r*******g
发帖数: 53 | 1 给定一个累积密度分布函数F(x), x>0。
对于任意实数a，
积分｛a*g(x)-g(ax)｝dF(x) = 0
请问：非负函数g(x)是不是一定是线性函数？ |
x******a
发帖数: 6336 | 2 no genius.
not true.
counterexample.
suppose F(X) is the cdf of standard normal and g(x)=x^{2n+1}.
or extreme case. F is the heaviside function, g sastifies g(0)=0.
【在 r*******g 的大作中提到】
: 给定一个累积密度分布函数F(x), x>0。
: 对于任意实数a，
: 积分｛a*g(x)-g(ax)｝dF(x) = 0
: 请问：非负函数g(x)是不是一定是线性函数？
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r*******g
发帖数: 53 | 3 xiaojiya， 多谢多谢。
抱歉的是，我漏掉了一个条件，x非负的。g(x)也是一个非负函数。 |
r*******g
发帖数: 53 | |
N***m
发帖数: 4460 | 5 由于a任意性可知ag(x)=g(ax)，然后显然线性
【在 r*******g 的大作中提到】
: 这个题目真的很难？
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r*******g
发帖数: 53 | 6 a的任意性也不能直接就推理出“ag(x)=g(ax)” 吧？
【在 N***m 的大作中提到】
: 由于a任意性可知ag(x)=g(ax)，然后显然线性
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N***m
发帖数: 4460 | 7 如果g(x)是正常函数的话，应该成立的吧？
【在 r*******g 的大作中提到】
: a的任意性也不能直接就推理出“ag(x)=g(ax)” 吧？
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r*******g
发帖数: 53 | 8 数学讲严谨性吧，所以需要y个严格证明。什么是正常函数？ |
p**********d
发帖数: 7918 | 9 數學菜鳥說一個：這個g如果可導的話直接對a求導，可得g'(ax)x的積分恆等於g(x)的
積分，不管a為多少。
【在 r*******g 的大作中提到】
: 给定一个累积密度分布函数F(x), x>0。
: 对于任意实数a，
: 积分｛a*g(x)-g(ax)｝dF(x) = 0
: 请问：非负函数g(x)是不是一定是线性函数？
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r*******g
发帖数: 53 | |
N***m
发帖数: 4460 | 11 我是这么想的：
和F'(x)正交的函数是可数的吧，如果a任意的话，被积部分显然为0。
【在 r*******g 的大作中提到】
: 数学讲严谨性吧，所以需要y个严格证明。什么是正常函数？
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