t******n
发帖数: 2939 | 1 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
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l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 2 ☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 18:10:13 2013, 美东) 提到:
1. 假设p1=2,p2=3,...,pn 是全部的素数...
2. 令 N=p1*p2*...*pn+1, 显然 N比 p1,p2,...,pn都大,因此不再p1,p2,..,pn,中, 所
以根据1, N是一个合数.
3. N是合数,那么必然能够被一个素数整除, 根据1, 所有的素数是p1,..., pn, 所以必
然有其中之一, 比如pj, 能整除N, 特别的, N 除以pj余数为0
4. N= pj*(p2*...*pn 括号内排除pj)+1=pj*something+1, 因此, N除以pj余数为1
5. 3 和 4 矛盾,N不能同时除以pj余0,而且余1.
现在有几种推理方法
6(I), 3和4矛盾, 矛盾的根源在于 假设1 是完全错误的, 于是 证毕,素数无穷 Q.E.D
或者走下列路线(l63路线)
6(II), 3和4矛盾的一个最近的根源来自于第3部的N是合数, ... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 3 ☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Fri May 24 08:41:56 2013, 美东) 提到:
我们假设不知道什么叫素数，我们对正整数集合进行如下的定义来定义素数。（这是从
链接上取下来的，也是I63的定义）
(1) 1不是素数 (base case)
(2) a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。
我曾经多次指出，这个定义在用素数定义素数，是不正确的。但看到很多的反驳如下。
1不是素数, 我们考察2，发现小于2的素数集合为空集，于是2为素数。以此再往下递归
，得出所有素数的定义。我想昨天深入讨论此内容的人，都不会反对我的总结吧。关于
"小于2的素数集合为空集"推出"2为素数"，因我的不慎，还做出过郑重道歉。
好，我们仿造这种递归定义，来定义偶数。
我们假设不知道什么叫偶数，我们对非负整数集合进行如下的定义来定义偶数。
(1) 0不是偶数 (base case)
(2) a是偶数当且仅当a与任何小于它的偶数之差为2的倍数。
我从base case开始。0不是偶数。我们考察... 阅读全帖 |
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i****g
发帖数: 3896 | 4 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: ipdang (iphone5), 信区: Mathematics
标 题: 素数不再孤单——孪生素数和一个执着的数学家张益唐的传奇 (中文版)
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 23:56:20 2013, 美东)
http://blog.sina.com.cn/s/blog_c24597bf0101bazy.html
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标题
，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益唐
的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的资
料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读本
文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造的
。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的乘
积。自古埃及（约公元... 阅读全帖 |
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i****g
发帖数: 3896 | 5 http://blog.sina.com.cn/s/blog_c24597bf0101bazy.html
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标题
，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益唐
的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的资
料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读本
文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造的
。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的乘
积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代密
码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他... 阅读全帖 |
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m********y
发帖数: 21909 | 6 http://blog.sina.com.cn/s/blog_c24597bf0101bazy.html
致谢： 本文得益于许多人的帮助，在此一并表示感谢：丘成桐教授提议用以上的标题
，William Dunham教授提供了关于孪生素数猜想历史的资料，葛立明教授提供了张益唐
的简历，郑绍远教授指出Soundararajan的文章，杨乐教授提供了有关潘承彪教授的资
料，王元教授提供了孪生素数猜想有关成果的详细资料，John Coates教授认真阅读本
文，给出了重要的修改意见并提供高斯关于素数定理的信件。
数学是什么？克罗内克（Kronecker）曾说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造的
。”那什么构成了整数？答案是素数！事实上，每个整数都能唯一地写成若干素数的乘
积。自古埃及（约公元前3000年）起，人类就已经对素数着迷。如今，大素数在现代密
码学中起着重要作用。
两千多年前，欧几里得证明存在无穷多的素数，但是人们观察到素数出现的频率越来越
小。著名的孪生素数猜想断言存在最极端的例外，也就是说，存在无穷多的间隔为2的
素数对。在这个古老问题上首次取得突破性进展的是中国数学家张益唐，他... 阅读全帖 |
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h******1
发帖数: 16295 | 7 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: hsh (三胡), 信区: Mathematics
标 题: 电工科普：张汤姆素数对证明原理 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Feb 2 12:23:30 2015, 美东)
发信人: threeheart (氷), 信区: Military
标 题: 电工科普：张汤姆素数对证明原理
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 1 23:37:08 2015, 美东)
昨天贴了个关于张汤姆证明的帖子，引来几个装逼傻叉的质疑，怀疑老子装逼看不懂，
所以现在我觉得有必要科普一下张汤姆的证明原理。这里强调是原理，不是详细过程，
但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
概需要两倍的56页。而且，这是个需要大量函数和公式的证明，没有公式将极其难以说
清楚，而本版帖子是没法打公式的。所以，你要是看懂了没有公式的本贴，就知道叔是
如何的牛逼且又是如何的低调，而且也会发现你是多么的牛逼，能看懂张汤姆的素数对
是咋回事。
