q*****g
发帖数: 1568 | 1 给你个trivial的例子：f(x)==0, 呵呵。
不过我估计那个不是那样理解的，是把它拆成两维实数空间而言。
根据scalar构成的域不同，同样的集合可以是完全不同的线性空间。
C可以看作是over C的线性空间，那么它是一维的；也可以看作是
over R的VS, 那么是2维的；还可以看作是over Q（有理数）的，
那么它居然就变成一个无穷维线性空间了。这些搞分析的人往往
不大care，这个习惯很不好。 | q*****g
发帖数: 1568 | 2 我们说的是一个东西. 我后来举的C的例子是个最简单的特例而已.
任何一个线性空间都是建立在某个特定的域上的线性空间, 同样一
个集合, over不同的数域会导致不同的线性性质. 我给你的例子
就是一个集合C, 在看作C, R, Q三个不同的域之上可以具有不同的
线性结构.
线性空间这个范畴上有同态的概念, 就是说两个线性空间X和Y
之间的一个函数f, s.t. f(ax1+x2)=a*f(x1)+f(x2)
但是很多搞分析的人都不大注意这一点: 同态必须是两个建立在
同样的域上的线性空间之间的同态. 比如说, Z_5是一个有限域,
它也是在其自身上的一个一维线性空间, 我们就无法找到一个非
平凡的从它到R的同态.
所谓的范函, 就是从一个给定的线性空间X到R或者C上的同态.
所以严格来说, 的确不存在非平凡的从复线性空间到R的同态.
但是搞分析的一般还是用这个错误的概念, 只是潜意识中把
X换成是over R而已. 反正R是C的子域, X over R肯定是well defined.
关于维数.
维数是由线性结构唯一确定的数字指标. 构造方法大致如下(你可以去
查书):
1. 定义线性 |
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