c*******d
发帖数: 255 | 1 我们知道H^1_0的dual space被定义为H^{-1}，
那么H^1_{0, \Gamma_0}的dual space是什么？还是H^{-1}吗？
其中H^1_{0, \Gamma_0}只在\Omega的一部分边界\Gamma_0是0.
或者换一个问题，任取一个H^{-1}里的函数u, 如下线性泛函
= \int_{\Omega} u v for any v \in H^1_{0,\Gamma_0}
是不是一定也是H^1_{0,\Gamma_0}的有界线性泛函？ | q********e
发帖数: 1255 | 2 呵呵，当然不是了－－－ H^{-1}那样定义本质上是为了使得它的元素是distribution
，不定义在H^1_0上不行。 当然H^1_{0,\Gamma} 有dual，
只是它的元素不全是distribution。
【在 c*******d 的大作中提到】
: 我们知道H^1_0的dual space被定义为H^{-1}，
: 那么H^1_{0, \Gamma_0}的dual space是什么？还是H^{-1}吗？
: 其中H^1_{0, \Gamma_0}只在\Omega的一部分边界\Gamma_0是0.
: 或者换一个问题，任取一个H^{-1}里的函数u, 如下线性泛函
: = \int_{\Omega} u v for any v \in H^1_{0,\Gamma_0}
: 是不是一定也是H^1_{0,\Gamma_0}的有界线性泛函？
| c*******d
发帖数: 255 | 3 多谢解答
distribution的好处是什么？为什么要使H^{-1}的元素是distribution?
distribution
【在 q********e 的大作中提到】
: 呵呵，当然不是了－－－ H^{-1}那样定义本质上是为了使得它的元素是distribution
: ，不定义在H^1_0上不行。 当然H^1_{0,\Gamma} 有dual，
: 只是它的元素不全是distribution。
| q********e
发帖数: 1255 | 4 简单点，distritution扩展了函数的定义，通过研究函数作用在test function上的效
果而非研究函数本身使得更多的操作可以meaningfully defined。比如在distribution
意义下的多项式也可以定义fourier变换，比如在研究pde时经典意义下没法直接证明的
东西可以退一步研究distribution意义下的特性，然后考虑更高的regularity等等。
但distribution也要满足一定的性质，比如连续性等，才有意义。
distribution理论里的test function具有紧支集，它们在H_0^1中稠密，所以H_0^1上
的线性泛函都是distribution。而test function 一般而言在H^1_{0,\Omega}里不稠密
，所以后者上的线性泛函不全是distribution。比如一维情况下，假设你的H^1_{0,（0
，1）}包含所有在0点不必等零的函数\psi，那么(u,\psi)=\psi(0)定义一个非零线性
泛函u。 如果u是distribution，u作用在任何test funtion \phi\in D(
【在 c*******d 的大作中提到】
: 多谢解答
: distribution的好处是什么？为什么要使H^{-1}的元素是distribution?
:
: distribution
| c*******d
发帖数: 255 | 5 多谢！你这么一说我明白多了
distribution
（0
【在 q********e 的大作中提到】
: 简单点，distritution扩展了函数的定义，通过研究函数作用在test function上的效
: 果而非研究函数本身使得更多的操作可以meaningfully defined。比如在distribution
: 意义下的多项式也可以定义fourier变换，比如在研究pde时经典意义下没法直接证明的
: 东西可以退一步研究distribution意义下的特性，然后考虑更高的regularity等等。
: 但distribution也要满足一定的性质，比如连续性等，才有意义。
: distribution理论里的test function具有紧支集，它们在H_0^1中稠密，所以H_0^1上
: 的线性泛函都是distribution。而test function 一般而言在H^1_{0,\Omega}里不稠密
: ，所以后者上的线性泛函不全是distribution。比如一维情况下，假设你的H^1_{0,（0
: ，1）}包含所有在0点不必等零的函数\psi，那么(u,\psi)=\psi(0)定义一个非零线性
: 泛函u。 如果u是distribution，u作用在任何test funtion \phi\in D(
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