c****n
发帖数: 1646 | 1 1. 63暂时还不承认，他认为得出合数的结论是因为用了合数的定义，而他的推理只用
了素数的定义，N只能是素数。
２。 如果知道N也能是合数，却仍坚持N是素数，不能否定原假设。因为素数有限的假
设推理无法证明所以N有一个一定能是素数，如果不讨论合数，并没有引入矛盾。 |
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b*********z
发帖数: 26 | 2 3是错误的。3的前提是任意大于pn的整数都能被已知素数整除，这是错误的。
假设2，3，5是已知素数，14就不满足。
除非这个逻辑被补充，否则论证是不严谨的。我认为素数分解理论在这里不适用。
附3原文
3. N是合数,那么必然能够被一个素数整除, 根据1, 所有的素数是p1,..., pn, 所以必
然有其中之一, 比如pj, 能整除N, 特别的, N 除以pj余数为0
另，反正法要和初始假设矛盾。 |
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x*****p
发帖数: 1707 | 3 这正是我要你明白的东西。也就是说，在递归定义中的base case，必须符合这个概念
的原始定义。
如果一个概念没有原始的定义，任何纯粹的递归定义都站不住脚。
我们有了素数的原始定义，才发现1不是素数，结果才衍生出了递归定义。也就是说，
原始的素数定义，能衍生出素数的递归定义，其实应该算推论。但在我们还不知道什么
叫素数的前提下，这个递归定义不成立。
同样，你认为0不是偶数的判断是错误的，这就是来源于你对偶数有个原始定义（2的倍
数）的判断。你在判断0是否是偶数的问题上，是不依赖于我后面的递归定义的。
我说这些，不知你看没看懂？ |
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c****p
发帖数: 6474 | 4 这样递归地定义素数如何：
1. 1不是素数
2. 2是素数
3. 对于大于2的整数a，a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。 |
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c****n
发帖数: 1646 | 5 你们的构造没什么一样，
我帮你把他那个素数的定义加上
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
假设有限个素数，为p1
考虑：N = P2*P3...Pk，注意是从P2开始乘的，即3*5*7开始，没有2。
则N+2以及N+4均为素数（易证，略），且分别为4k+1和4k+3型的。
他那么坚信他的方法没错，所以你也不要太担心。 |
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x*****p
发帖数: 1707 | 6 自然数集可以自然嵌入(单映射)到素数的子集合中，而素数子集可以自然嵌入到素数集
合中，而素数集合又可以自然嵌入到自然数集合中。所以最后自然数集和素数集是有相
同的基数。 |
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m**d
发帖数: 21441 | 7 多谢指正，经过思考，我把证明完善一下啊。
先证明一个定理：相邻素数之间的间隔没有一个极限值（是不是已经有人证明了？）
由此可以推出必定有无穷多的素数n，可以使n和3x5x7x11....xn+2之间不再有素数，那
么3x5x7x11....xn+2和3x5x7x11....xn+4就是孪生素数了
由于n有无穷多，那么孪生素数也有无穷多。
哈，这个证明完美了。 |
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n*****b
发帖数: 2235 | 8 以我浅薄的理解看
原证明唯一要加的小小步骤是首先说明素数集合非空
做反证法的时候
先有假设
然后根据这个假设和其他定理退出和假设相矛盾的结论
原证明的假设是：素数有限。既然有限，我们就可以把它们全部列出来，称之为a1,...
