
: Var(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2
: 和上面得出的不一样

c*****m
发帖数: 4817
6
你既然想计算xi-xbar的variance,这里xi就是作为一个随机变量。
第一个计算是对的,之前你混淆了variance和sample variance,后来改过来了。
第二个问题很大,你的xi是random variable,所以你才能计算它的variance,
但后面x1,x2 .. xn又变成了xi的sample,很混乱。

..

【在 d*****y 的大作中提到】
: 谢谢指教,我是搞混了,更正为:
: 如果我展开Var(Xi-X-bar):
: Var(Xi-X-bar)=Var[Xi-(X1+X2+...+Xn)/n]=Var[(1-1/n)Xi-1/n(X1+...+Xi-1+Xi+1+..
: .+Xn)]=(1-1/n)^2*Var(X)+(1/n)^2*(n-1)*Var(X)=(1-1/n)Var(X)
: 如果我直接用方差计算公式:
: S^2(Xi-X-bar)=[(X1-Xbar)^2+...+(Xn-Xbar)^2]/(n-1)=S^2(X)
: 根据以上两个结果,E[S^2(Xi-X-bar)]就不等Var(Xi-X-bar),所以我还是不明白,请
: 继续指教,多谢

d*****y
发帖数: 26
7
我终于懂了,多谢指点!

【在 c*****m 的大作中提到】
: 你既然想计算xi-xbar的variance,这里xi就是作为一个随机变量。
: 第一个计算是对的,之前你混淆了variance和sample variance,后来改过来了。
: 第二个问题很大,你的xi是random variable,所以你才能计算它的variance,
: 但后面x1,x2 .. xn又变成了xi的sample,很混乱。
:
: ..

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