本贴分两部分，第一部分是给我一样的数论钓丝门外汉... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 8 ☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 12:06:50 2013, 美东) 提到:
文史类ID: dangran, daigaku, czjn, carbon, susuw, bostontennis, bluemonkeyz,
luobo(self-requested), bigjoker(self-requested)
理工类ID: I63, devilphoenix, powerforward, jesseq, firearasi, ZZidane, Alife
, logic98, thinkhard, nikeman, mdmx
学艺不精之理工类ID: xiongpy
发帖不多的我没有统计，因为至少说明他们不关心此话题或对自己的结论不够确定。
其余的可对号入座。欢迎补充。如有错误，可以拍砖。
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CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 12:09:49 2... 阅读全帖 |
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i****g
发帖数: 3896 | 9 华人数学家张益康，近日因为解决世界性数学难题——孪生素数猜想受到广泛瞩目。《
连线》杂志对其进行了专访，向公众展示了一个默默无闻的数学家独自解决困扰世界
2000年之久猜想背后的故事。
在4月17号那一天, 一篇论文被投递到《数学年刊》——这一领域的最声名显赫的期刊
——的信箱中. 论文的作者——新罕布什尔大学的讲师，年逾50的张益堂在该领域并不
为其他的专家所知. 这篇论文声称其朝着解决数学史上最古老的问题——孪生素数问题
前进了一大步。
那些著名的数学期刊的编辑早已习惯面对那些不知名作者夸大其词的主张。不过这篇论
文却与众不同。写就其的作者，语言清晰严密并且掌握了该问题最前沿的方法。这显然
是一份深思熟虑的证明，年刊的编辑决定优先进行它的审阅工作。
仅仅三周之后 —— 相对于数学期刊通常的审稿节奏，就是一眨眼的功夫 —— 张收到
了他的论文的审稿意见。
“主要成果无疑是顶级的”, 一个审稿人写到。论文的作者证明了“关于素数分布的里
程碑式的定理”。
一项巨大进展被一个之前默默无闻的研究者发现了——这个传闻在数学家里迅速传播来
。他在1992获得博士学位之后，其学术才能就被人所忽视，... 阅读全帖 |
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h*h
发帖数: 27852 | 10 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: threeheart (氷), 信区: Military
标 题: 电工科普：张汤姆素数对证明原理
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 1 23:37:08 2015, 美东)
昨天贴了个关于张汤姆证明的帖子，引来几个装逼傻叉的质疑，怀疑老子装逼看不懂，
所以现在我觉得有必要科普一下张汤姆的证明原理。这里强调是原理，不是详细过程，
但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
概需要两倍的56页。而且，这是个需要大量函数和公式的证明，没有公式将极其难以说
清楚，而本版帖子是没法打公式的。所以，你要是看懂了没有公式的本贴，就知道叔是
如何的牛逼且又是如何的低调，而且也会发现你是多么的牛逼，能看懂张汤姆的素数对
是咋回事。
本贴分两部分，第一部分是给我一样的数论钓丝门外汉看的，第二部分是张汤姆文章导
读。重点是第一部分，如果你看懂了第一部分，那么看第二部分应该象上厕所一样的容
易。而如果你看懂了第二部分，自然会去读张汤姆的原文，那时也就没我什么事了。
不过还是有几个前提条件，一，你... 阅读全帖 |
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t********t
发帖数: 1070 | 11 昨天贴了个关于张汤姆证明的帖子，引来几个装逼傻叉的质疑，怀疑老子装逼看不懂，
所以现在我觉得有必要科普一下张汤姆的证明原理。这里强调是原理，不是详细过程，
但这并非是因为我没看懂过程，而是因为张汤姆的文章有56页，要解释清楚每个证明大
概需要两倍的56页。而且，这是个需要大量函数和公式的证明，没有公式将极其难以说
清楚，而本版帖子是没法打公式的。所以，你要是看懂了没有公式的本贴，就知道叔是
如何的牛逼且又是如何的低调，而且也会发现你是多么的牛逼，能看懂张汤姆的素数对
是咋回事。
本贴分两部分，第一部分是给我一样的数论钓丝门外汉看的，第二部分是张汤姆文章导
读。重点是第一部分，如果你看懂了第一部分，那么看第二部分应该象上厕所一样的容
易。而如果你看懂了第二部分，自然会去读张汤姆的原文，那时也就没我什么事了。
不过还是有几个前提条件，一，你得去下载一份张的文章，可以与第二部分对照，原文
网上到处都是。二，如果你想看第二部分或原文，则至少应该对原文page 3 notation
中的概念有所了解，不然会造成写本贴和看本贴的人互骂一声傻逼的严重后果。也就是
你必须对如下概念有所了解，admis... 阅读全帖 |
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c*****m
发帖数: 1160 | 12 先介绍一下，王若度也是一个神人，在北大玩了几年，成了星际游戏界的世界top高手
，然后做研究，现在Waterloo做统计学教授。
孪生素数猜想，张益唐究竟做了一个什么研究？
By 王若度
最近，《自然》杂志的网站上刊登了一篇文章，在华人数学爱好者和学者之间产生了轰
动。该文章的标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。
“孪生素数猜想”是什么？
这篇文章为何会引起轰动呢？这要从“孪生素数猜想”说起。众所周知，素数是只含有
两个因子的自然数（即只能被自身和1整除）。而“孪生素数”是指两个相差为2的素数
，例如3和5，17和19等。孪生素数猜想是说，存在无穷对孪生素数。
孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪
生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。想了解这个问题的奇妙之处，需要大概了
解素数的分布规律。2000多年前，古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有
无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的，英国数学家哈代在他的《一个数学家的
辨白》中也对这个证明津津乐道（如果有人没有读过的，推荐一读）。
随着数学慢慢发展，人们渐渐意识到素数在... 阅读全帖 |
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i***s
发帖数: 39120 | 13 据外媒报道，美国密苏里中央大学数学家柯蒂斯·库珀(CurtisCooper)通过“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，于1月7日找到了目前人类已知的最大素数2^74207281-1；该素数有22338618位（这个数字有多长？如果用五号字逐位打印出来，从头到尾长达82.7公里），是第49个梅森素数。这一重大发现为GIMPS项目诞生20周年献了厚礼。
M74207281诞生自一台IntelI7-4790CPU电脑。这是库珀教授第四次通过GIMPS项目发现新的梅森素数，刷新了他自己的记录。他上次发现第48个梅森素数2^57885161-1是在2013年1月25日，有17425170位。
2300年前，古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(MarinMersenne)对“2^P-1”型的素数做过较为系... 阅读全帖 |
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X****N
发帖数: 376 | 14 本人非数学专业，有感于最近网上对于张老师到底证明了什么的
迷惑，刚开始也被网上各种信息弄得头晕。当然，我这里说的可
能对数学牛人来说太浅显，但希望能够帮助一些非数学专业和数
学基础有限的人（其实我的数学也是一塌糊涂）。
众所周知的自然数序列：1,2,3,4,5,...,n,n+1,...
和素数序列:2,3,5,7,11,...,Pn,Pn+1,...