,an
原证明随后找出了另一个数字a1*a2*...*an + 1
这个时候我们还没有得出任何结论
所以不能离开开始的假设（即所有素数集合={a1,...,a_n}）
根据该假设 a1*a2*...*an + 1 > 1 不能被任何素数整除
这样的数字是不存在的 矛盾
原证明取了稍微弱一点的结论 说这个数字不是合数 同样也得出矛盾
你们的point是说最后一步有问题
但是根据原证明的思路，既然是反证法
在推导最后的矛盾结论是要严格按照假设
根据该假设不存在另外N个>an的素数
数. |
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a***e
发帖数: 27968 | 9 素数的定义是严格的，不因为你的假设而改变
推翻假设有两种可能：
一个是你构造的数是一个新的素数
或者构造的数可以被新的素数分解
这两种情况都是证明存在集合外的素数
直接声称新数是素数显然是不严密的 |
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p*e
发帖数: 6785 | 10 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: yjz (研究组), 信区: Military
标 题: 数学家发现全新已知最大素数：2^74207281-1
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Jan 23 18:54:57 2016, 美东)
该素数有22338618位（这个数字有多长？如果用五号字逐位打印出来，从头到尾长达82
.7公里），是第49个梅森素数。（第48个梅森素数2^57885161-1）
数学家都来说说，梅森素数会有无穷多个吗？ |
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m**u
发帖数: 3348 | 11 令p1,p2....pn为从小到大依次排列的素数，
则p1*p2....pn+1也为素数，
同理p1*p2....pn-1也为素数，
两者相差为2，
因为素数无穷，
所以孪生素数同样无穷
证毕
想了会儿 没看出来问题出在哪
求大牛指正 |
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l**********3
发帖数: 10970 | 12 3x5-1, 3x5 1
令p1,p2....pn为从小到大依次排列的素数，则p1*p2....pn 1也为素数，同理p1*p2...
.pn-1也为素数，两者相差为2，因为素数无穷，所以孪生素数同样无穷........ |
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q********y
发帖数: 162 | 13 欧几里德的那个证明没说 p1*p2...*pn+1 一定是素数。
他给两种情况，
要么1. p1*p2...*pn+1 是素数
要没2. p1*p2...*pn+1 不是素数。
从2可推出在pn 和 p1*p2...*pn+1之间有素数。
不论哪种情况，p1,p2, ..., pn 是仅有的素数都不成立。
, |
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l*3
发帖数: 2279 | 14 那么你这个合数的定义和我那个素数的定义相比又高明在哪里呢?
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我的本意如下:
素数的朴素定义是: 大于1的自然数, 且不被任何非1和它本身的自然数整除.
合数的朴素定义是: 大于1的自然数, 存在 "非1和它本身的自然数" 整除它.
合数的朴素定义可不是 "若干 (不止一个) 素数之积"
我取巧把定义中作为因子的 "自然数" 改成了"素数", 你也一样, 这本质上都依赖于 "
任何大于1的自然数都有素因子分解", 或者说, 至少你如果想说明 "自然数" 改成 "素
数" 的合理性, 用 "任何大于1的自然数都有素因子分解" 是比较快的方法.
而且你如果想用 "任何大于1的自然数都有素因子分解" 的话, 那直接就说明N连数都不
是 (因为在假设条件下, N大于1,但根本没有素因子分解), 何必还扯什么素数合数呢?
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如上废话的意思就是, 你2楼的证明并没有 "更好".
