D******n
发帖数: 2965 | 1 称着老张的人气春风，再请教一个数学问题。
对于任意的一个函数 f: R to R, 是不是总存在一个one to one mapping g: R to R,
和weakly monotone 的函数 h: R to R, 使得 h(g(t))=f(t)？
貌似很简单的一个问题，但证明时候怎么都说不清楚 。有没有朋友帮忙看看？ |
y**k
发帖数: 222 | |
D******n
发帖数: 2965 | 3 想明白了，还是数学版上的人厉害。
是不是这么证的：假设可以。那给定某个t， g(t) 和g(-t) 一定map 到两个实数。因
为 h(g(t))=f(t)=f(-t)=h(g(-t)), 所以，h map 两个实数 g(t), g(-t) 到同一个数
，f(t). 因为h weakly monotone, 所以 h map 一个区间到 f(t). 但是这样的区间数
一定是可数，但 t>0 是不可数。而每一个t>0对应着不同的区间， 推出矛盾。
这样对吗？
【在 y**k 的大作中提到】
: 不行。考虑f(x)=x^2, 每个
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y**k
发帖数: 222 | 4 我是这么想的。
【在 D******n 的大作中提到】
: 想明白了，还是数学版上的人厉害。
: 是不是这么证的：假设可以。那给定某个t， g(t) 和g(-t) 一定map 到两个实数。因
: 为 h(g(t))=f(t)=f(-t)=h(g(-t)), 所以，h map 两个实数 g(t), g(-t) 到同一个数
: ，f(t). 因为h weakly monotone, 所以 h map 一个区间到 f(t). 但是这样的区间数
: 一定是可数，但 t>0 是不可数。而每一个t>0对应着不同的区间， 推出矛盾。
: 这样对吗？
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y**k
发帖数: 222 | 5 我是这么想的。
【在 D******n 的大作中提到】
: 想明白了，还是数学版上的人厉害。
: 是不是这么证的：假设可以。那给定某个t， g(t) 和g(-t) 一定map 到两个实数。因
: 为 h(g(t))=f(t)=f(-t)=h(g(-t)), 所以，h map 两个实数 g(t), g(-t) 到同一个数
: ，f(t). 因为h weakly monotone, 所以 h map 一个区间到 f(t). 但是这样的区间数
: 一定是可数，但 t>0 是不可数。而每一个t>0对应着不同的区间， 推出矛盾。
: 这样对吗？
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y**k
发帖数: 222 | 6 我是这么想的。
【在 D******n 的大作中提到】
: 想明白了，还是数学版上的人厉害。
: 是不是这么证的：假设可以。那给定某个t， g(t) 和g(-t) 一定map 到两个实数。因
: 为 h(g(t))=f(t)=f(-t)=h(g(-t)), 所以，h map 两个实数 g(t), g(-t) 到同一个数
: ，f(t). 因为h weakly monotone, 所以 h map 一个区间到 f(t). 但是这样的区间数
: 一定是可数，但 t>0 是不可数。而每一个t>0对应着不同的区间， 推出矛盾。
: 这样对吗？
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D******n
发帖数: 2965 | 7 Thanks a lot!
【在 y**k 的大作中提到】
: 我是这么想的。
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D******n
发帖数: 2965 | 8 但是我如果把问题改变一点，你觉得有可能对吗？
对于任意一函数 f: R^2 to R, 是否总存在一个函数 g: R to R, 和 h: R^2 to R, 使
得 （1） f(t, s)= h(g(t), s) for all t,s; (2) 存在某个 s*, h( t, s*) 是关于
t 的 weakly monotone 函数。
我开始觉得这个命题应该总是对的，所以想通过证明上面的问题来推这个结论。但现在
看来水很深啊。
【在 y**k 的大作中提到】
: 我是这么想的。
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n*****b
发帖数: 2235 | 9 恕我愚钝
f=t^2好像也是这个命题的反例阿
于
【在 D******n 的大作中提到】
: 但是我如果把问题改变一点，你觉得有可能对吗？
: 对于任意一函数 f: R^2 to R, 是否总存在一个函数 g: R to R, 和 h: R^2 to R, 使
: 得 （1） f(t, s)= h(g(t), s) for all t,s; (2) 存在某个 s*, h( t, s*) 是关于
: t 的 weakly monotone 函数。
: 我开始觉得这个命题应该总是对的，所以想通过证明上面的问题来推这个结论。但现在
: 看来水很深啊。
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D******n
发帖数: 2965 | 10 f: R^2 to R.
【在 n*****b 的大作中提到】
: 恕我愚钝
: f=t^2好像也是这个命题的反例阿
:
: 于
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n*****b
发帖数: 2235 | 11 f(t,s)=t^2
【在 D******n 的大作中提到】
: f: R^2 to R.
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n*****b
发帖数: 2235 | 12 对不起 没仔细看
g不再有任何限制了？
【在 D******n 的大作中提到】
: f: R^2 to R.
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D******n
发帖数: 2965 | 13 right. g only needs to be a R to R mapping only.
【在 n*****b 的大作中提到】
: 对不起 没仔细看
: g不再有任何限制了？
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n*****b
发帖数: 2235 | 14 how about f=(t-s)^2 then?
【在 D******n 的大作中提到】
: right. g only needs to be a R to R mapping only.
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D******n
发帖数: 2965 | 15 大哥能不能给个思路来验证一下这是个反例？
【在 n*****b 的大作中提到】
: how about f=(t-s)^2 then?
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n*****b
发帖数: 2235 | 16 Suppose such g and h exist. We want to show g is 1-1.
Suppose not. Then we can find a pair t1 neq t2, such that
g(t1) = g(t2), which means for any s,
(t1-s)^2 = h(g(t1),s) = h(g(t2), s) = (t2-s)^2,
which implies t1 - s = s - t2.
This only holds for s=(t1+t2)/2, contradiction. Therefore g is 1-1.
At s*, as a function of t, the problem reduces to the one in your original
post.
In the similar manner as you proved t^2 is a counterexample, you can show f(
t) = (t-s*)^2 is a counterexample as well.
【在 D******n 的大作中提到】
: 大哥能不能给个思路来验证一下这是个反例？
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D******n
发帖数: 2965 | 17 对于这个命题，g没有1－1要求啊 。sorry, 前面没有强调这点。
f(
【在 n*****b 的大作中提到】
: Suppose such g and h exist. We want to show g is 1-1.
: Suppose not. Then we can find a pair t1 neq t2, such that
: g(t1) = g(t2), which means for any s,
: (t1-s)^2 = h(g(t1),s) = h(g(t2), s) = (t2-s)^2,
: which implies t1 - s = s - t2.
: This only holds for s=(t1+t2)/2, contradiction. Therefore g is 1-1.
: At s*, as a function of t, the problem reduces to the one in your original
: post.
: In the similar manner as you proved t^2 is a counterexample, you can show f(
: t) = (t-s*)^2 is a counterexample as well.
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n*****b
发帖数: 2235 | 18 我是说对于f(t,s)=(t-s)^2这个例子来说
如果g,h存在，g is 1-1
【在 D******n 的大作中提到】
: 对于这个命题，g没有1－1要求啊 。sorry, 前面没有强调这点。
:
: f(
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D******n
发帖数: 2965 | 19 为什么啊？
【在 n*****b 的大作中提到】
: 我是说对于f(t,s)=(t-s)^2这个例子来说
: 如果g,h存在，g is 1-1
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n*****b
发帖数: 2235 | 20 我前面那个帖子写了阿
【在 D******n 的大作中提到】
: 为什么啊？
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