孪生素数猜想是说存在一个常数N，有无数素数P，满足P+N也是
素数。这个猜想的终极是N=2，也就是有无数素数P，P+2也是素
数，但没人能够证明，也就是说最小的N可能不是2。我现在还不
知道是不是有人已经证明常数N一定存在。这时候老张站了出来
说："我现在还不知道N最小是多少，但我知道N一定小于70M。”
如果将来在老张证明的基础上将猜想象歌德巴赫猜想一样分成子
问题：N不是或是3的倍数，5的倍数等等等等，最后可能就解决
了猜想的最小的N。
由于N只能是偶数，这个猜想也可以表述为：存在一个常数n，有
无数素数P，满足P+2n也是素数。张老师的证明，这个最小的常数
就在这1到35M中间。
关于张老师的证明，网上有几个关于这个问题的描述，他... 阅读全帖 |
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b*********z
发帖数: 26 | 15 哇，memorial day长假出去玩回来想起这个帖子，楼又高了许多，代码都出来了，我等
码工真欢乐！
以前上mitbbs，我只潜水。不过，我承认这次我也灌了许多水，试图引起LZ思考哪里错
了。
好吧，楼很高了，我就总结一下我的发言吧。
首先说，素数的定义是大于1除了自己和1不能被其他自然数整除的自然数。
我把一楼的证明拷贝过来，并在下面一步一步举个简单的例子说明哪步错了。
－－－－－－－－－－
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
（假设素数只有有限个，为2，3，5，7，11，13.这些都是符合定义的素数，而且在13
以下没有遗漏，p_k就是13）
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
（考察N＝2*3*5*7*11*13＋1=30031）
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
（2，3，5，7，11，13都不能整除N。这句话是对的）
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
（这是错的。30031=59*509，N不是素数）
这与素数只有p_1,p_... 阅读全帖 |
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t***k
发帖数: 144 | 16 关于哥德巴赫猜想与孪生素数猜想的证明（简化版）
一：方法
Ln算数数列组集合筛法
对于充分大的偶数x，令x=Ln＋Pn*k(Pn为与x互素的奇素数,Ln与Pn互素,Ln＜Pn,3≤Pn
＜√x)。
问题：
是否不超过x的所有奇素数都在形如Ln＋Pn*k的n组Ln算数数列之中（n为Pn个数)。
二：定理1
在不超过大偶数x的所有奇素数中，令x=Ln＋Pn*k(Pn为与x互素的奇素数,Ln与Pn互素,
Ln＜Pn,3≤Pn＜√x)。若存在不属于n组（n为Pn个数）Ln算数数列的素数P，则x－P必
为素数，且也不在n组Ln算数数列之中。即不属于n组Ln算数数列的素数必然成对出现。
证明：反证法
若x－P为奇合数，因为x=Ln＋Pn*k，则P必在n组Ln算数数列之中。与题设矛盾。
若x－P为素数，且也属于n组Ln算数数列，因为x=Ln＋Pn*k，故P必为Pn*k，即P必为奇
合数，与题设矛盾。
所以：不属于n组Ln算数数列的素数必然成对出现。
例：x=64=1+3k=4+5k=1+7k，共三组Ln算数数列。
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ... 阅读全帖 |
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i****g
发帖数: 3896 | 17 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: ipdang (iphone5), 信区: Mathematics
标 题: 数学家张益唐破译“孪生素数猜想”
发信站: BBS 未名空间站 (Fri May 17 15:45:14 2013, 美东)
http://zqb.cyol.com/html/2013-05/18/nw.D110000zgqnb_20130518_4-
数学家张益唐破译“孪生素数猜想”
《自然》杂志称其为一个“重要的里程碑”
本报记者 邱晨辉 《 中国青年报 》（ 2013年05月18日 01 版）
张益唐近照，由新罕布什尔大学提供
张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜
烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受
过这样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他
再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”... 阅读全帖 |
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t******t
发帖数: 3045 | 18 枪哥又出现了
http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/5/278009.shtm
作者：邱晨辉 来源：中国青年报 发布时间：2013-5-18 8:28:39 选择字号：小 中 大
孪生素数猜想破译者张益唐任美大学讲师近十年
张益唐近照，由新罕布什尔大学提供
张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜烂熟
”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受过这
样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他再没
收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。在接受中国青年报记者
采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向他发
去邮件道贺。
5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于
7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重
大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超... 阅读全帖 |
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m********8
发帖数: 7463 | 19 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: ipdang (iphone5), 信区: Mathematics
标 题: 数学家张益唐破译“孪生素数猜想”
发信站: BBS 未名空间站 (Fri May 17 15:45:14 2013, 美东)
http://zqb.cyol.com/html/2013-05/18/nw.D110000zgqnb_20130518_4-
数学家张益唐破译“孪生素数猜想”
《自然》杂志称其为一个“重要的里程碑”
本报记者 邱晨辉 《 中国青年报 》（ 2013年05月18日 01 版）
张益唐近照，由新罕布什尔大学提供
张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜
烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受
过这样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他
再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”... 阅读全帖 |
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G****a
发帖数: 10208 | 20 张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜烂熟
”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受
过这样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他
再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。在接受中国青年报
记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向
他发去邮件道贺。