我为什么要较真呢? 因为你说1楼的证明 "不够严密", 而且还没说出为什么 "不够严密
". |
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i*****s
发帖数: 4596 | 15 众所周知，素数是无限多的，但分布会越来越稀疏。这一点很像人类在科学上的突破，
随着难度越来越大，突破越来越难，但认识领域是无限的，而突破数目也是无限多的。
所谓孪生素数猜想，从更广义的角度看，其实是哈代-里特伍德猜想的一个特例。该猜
想断言不仅孪生的素数对有无限多，而且任何模式固定的素数簇（例如p，p+2，p+6，p
+8）都有无限多，前提是不存在“充分大的这个具体的数簇必然包括合数”的证明。
再用人类突破来比喻，素数簇就好比某一个特别时刻某人连续做出耀眼的贡献，例如牛
顿乡下躲瘟疫那段时间，或是爱因斯坦一年五论文。
那么老张的证明就好比向我们显示，也许随着时间推移，做出重大突破的可能越来越小
，但牛人牛事却是永远不会绝迹的。 |
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Y******d
发帖数: 1938 | 16 5月13日，一位默默无名的数学家宣布证明存在无穷多个相差小于7千万的素数对。张益
唐当时是新罕布什尔大学的讲师，他的发现是孪生素数猜想证明的一大突破，首次在素
数对之间成功设下一个有限界限。在随后的几个月内，张益唐马不停蹄的在各大著名大
学发表演讲，中国大陆和台湾的顶级研究院都发出了聘请邀请，普林斯顿高等研究院提
供了一个访问学者职位，新罕布什尔大学表示将晋升他为正教授。与此同时，张的研究
引发了一个疑问：为什么是7千万？这个数字并不特别，只是为了简化证明而引入的。
其他数学家立即意识到他们可以缩小这个数字。到了5月底，数学家通过调整张的证明
，将界限缩小到6千万内。6月4日，UCLA的菲尔茨奖金得主陶哲轩发起了Polymath项目
，吸引了许多数学家合作去取得更小的结果。7月27日，界限从7千万缩小到了4680。11
月19日，数学博士后James Maynard在预印本网站发表论文，将界限进一步缩小到了600
。Maynard的方法不仅可以应用于素数对，而且可以应用于更大的素数集合，可以得到
任意素数数量的界限群。陶哲轩也独立的得出相同的结果。张益唐热衷于独自研究，但
陶哲轩则建议... 阅读全帖 |
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w******3
发帖数: 882 | 17 他的理解有点不对，有无穷对差小于70M的素数，不等于每个素数后面跟的素数差都在
70M内。
我的解读是，素数的分布总体上是距离越来越远无限发散的，但是这种发散状态，总是
有一些密集的pair. |
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y*z
发帖数: 3244 | 18 该素数有22338618位（这个数字有多长？如果用五号字逐位打印出来，从头到尾长达82
.7公里），是第49个梅森素数。（第48个梅森素数2^57885161-1）
数学家都来说说，梅森素数会有无穷多个吗？ |
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j****i
发帖数: 68152 | 19 2^2-1 = 3是素数，2^2x3-1 = 11，也是素数
2^3-1 = 7是素数，2^3x3-1 = 23，也是素数
你随口就说2^74207281x3-1是偶数，请证明。 |
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O********2
发帖数: 121 | 20 张的结果意义极为重大。这个结果说明有无穷对素数，其差不超过7000万。这就必然能
推导出，存在这么一个偶数x，使得无穷对素数，每一对的差恰好等于这个偶数x。如果
这个偶数恰好为2，就证明了孪生素数猜想。但目前这个x是一个小于7000万的偶数，具
体是多少，还不知道。这相当于孪生素数猜想的弱形式。而这个结果无疑是迈出了极为
重要的一步。我想张的这个结果如果没问题，他应该有资格获得数学上的第二大奖沃而
夫奖。 |
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m********3
发帖数: 2125 | 21 刚刚去看了欧几里德关于素数无穷多的证明，觉得真的是简洁，巧妙。
反证法：
假设只有n个素数，a1,a2,a3,...an
那么a1*a2*a3*...*an+1这个数被所有的素数除都除不尽，还余1，这个数也只能是素数
，所以矛盾了。
当然文科生会说根本不用证明就是对的。 |
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c****n
发帖数: 1646 | 22 才明白你的连贯性是什么意思。
这么说，你给定一个集合A含a1,a2,.....an个素数，
那么N=a1*a2*..........an+1必定有以下结论，
要么是N本身是一个素数，要么N含一个新的不在集合A中的素数为其因子。
素数有限的假设直接和上面这个推论矛盾。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 23 打回原籍, 罚看31楼100遍.