5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小
于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了
重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。
在此之前，“年近6旬”的张益唐在数学界可以说是个名不见经传的人。
多年前曾与张益唐接触过的浙江大学数学系教授蔡天新也以为“他早从数学圈消失
”了，蔡说已经“近30年没他的消息了”，没曾想“他突然向孪生素数猜想走近了一大
步”——
素数是指正因数只有1和本身即只能被自身和1... 阅读全帖 |
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i****g
发帖数: 3896 | 21 http://zqb.cyol.com/html/2013-05/18/nw.D110000zgqnb_20130518_4-
数学家张益唐破译“孪生素数猜想”
《自然》杂志称其为一个“重要的里程碑”
本报记者 邱晨辉 《 中国青年报 》（ 2013年05月18日 01 版）
张益唐近照，由新罕布什尔大学提供
张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜
烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。
同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受
过这样的“待遇”。但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。因为，从那时起，他
再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。
5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。在接受中国青年报
记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向
他发去邮件道贺。
5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小
于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数... 阅读全帖 |
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s******s
发帖数: 58 | 22 http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2013/5/278319.shtm
张益唐破译孪生素数猜想：无名之辈的逆袭
两项证明激荡数论研究
张益唐在孪生素数上取得的突破让学术界感到震惊。
图片来源： LISA NUGENT, UNH PHOTOGRAPHIC SERVICES
如此重要的成就来自于一位之前在数论领域并不出名的处于职业中期的数学家，这几乎
是前所未闻的。
■本报见习记者 张冬冬
几天前，数论学家宣布，该领域中两个最古老的未解难题取得突破。尽管这两个难题都
还没有得到彻底解决，但这些突破却是几十年来最引人注目的进展，它们立即成为各大
数学“聊天室”中的谈资，并为全世界的研讨会提供了最新鲜的素材。
双喜临门
这些进展都与素数有关。素数是指只可被1和其本身整除的数字。素数是数论中的积木
，就如同元素在化学中的地位。其中一个难题是“孪生素数猜想”。该猜想推测，孪生
素数——二者之差仅为2的相邻素数，如3和5、1091和1093——随着数字越来越大，会
持续出现并存在无限多对。另一个难题是哥德巴赫猜想，其有两个推论：比2大的每个
偶数都是两个素数的和；... 阅读全帖 |
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l****e
发帖数: 57 | 23 我去，才看清你的素数的定义，好大一颗坑。
质数，又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然
数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。
你从你用的素数的这种定义出发来证明，行不行？不太清楚这种定义是否能直接用。
Wiki上已经有类似的词条。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，
该证明方法如下：
假设只有有限个素数。令。那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约
数是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合
中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数
集合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
注意，这里的N+1也是分了两种情况讨论的。当然按照你的定义是不需要这么分析的... 阅读全帖 |
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c***s
发帖数: 70028 | 24 最大素数
大互联网梅森素数搜索（GIMPS）分布式计算项目又建奇功，据外媒20日报道，美国州立中密苏里大学柯蒂斯·库珀（Curtis Cooper）通过GIMPS项目发现了第49个梅森素数 2^74207281-1（被称为M74207281），为GIMPS项目诞生20周年献礼。
M74207281这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数，诞生自一台Intel I7-4790 CPU电脑。这是库珀教授第四次通过GIMPS项目发现新的梅森素数，刷新了他的记录。他上次发现第48个梅森素数2^57885161-1是在2013年1月，有17425170位。
GIMPS项目集合了20多万台计算机的计算能力，主要任务是不断筛选、寻找更大的梅森素数。尽管一些素数已经被用于加密和其它实际应用任务，但寻找最大的素数仍然主要出于是学术方面的兴趣。
近年来发现的最大素数都是梅森素数。这一命名是为了纪念法国神学家、数学家、音乐理论家马兰·梅森(1588-1648)，他首先开始研究了形如M_p=(2^p)-1(其中p为素数)的素数。分布式计算技术的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年初，美国... 阅读全帖 |
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w******g
发帖数: 313 | 25 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: johnsonville (johnsonville), 信区: Mathematics
标 题: 以车为家 苦攻难题 华人数学家首次证明存在无穷多素数对(zz)
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 16 23:38:33 2013, 美东)
长期沉寂，一夜成名，张益唐首次证明存在无穷多素数对
华人数学家“成就堪比陈景润”？
一位华人数学家，一夜成名。
《自然》杂志网站5月14日报道，任教于美国新罕布什尔大学的张益唐最新证明，存在
无穷多个之差小于7000万的素数对。在解决孪生素数猜想方面，张益唐的这一研究被认
为在终极数论这个古老的数学问题上取得了重大突破。
这两天，张益唐的名字在国内数学圈一下子热了起来。北京大学官方网站前天发布消息
介绍张益唐，说他1978年进入该校数学科学学院攻读本科，1982年读硕。很多任教于名
校数学系的教授更在一点一滴“拼凑”有关他的信息，编织一个新的学术传奇：张益唐
最近的证明如果被认为正确，那么他的“成就堪比陈景润”；但此前，他在美国长期沉
寂，没有正式教职，公开发表的论文... 阅读全帖 |
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d*****n
发帖数: 3033 | 26 google了一下，N可以是素数或者合数。
素数无穷性的证明 [编辑]
素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，该
证明方法如下：
假设只有有限个素数。p1,p2....,pN
令N=p1*p2*...*pN,
那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1,p2,....pN，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数