搞清楚以下证明
-------
反证法：
假设只有n个素数，a1,a2,a3,...an
那么a1*a2*a3*...*an+1这个数被所有的素数除都除不尽，还余1，这个数也只能是素数
，所以矛盾了。
-------
中第一句话, 什么叫 "假设只有n个素数，a1,a2,a3,...an".
罚对墙大声念此话100遍.
-------
PS: 如果你是学数学的, 我为你感到耻辱. |
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c****n
发帖数: 1646 | 24 文科生，你的31楼是这样说的
刚刚去看了欧几里德关于素数无穷多的证明，觉得真的是简洁，巧妙。
反证法：
假设只有n个素数，a1,a2,a3,...an
那么a1*a2*a3*...*an+1这个数被所有的素数除都除不尽，还余1，这个数也只能是素数
，所以矛盾了。
欧几里德自己是这么说的：
First, let it be prime. blablabla........
Next, let EF not be prime. blabalbla.................
我说31楼的证明不完备，因为至少在欧本人和我们这些跟随的小喽罗们看来，next也是
值得论证一下，first不是must be
屌炸天的阁下是这么说的
人家直接无视掉了这种情形, 你还说人家的证明 "不完备", 这让人说什么好? |
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c****n
发帖数: 1646 | 25 不用那么复杂，你只需要判断到跟号a，一个个除过去，就成了。
不过功夫一定要做到，不能说张三给了你一个素数表，你看到1/10a 还没有，或李四给
你了个什么假设的全素数表，你也不知道对错，找了没有，就说a是素数了。
验证到跟号a是王道，定义出发，管你什么前提，假设，谁也否定不了。
现在你说说，你是如果判断N=a1*a2*...........an+1 是素数的？
验证到跟号N了？还是查李四表所得？
那a |
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l*3
发帖数: 2279 | 26 既然已经能够通过找出一个新的素数来说明之前的素数表 "不全", 那我还费那么多事
干嘛?
另外, 这个错误在哪里?
你还是搞不清逻辑.
我继续试图使用你的语言表述来说吧.
证明的假设是 "已知的素数表是全的", 在这个假设下, 我们可以构造出一个素数不在
这个表内, 这就已经矛盾了, 不需要额外的说明, 这个证明也没有什么 "不完备" 的地
方.
这下搞懂了没? |
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c****n
发帖数: 1646 | 27 哦，你构造了一个新素数N=a1*a2*a3..........*an+1
就是说，构造一个新素数就能说原假设不成立，
那我认为其实N=（a3*a5+7)*(a250-1),构造两个新素数，那里不对了。
对了，它和不能被a1,a2,..........an任一个整除也不矛盾。
你如何否定这两个不存在？
根据你的假设"已知的素数表是全的"，那N也不应该存在。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 28 民科果然是民科,
请问我什么时候说过 "连乘+1是素数"?
麻烦你列出楼层.
我只承认我说过 "如果素数只有p1,p2,...,pn, 那么p1*p2*...*pn + 1是素数"
我从来没在抛开前提假设的情况下说过 "p1*p2*...*pn + 1是素数"
你如果认为我说过, 请列举出来源, 谢谢! |
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kr
发帖数: 318 | 29 如果30031是素数，那么素数不止有2，3。。。13
如果30031不是素数，那么必含有除2,3.。。。13以外的质因子。所以素数不止有2，3
。。。13 |
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g***s
发帖数: 3811 | 30 张同学证明“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，跟＂素数间隔小于七千万＂不
是一回事吧。
就像＂有无穷多个孪生素数＂，跟＂素数间隔小于等于２＂明显不等啊。 |
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c****n
发帖数: 1646 | 31 自然数是由 质数,合数,和1 组成的.