是1，所以N+1不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集
合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 |
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b*********z
发帖数: 26 | 27 就是因为你没考虑，所以反证出错了。
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
那你这句话用到了和假设有关的性质
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
我们将这句话代入你的反证法。
你在你的证明里其实用了该命题的这个逻辑：
“a不被任何小于a的素数整除 => a是素数”
但是，前半句是在反证法的假设下，所以前半句中的素数指的是你假设中的素数。
后半句是结论，是要和假设归谬的，所以后半句中的素数指的是素数的定义：除了自己
和1不能整除
所以，这句话其实是
“a不被**这些素数**整除 => a是除了自己和1不能整除的数”
这句话是错的。
你假设**这些素数**只到pn，a会不会被pn+1到a-1之间的数整除呢？你没有证明。
所以我给了例子：
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**。
而你构造了31，你还要证明6到30之间没有数可以整除31，才能说31是素数，才能和假
设归谬。
或者说，”a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除“这句话在素数是有
限的情... 阅读全帖 |
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b******r
发帖数: 1137 | 28 素数不那么好找，所以有一个我们人类已知的最大的素数，当然天天可能都在变大。不
失一般性，假设我们脑容量不比蚂蚁大多少，现在我们已知最大素数是13，总共6个：2
,3,5,7,11,13。有一天来了一只老鼠和蚂蚁对话
蚂蚁：素数只有六个
老鼠：不对，素数无穷多
蚂蚁：你能证明吗？
老鼠：如果如你所说素数只有六个，那看一下这个数2*3*5*7*11*13+1=30031
蚂蚁：怎么样？
老鼠：30031不能被2,3,5,7,11或是13整除
蚂蚁：然后呢？
老鼠：所以根据我们的假设（只有6个素数），30031是一个素数，这样我们就发现还有
一个不是2,3,5,7,11,13的素数？
蚂蚁：？？？什么叫根据我们的假设，30031是一个素数？30031是不是素数跟我们的假
设有关系吗？我会除法，让我慢慢算。。。30031=59*509
鼹鼠：你不懂反证法，这样就已经证明完毕了
蚂蚁：？？？
老鼠：我的测试素数的方法是啮齿类公认的，一共六个素数，不能被任意一个整除就是
素数
蚂蚁：你怎么知道13到30031之间没有素数了？
老鼠：因为我们假设只有六个素数？
蚂蚁：？？？那为什么多出来一个3003... 阅读全帖 |
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j**********e
发帖数: 1034 | 29 长期沉寂，一夜成名，张益唐首次证明存在无穷多素数对
华人数学家“成就堪比陈景润”？
一位华人数学家，一夜成名。
《自然》杂志网站5月14日报道，任教于美国新罕布什尔大学的张益唐最新证明，存在
无穷多个之差小于7000万的素数对。在解决孪生素数猜想方面，张益唐的这一研究被认
为在终极数论这个古老的数学问题上取得了重大突破。
这两天，张益唐的名字在国内数学圈一下子热了起来。北京大学官方网站前天发布消息
介绍张益唐，说他1978年进入该校数学科学学院攻读本科，1982年读硕。很多任教于名
校数学系的教授更在一点一滴“拼凑”有关他的信息，编织一个新的学术传奇：张益唐
最近的证明如果被认为正确，那么他的“成就堪比陈景润”；但此前，他在美国长期沉
寂，没有正式教职，公开发表的论文只有两篇。
孪生素数猜想，有了重大突破
很多数学猜想都是“世纪大难题”，和至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样，
孪生素数猜想也是著名的数学猜想。很多数学家希望通过解决孪生素数问题，进而攻克
哥德巴赫猜想。
素数，是指只含有两个因子的自然数(即只能被自身和1整除)。孪生素数，是指两个相
差为2的素数。比如，3和5，17... 阅读全帖 |
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t***k
发帖数: 144 | 30 数论大发现之哥德巴赫猜想与广义孪生素数猜想等价
广义孪生素数猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1即孪
生素数猜想。
设G(x)为大偶数x中可以表示为（1+1）的素数个数，则G(x)=1.32∏(p-1)/(p-2)*x/(ln
x)^2＋O(√x/ln √x) （p＞2，p整除x）
设T(x)为不超过充分大的自然数x中的孪生素数对个数，T(x)=1.32*x/(ln x)^2＋O(√x
/ln √x)
设T2k(x)为不超过充分大的自然数x中的素数对（p, p + 2k）个数，T2k(x)=1.32*∏(p
-1)/(p-2)*x/(ln x)^2＋O(√x/ln √x) （p＞2，p整除k）
1 当x=2^n，哥德巴赫猜想与孪生素数猜想等价。即：G(x)与T(x)等价。G(x)～T(x)～
1.32*x/(ln x)^2
2 当k=2^n，广义孪生素数猜想之间等价。即：T2k(x)与T(x)等价。T2k(x)～T(x)～
1.32*x/(ln x)^2
如：孪生素数对（p, p + 2）个数T(x)与表兄弟素数对（p, p + 4）个数T4... 阅读全帖 |
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t***k
发帖数: 144 | 31 数论大发现之哥德巴赫猜想与广义孪生素数猜想等价
广义孪生素数猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1即孪
生素数猜想。
设G(x)为大偶数x中可以表示为（1+1）的素数个数，G(x)=1.32∏(p-1)/(p-2)*x/(ln
x)^2＋O(√x/ln √x) （p＞2，p整除x）
或G(x)～1.32∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
设T(x)为不超过充分大的自然数x中的孪生素数对个数，T(x)=1.32*x/(ln x)^2＋O(√x
/ln √x)或T(x)～1.32*x/(ln x)^2
设T2k(x)为不超过充分大的自然数x中的素数对（p, p + 2k）个数，T2k(x)=1.32∏(p
-1)/(p-2)*x/(ln x)^2＋O(√x/ln √x) （p＞2，p整除k）
或T2k(x)～1.32∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
1 当x=2^n，哥德巴赫猜想与孪生素数猜想等价。即：G(x)与T(x)等价。G(x)～T(x)～
1.32*x/(ln x)^2
2 当k=2^n，广义孪生素数猜想之间等价。即... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 32 好好学学什么叫递归再出来混吧.
这个定义就是一个递归的定义.
我定义a是不是素数的时候, 只用到了比a小的数的性质, 怎么就循环定义呢?
给你举个例子:
根据我的定义判断5是不是素数:
首先5>1, 其次, 需要找出比5小的自然数中的素数, 我们依次来看:
2是素数吗? 2大于1, 并且没有比2小的素数 (这是因为比2小的自然数最大只能是1, 而
素数要大于1), 所以不存在比2小的素数, 2自然就不会被比2小的素数整除, 于是2是素
数.
3是素数吗? 3大于1, 比3小的素数, 根据如上陈述, 可知, 只有2, 但是2不整除3, 于
是3是素数.
4是素数吗? 4大于1, 但是4被2整除, 2是素数, 于是4不是素数.
我们找出了比5小的所有素数, 即2,3, 并且我们知道, 2和3都不整除5, 所以5是素数.
看懂了没? 哪里有循环定义? |
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l*3
发帖数: 2279 | 33 以下简记 " 'a是素数' 等价于 'a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除' "
为命题P.
你只说明了 "如果素数是有限个, 那么P不成立".
你如果想声称 "素数有无穷个" 是P成立的前提的话, 你应该能够证明以下这句话是错
的:
"如果素数只有有限个, 那么P成立"
请尝试证明他是错的.