等价假设2： 除去1,p_1,p_2,...........,p_K之外的自然数均为合数。
显然等价假设2与原假设同为真或同为假。
推论过程原假设与等价假设必须同时成立或不成立。
此步骤没问题
a是素数推论成立前提，原假设1成立。
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 根据假设1，素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
3. 若假设1成立，a即不被任何小于a的素数整除
4. 推理结论 a是素数成立
该推理过程无误
考虑等价假设2
推理过程： 1 由构造a 不能被P_1,......p_k整除，
2. 若等价假设2成立，a不是1，p_1,P_2............P_k中任何一个
3. a是合数成立
也可知，N 是合数 |
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l*3
发帖数: 2279 | 32 哦, 你没看清楚证明方式.
首先是假设素数只有有限个,
既然有有限个, 你就可以列出来: a1,a2,...,ak
最后根据逻辑推导, 又找到了一个N, 也是素数, 并且不是a1,a2,...,ak中的任何一个,
所以假设不成立.
假设不成立不只是说 "素数不止有a1,a2,...,ak", 而是说 "素数有无穷个" |
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d*****u
发帖数: 17243 | 33 只能说明你的论证过程不对
我再重复一遍，N很可能不是素数（根据素数的原始定义）
你的论证是：（1）N是素数；（2）N在k个素数之外。所以反证法成功。
我告诉你（1）就是错的 |
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d*****u
发帖数: 17243 | 34 即使p_i们都是素数
N也可能不是素数
你说它是素数需要证明（说实话我觉得根本证不出来）
仅仅说它不含p_i当中任何一个因子是不够的
它说不定含有 p_n+444 这个因子呢（瞎说的哈）
但实际上你不用证明N在此条件下是素数也能完成证明
前面说了 |
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x*****p
发帖数: 1707 | 35 从这个素数的定义，当然可以推出一个素数不能被任何比自己小的素数整除。所以，你
的这个结果，是根据素数定义得到的推论，本身不能用来当定义。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 36 我只问你这个证明对不对.
我未列举出素数和合数的定义, 自然是默认主流的定义, 我证明中使用的都是别人已经
证明为正确的结果.
这里并未从素数的定义出发来证明所有命题, 包括Fundamental Theorem of
Arithmetic, 我都没有证明, 是直接使用的, 但是我用到的所有步骤, 你敢说哪一步是
错的吗?
你如果认为证明不对, 请你指出其中哪一步推导是错误的.
如果你认为证明是正确的, 那么请你承认:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 |
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l*3
发帖数: 2279 | 37 对.
具体来说是这样的:
"如果素数只有 p_1,p_2,...,p_k, 那么 p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话是对的
.
"p_1*p_2*...*p_k + 1 是素数" 这句话我从来没在缺乏前提假设的条件下说过, 至于
其正确性, 与我的证明无关.
前n个素数的连乘积+1当然有可能是合数, 比如2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509, 但这
根本不能说明1楼的证明本身是错的, 有些人连这一点都绕不过去, 我觉得很可笑. |
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x*****p
发帖数: 1707 | 38 你证明的整个思路是没问题的，但有不严谨的地方。你能过素数的原始定义，得到一些
等价出来的正确的命题，然后用这个命题来证明最后的结论，是没问题的。问题在于你
给出的称为素数的定义
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
是不严谨的。
你既然用你称为"默认主流的定义", 就应该用这个定义来进行反证。可是你却要用别人
证明了正确的结果，这使得整个证明的美观性大打折扣。
你知道集合论中的罗素悖论吧？这个悖论就是用集合本身的定义来否定集体论本身。他
给出集合定义{x|x does not belong to x}，结果证明这不是集合，也是反证法。 |
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m**x
发帖数: 8454 | 39 lz是对的。
反证法： 按照lz定义，如果2不是素数，那么存在比2小的素数可以整除2。比2小的自
然数只有1。 1不是素数。矛盾。
所以2是素数。 |
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j****q
发帖数: 204 | 40 大哥~你别硬撑了。。。lz定义没问题啊。。。
recursive到2的时候，根据lz定义需要判断2能不能被任意比2小的素数整除。而比2小