我可以先证明给你看为什么 "如果素数是有限个, 那么P成立" 这句话是对的 (实际上
由于这句话的前提假设是错的, 所以后半段无论是什么, 整体都是对的, 但是我觉得以
你的逻辑水平和智商, 是无能力理解我这句话的, 故我打了括号, 括号内的内容你可以
不用去管, 和我想说明的东西也没有必然联系, 我不奢求你能看懂)
--------
现在, 我来证明 "如果素数只有有限个, 那么P成立" 是对的.
证明如下 (每行前面有#的部分表示证明的部分):
#如果素数只有有限个, 那么,
# 我们考察任意一个对象a,
# 如果a不是自然数, 那么a不是素数,
# 如果a是自然数, 那么,
# 1.如果a≤1, 那么a不是素数,
# 2.如果a>1, 那么... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 其实这个还是数学哲学的问题，俺补充一下细节，其实应该是这样的，
对于：“前N个连续素数乘积+1 是素数”，其实码工们和楼主都认为是错的。
但是，对于 “所有素数之乘积+1 是素数” （关键词：所有）：
楼主曰：
在假设素数有限的情况，是对的。
但是码工的 formal system 曰：
这句话本身不 valid，不许说，不许讨论对不对。不 valid 的原因是
“所有素数之乘积” 这个函数/算符本身不存在，因为所有素数可能是
无限的，求无限个大于 1 的数的乘积这样的函数/算符 不valid。
楼主曰：
在假设素数有限的前提下，所有素数乘积是有限个素数乘积，这时
“所有素数乘积”这个函数/算符是 valid 的。
码工的 formal system 曰：
那你这个函数/算符不叫 “所有素数乘积”，叫 “假设素数有限的条件下
所有素数乘积”（绕口令啊。。。）。
除非你能证明素数有限，否则这个函数/算符就是不 valid 的。。。
对了，您不是打算证明素数无限么？那岂不是一旦您证明了，您的证明过程
立刻变成不 valid 了么？这个是不是自相矛盾之数学版？
楼主曰：
<下面请楼主填空>
... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 35 我没说过 "所有素数乘积" 这一回事,
我是在假设素数有限的情况下, 把这有限个素数乘起来了再加1, 然后我看这个数是不
是素数.
找你这种说法, 那主流的 "素数无限个" 的证明都是错的.
因为虽然别的证明没有说 (按照你的理解的表述如下) "所有素数乘积+1是素数", 他们
至少也说了 "所有素数乘积加一" 这句话, 至于是分素数合数讨论了呢还是直接当成素
数, 这退居到了次要问题.
如果 "所有素数乘积加1" 按照你的观点, 即使在 "素数只有有限个, 而有限个数的乘
积可以做" 的情况下也不能做的话 (你的理由是 "本身就不存在所谓 "所有素数的乘积
" 这种操作), 那难道主流的 "素数有无穷个" 的证明, 都是错的?
-------
概括:
我们证明中并没有声称 "所有素数的乘积" 这么一回事, 我们只是在素数有限个的前提
下, 把这有限个素数乘积弄出来了 (只用到了 "有限个数可以做乘法" 这么一回事),
这一点应该没什么问题. |
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z****l
发帖数: 16 | 36 简单地说，数学的起源之一是数论（研究自然数），数论的起源和核心问题之一是素数
的分布－－研究完加减后开始研究乘除，自然就遇到素数及其分布。目前已知的结论有
：素数有无穷个（欧几里德，这是数学中第一个划时代的定理），每个数和它的两倍之
间必有素数（这是歌德巴赫猜想的推论，已被证明），小于n的数中素数约有n/log(n)
个（所以素数越来越稀疏，出现的概率趋于0），存在任意长的连续数中间没有素数。
但另一方面，孪生素数猜想说，不管多大的数后面总还能找到连续两个奇数都是素数，
或者说就是数学家认为素数在趋于稀疏中还是永远有稠密的部分的。现在张证明了不管
多大的数后面总还能找到两个素数之差不到七千万。在数学家看来这虽然还不是孪生素
数猜想，但已经足够好了，已经证明了“素数在趋于稀疏中还是永远有稠密的部分的”
。这个工作可以类比到当年布朗用筛法证明了歌德巴赫猜想的弱化版9＋9，然后大家就
开始不停地改进筛法直到陈景润证明1＋2，但从数学的角度看布朗才是迄今对歌德巴赫
猜想贡献最大的。现在张做的工作（如果最终被确认无误的话）就相当于当年的布朗，
给重要性高于歌德巴赫猜想的孪生素数猜想开了个头。从一... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 37 我就是因为当初怕人喷我的定义是 "循环定义", 所以才加上了 "小于a" 的限制, 有了
限制以后显然就只是个普通的递归定义, 本身没有问题. 没想到后来还是躺枪了...
现在看来, 即便不用 "小于a", 而只用 "不等于a" 其实也是一个合理的定义.
另外, 其实1楼的证明的正确性, 并不要求 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被
任何不等于a的素数整除" 这句话能作为素数的定义.
只要这句话作为命题, 是正确的, 那就可以了. 所以即便是有循环定义, 但是其 "作为
命题" 是正确的, 那么1楼的证明仍然正确.
这里, 我的逻辑是这样的: 哪些数是素数, 哪些数不是素数, 不是我定义的, 是 "主流
的素数定义" 定义的, 我只是陈述一个事实, 即 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且
a不被任何不等于a的素数整除", 只要认为我陈述的这个确实是个事实, 那么就应该认
为1楼的证明没有问题.
------
呵呵, 于是我发现两个问题:
1. 当初坑没挖好, 不应该有改为 "小于a" 这个举动, 简直是多此一举, 投鼠忌器.
2. 当初没有说 "a是素数 <=... 阅读全帖 |
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c****n
发帖数: 1646 | 38 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: carbon (kaben), 信区: Mathematics
标 题: Re: 素数有无穷多个, 你会证吗? 给大家奉上几篇欢乐的帖子.