的自然数只有1，而根据定义1不是素数，因此满足条件的素数的集合是空集，那么命题
：所有属于空集的素数都无法整除2 恒为真，证毕 |
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x*****p
发帖数: 1707 | 41 而楼主用小于2的素数集合为空集来证明2是素数，这绝对错误。你在不知道什么是素数
的情况下，居然去定义一个素数集合，已自相矛盾了。 |
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d*****n
发帖数: 3033 | 42 。。。
楼主说素数的积+1还是素数
我告诉他不是，
因为2*3*5*7*11*13+1=30031 就不是素数，30031=59*509
这个新的数是个合数，
所以楼主并没有得到第n+1个素数。
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不要被民科迷惑了，民科有时候很绕的 |
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t**********2
发帖数: 1704 | 43 素数的积还是素数，在这里是有前提的
这个积是所有素数的积，不是部分素数的积 |
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j****q
发帖数: 204 | 44 a recursive definition must always have base cases, cases that satisfy the
definition without being defined in terms of the definition itself
所以base case（1的素数性primarity）是不需要证明的，既是trivial的。这里讨论的
是素数性，不是素数也是素数性的一种。
当然我之前说了，你认为需要证明我认为不需要，我们没法交流，只是发个连接fyi |
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c**n
发帖数: 5275 | 45
从lz的证明出发，可以找出很多这样30031的“伪素数”，同意不？
如果你能证明这样的伪素数有限，OK，虽然你漏掉了无数素数，可你终归还是得到了某
个集合，有无限个元素，其中有限个不为质数，将就算个对。lz证明这一点了么？
好，你也可能发现这样的伪素数在这个集合里有无限个，那就不好玩了，还得另辟蹊径
去证明你这个集合剩下的元素个数为无限。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 46 已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 他可能在p_k和N之间", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道理吗?
换个说法:
已经假设素数只有p_1,p_2,...,p_k, 你现现在说我没有考虑这种情况: "可能有些素数
, 不是p_1,p_2,...,p_k中的任何一个", 并以此认为我的证明有问题. 请问你说的有道
理吗?
------
注: 在假设中, 我并未说p_1,...,p_k是从小到大依次排列的, 不过你可能默认了这一
点, 没关系, 就当你是对的好了, 这个和主题关系不大.
和N |
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b*********z
发帖数: 26 | 47 RE。特别是用反证法，当然要证到这个原始定义。
谁知道其他推论有没有违背反证法的前提：素数是有限的。
素数分解定理的前提就是素数的原始定义。
否则你假设素数只有到pn，凭什么说a一定能被p1到pn整除？ |
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b*********z
发帖数: 26 | 48 素数是无限的！！！！！
这句话是正确的还是错误的？
你那句话的前提就是素数是无限的。但你假设素数是有限的，这句推论怎么能用到证明
里呢？
你都知道了素数是无限的还证个什么啊。 |
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d*****u
发帖数: 17243 | 49 我给你认真写一下吧
你自己可能不知道，但是你已经把A偷换成了
a是素数<=>a是大于1的自然数，且a不被任何p_n以下的素数整除
这个结论本身就是错的
跟素数是不是有限个其实是无关的
然后你用它来反证出素数有无穷多个 |
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b*********z
发帖数: 26 | 50 这个命题是正确的！
但是不能用在反证法中，见平行线反证法的例子！你不能随便将一个定理引入反证法逻
辑，否则就会得到这样的笑话：
就好比说：你说，所有平行线都不相交，对吧，大家都承认吧！！"在主流的数学公理
反证法的context和一般证明是不一样的！
证明两条直线是平行线，用反证法只能用定义：两条直线不相交
证明是素数，在反证法中请用定义：只能被1和自己整除。
引用一切其他定理一定要证明这个定理和假设无关。
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除"
这句话和”素数是有限的，就是这些“是有关系的。因为这个假设，这句话在反证法的
context中不成立，不能作为逻辑推断最后归谬的一部分。 |
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