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 14:32:20 2013, 美东)
你个蠢货还敢往这转，真不怕被人笑话，看来真是high过头了。
你的证明过程如下
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.（我昨天要求你加上的）
等价假设2： 除去1,p_1,p_2,...........,p_K之外的自然数均为合数。
显然等价假设2与原假设同为真或同为假。
推论过程原假设与等价假设必须同时成立或不成立。
此步骤没问题
a是素数推论成立前提，原假设1成立。
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 根据假设1，素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
3. 若假设1成立，a即不被任何小于a的素数整除
4. 推理结论 a是素数成立
该推理过程无误
考虑等价假设2
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 若... 阅读全帖 |
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g******y
发帖数: 126 | 39 这个证明貌似是对的，参见欧几里德的证明 (wikipedia)：
素数有無窮多個。現在已知最早的證明方法是歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的，
該證明方法如下：
假設只有有限个素数p_1,p_2,p_3,..., p_n。令N=p_1times p_2times p_3 times
... times p_n。那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1為素数，則N+1要大于p_1,p_2,p_3...p_n，所以它不在那些假設的素数集
合中。
如果N+1為合数，因為任何一個合数都可以分解為幾個素数的積；而N和N+1的最大
公约数是1，所以N+1不可能被p_1,p_2,p_3ldots p_n整除，所以該合数分解得到的素因
数肯定不在假設的素数集合中。
因此無論該数是素数還是合数，都意味著在假設的有限個素数之外還存在着其他素
数。
對任何有限個素数的集合來說，用上述的方法永遠可以得到有一個素数不在假設的
素数集合中的結論。
所以原先的假設不成立。也就是說，素数有無窮多個。
D |
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W**********U
发帖数: 42 | 40 这个很有用，仅以我有限的cryptography知识就可以找出很有用的应用：寻找素数。素
数在crypto中用的很多，比如public key的加密需要素数，每一个key的产生都需要寻
找素数，它所基于的理论之一主要是RSA，简单来说都是以素数为底（？是叫底吧）的
取余运算。笼统
的说，能够找到越多越大的素数意味着这套系统越安全越健壮。而搜寻大素数一直都是
一个挑战，比如这个项目一直在做的：http://en.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search 。这个人证明的东西给基于brute force的素数搜索的实际可行性提供了理论上的保证，既然有无穷多的素数对之间的差小于70M，也就意味着大素数的搜索不至于不可行，通俗的例子来说就是即使是brute force的搜索，我们也不需要花费遥不可及的时间来寻找下一个最大的素数。
不严谨的说（内行不要怨我把必要条件变成充分条件，通俗解释而已），如果证明了存
在差小于某个N的无穷多素数对，几乎可以模糊的认为在目前发现的最大的素数P，和P
＋N内，肯定有下一个素数。 |
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x*****p
发帖数: 1707 | 41 我们假设不知道什么叫素数，我们对正整数集合进行如下的定义来定义素数。（这是从
链接上取下来的，也是I63的定义）
(1) 1不是素数 (base case)
(2) a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。
我曾经多次指出，这个定义在用素数定义素数，是不正确的。但看到很多的反驳如下。
1不是素数, 我们考察2，发现小于2的素数集合为空集，于是2为素数。以此再往下递归
，得出所有素数的定义。我想昨天深入讨论此内容的人，都不会反对我的总结吧。关于
"小于2的素数集合为空集"推出"2为素数"，因我的不慎，还做出过郑重道歉。
好，我们仿造这种递归定义，来定义偶数。
我们假设不知道什么叫偶数，我们对非负整数集合进行如下的定义来定义偶数。
(1) 0不是偶数 (base case)
(2) a是偶数当且仅当a与任何小于它的偶数之差为2的倍数。
我从base case开始。0不是偶数。我们考察下一个数1，发现小于1的偶数集合为空集，
于是1为偶数。以此递归，我们得出的偶数是1, 3, 5, 7, ...。实际上，这与我们传统
定义的偶数完全不一样。
大家发现问题在那里么？ |
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z****l
发帖数: 16 | 42 （我在军版发的）
数学的起源之一是数论（研究自然数），数论的起源和核心问题之一是素数的分布－－
研究完加减后开始研究乘除，自然就遇到素数及其分布。目前已知的结论有：素数有无
穷个（欧几里德，这是数学中第一个划时代的定理），每个数和它的两倍之间必有素数
（这是歌德巴赫猜想的推论，已被证明），小于n的数中素数约有n/log(n)个（所以素
数越来越稀疏，出现的概率趋于0），存在任意长的连续数中间没有素数。但另一方面
，孪生素数猜想说，不管多大的数后面总还能找到连续两个奇数都是素数，或者说就是
数学家认为素数在趋于稀疏中还是永远有稠密的部分的。现在张证明了不管多大的数后
面总还能找到两个素数之差不到七千万。在数学家看来这虽然还不是孪生素数猜想，但
已经足够好了，已经证明了“素数在趋于稀疏中还是永远有稠密的部分的”。这个工作
可以类比到当年布朗用筛法证明了歌德巴赫猜想的弱化版9＋9，然后大家就开始不停地
改进筛法直到陈景润证明1＋2，但从数学的角度看布朗才是迄今对歌德巴赫猜想贡献最
大的。现在张做的工作（如果最终被确认无误的话）就相当于当年的布朗，给重要性高
于歌德巴赫猜想的孪生素数猜想开了个... 阅读全帖 |
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D*****r
发帖数: 6791 | 43 素数跟自然数到底啥关系……
自然数有唯一后继，素数也有唯一后继
自然数+自然数还是自然数，素数+素数就不是一定是素数了
自然数*自然数还是自然数，素数*素数就不是素数了。
我以前只知道实数是一大坨，自然数就是一条线。现在看起来，自然数也还是一大条，
里面疙疙瘩瘩的嵌了好多素数
素数跟素数加减了之后，会不会性质在自然数里是没有定义的，也就是说会不会可以证
明有些关于素数的猜想是无法验证的。
什么 |
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l*3
发帖数: 2279 | 44 Euclid本身的 "证明" 并未用到反证法, 不过实际上, 这种基本命题, 一般是逃不开反
证法的.
比如Euclid的方法, 实际上是说明了 "任给有限个素数p_1,p_2,...,p_n, 我们都可以
找到一个素数p_(n+1), 与前面n个都不同"
到这一步为止, 没有用到反证法.
素数是无限个吗? 根据Euclid的这一说明, 基本上我们可以说 "显然是的".
但实际上呢? 如果我问你:
为什么 "任给有限个素数p_1,p_2,...,p_n, 我们都可以找到一个素数p_(n+1), 与前面
n个都不同", 素数就一定是无限个?
你能怎么说?
我只会这样:
反证法:
假设素数只有有限个, 那么就取所有素数的全体构成的集合, 记为{p_1,p_2,...,p_n},
但是由于 "对于这有限个素数p_1,p_2,...,p_n, 我们可以找到一个素数p_(n+1), 与p
_1,p_2,...,p_n中的任意一个都不同", 所以我们应该能得到一个新的素数p_(n+1), 这
个素数不在这个集合内, 矛盾与 "这个集合是所有素数构成的" 故假设不成立.
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如上论述看上去... 阅读全帖 |
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c****n
发帖数: 1646 | 45 你个蠢货还敢往这转，真不怕被人笑话，看来真是high过头了。
你的证明过程如下
自然数是由 质数,合数,和1 组成的.（我昨天要求你加上的）
等价假设2： 除去1,p_1,p_2,...........,p_K之外的自然数均为合数。
显然等价假设2与原假设同为真或同为假。
推论过程原假设与等价假设必须同时成立或不成立。
此步骤没问题
a是素数推论成立前提，原假设1成立。
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 根据假设1，素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
3. 若假设1成立，a即不被任何小于a的素数整除
4. 推理结论 a是素数成立
该推理过程无误
考虑等价假设2
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 若等价假设2成立，a不是1，p_1,P_2............P_k中任何一个
3. a是合数成立
也可知，N 是合数
已经说过了，你证明的结论正确，但这个正确结论不是N是素数得来，你的证明过程能
同时得到N即是素数，也是合数。这个矛盾否定了原假设，不是你那＂ 可知: N是素数
，故假设不成立.＂... 阅读全帖 |
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Y***r
发帖数: 15270 | 46 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: altro1 (gang), 信区: Military
标 题: Re: Breaking News! 华人科学家首次证明存在无穷多素数对
发信站: BBS 未名空间站 (Tue May 14 23:39:31 2013, 美东)
本报讯（见习记者 邱锐）据《自然》杂志网站报道，来自美国新罕布什尔大学的
华人数学家张益唐日前证明，存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在解决孪生
素数猜想这一终极数论问题的道路上前进了一大步。
素数是指只可被1和其本身整除的数字。一般来说，两个相邻素数之间的间隔，会
随着数字大小的增加而变得越来越大。但是，孪生素数，也就是之差仅为2的相邻素数
，例如，3和5、17和19以及2003663613×2195000-1和2003663613×2195000+1却是例外。
关于孪生素数，数学界存在一个推测：存在无穷多对孪生素数。这被认为是最古老
的开放性数学问题之一，由希腊数学家欧几里得提出。目前，多种试图证明该猜想的方
法都不甚奏效。其中，一个重要里程碑是美国圣何塞州立大学数论教授Dan Go... 阅读全帖 |
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s***5
发帖数: 2136 | 47 又一个自以为数学好的人。一个数是否是素数，是依赖于整个素数集的。
假设总共只有n个素数（我们现在知道这个假设是错误的），那任何不能被这n个素数中
任意一个整除的数，都是这个假设的素数集上的素数，这是素数的基本定义。假设素数
只有2，3，5，7，11，13六个，那2*3*5*7*11*13+1 ＝30031就是这个假设下的“素数
”，因为它不能被“所有”素数中的任何一个整除，虽然在更大的素数集合上，e.g. {
2,3,5,7,11,13,59,509} ，它是素数。
在反证法里，要时刻记住开始的假设，荒谬的结论推导自初始假设，才能反证初始假设
是错误的。 |
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b*********z
发帖数: 26 | 48 楼太高，没看完。不知道是不是有人和我表达过相同的意思。反正试试看这种说法大家
觉得有没有道理。
1. 素数的定义只有一个，就是只能被它自己和1整除的数。
2. 反证法一定要给个假设然后证到底的结论和假设矛盾才算数。这一点非常重要。假
设条件在推理中要用，而且不能违背，知道推到和假设条件矛盾的结论为止。
LZ的假设是素数是有限的，我们称为已知素数，那么
LZ说：“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
在反证法的前提下，这句话的意义是
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***已知素数***整除
因为你已经说了，素数就这些。但是，这是错误的。
假设已知素数是2，3，5。49就是变成了素数，而根据素数的定义，49能被7*7整除，49
不是素数。
也就是说，你没有证明N=p1*p2*...pn+1不能被大于pn而小于N的整数整除。
LZ在推论中就有错误，而不是在正确的推理后得出的结论和前提假设错误，不符合反证
法。 |
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s******k
发帖数: 168 | 49 把楼主的证明改写了一下，大家看看对不对。我觉得和楼主的证明是等价的。
素数定义：
* 最小的素数是2
* 一个数是素数，如果这个数是不被任何小于它的素数整除的自然数
素数的性质一：
* 素数只有有限个
假设性质一为真, 将所以素数记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
可知: 如果性质一为真,则N是满足前面素数定义的素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故性质一为假，素数有无穷多个，前面N是素数的推论未必成立。 |
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l***o
发帖数: 7937 | 50 发信人: luobo (菠萝), 信区: Mathematics 标 题: Re: 素数有无穷多个, 你会证吗?
给大家奉上几篇欢乐的帖子. 发信站: BBS 未名空间站 (Fri May 24 00:19:43 2013,
美东)
发信人: l63 (l63), 信区: WaterWorld 标 题: 关于使用反证法证明 "素数有无穷多
个" 发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东)
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k 考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1 可知:
对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N 由素数的定义: a是素数 <=> a是大于1的
自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 可知: N是素数 这与素数只有p_1,p_2,...,p_k
矛盾. 故假设不成立. 所以素数有无穷多个. -------------------------------------
回你最后一贴。你再看一下你的这个证明，是严格意义上的反证法吗？说说你哪里用到
了第一行的假设？
没有用... 阅读全帖 |
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