c*****d
发帖数: 186 | 1 面JP Morgan一个组， 专门问stochastic calculus.
题目这样 assume X_t = integral_0^t W_s ds, 问这是个啥？
这个好说，基础题，normal(0, t^3/3). 接着问，what is E(X_t|X_u) (t>u)?
我想了想: E(X_t|X_u) = E(X_t-X_u+X_u|X_u) = E(X_t-X_u|X_u) + E(X_u|X_u)
= 0 + X_u = X_u. 他说不对， E(X_t-X_u|X_u) != 0. 我一阵眩晕...
求指点。 |
c**********e
发帖数: 534 | 2 如果你的结果是对的 你是不是在说X_t是鞅... |
c*****d
发帖数: 186 | 3 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
【在 c**********e 的大作中提到】
: 如果你的结果是对的 你是不是在说X_t是鞅...
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c**********e
发帖数: 2007 | 4 (3t/2u-1/2)X_u
: 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
【在 c*****d 的大作中提到】
: 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
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x******a
发帖数: 6336 | 5 E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
= E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
= E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
= 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
【在 c*****d 的大作中提到】
: 面JP Morgan一个组， 专门问stochastic calculus.
: 题目这样 assume X_t = integral_0^t W_s ds, 问这是个啥？
: 这个好说，基础题，normal(0, t^3/3). 接着问，what is E(X_t|X_u) (t>u)?
: 我想了想: E(X_t|X_u) = E(X_t-X_u+X_u|X_u) = E(X_t-X_u|X_u) + E(X_u|X_u)
: = 0 + X_u = X_u. 他说不对， E(X_t-X_u|X_u) != 0. 我一阵眩晕...
: 求指点。
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x*****n
发帖数: 101 | 6 然后呢，cov(W_u, X_u)怎么求？谢谢！
【在 x******a 的大作中提到】
: E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
: = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
: = E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
: = 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
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a********e
发帖数: 5 | 7 ==int_0^udt=int_0^u t dt =u^2/2
【在 x*****n 的大作中提到】
: 然后呢，cov(W_u, X_u)怎么求？谢谢！
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c*****d
发帖数: 186 | 8 谢啦！能否解释一下最后为啥 E(WulXu) = Cov(Xu, Wu)/Var(Xu)*Xu吗？
【在 x******a 的大作中提到】
: E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
: = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
: = E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
: = 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
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x******a
发帖数: 6336 | 9 W_u and X_u are jointed normal, which means W_u could be written as a linear
combination of X_u and some normally distributed variable which is
independent of X_u, let’s call it Y_u, i.e.,
W_u = a* X_u + b* Y_u
then
E[ W_u | X_u ] = a* X_u
So the questions is what a is.
【在 c*****d 的大作中提到】
: 谢啦！能否解释一下最后为啥 E(WulXu) = Cov(Xu, Wu)/Var(Xu)*Xu吗？
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c*****d
发帖数: 186 | 10 So cov(Wu, Xu) = a Cov(Xu, Xu)=aVar(Xu), get a.
Thank you very much!
linear
【在 x******a 的大作中提到】
: W_u and X_u are jointed normal, which means W_u could be written as a linear
: combination of X_u and some normally distributed variable which is
: independent of X_u, let’s call it Y_u, i.e.,
: W_u = a* X_u + b* Y_u
: then
: E[ W_u | X_u ] = a* X_u
: So the questions is what a is.
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l*********r
发帖数: 10 | 11 我的答案是 E(x_t|x_u)=(t-u)W_u+x_u
首先x_t=int_0^t(W_s)ds=t*W_t-int_0^t(s)dW_s=int_0^t(t-s)dW_s，写成Winer
integral的形式有助于下面的计算。
E[x_t|x_u]=E[x_t-x_u|x_u]+E[x_u|x_u]
=E[int_0^t(t-s)dW_s-int_0^u(u-s)dW_s|x_u]+x_u
=E[int_u^t(t-s)dW_s+int_0^u(t-u)dW_s|x_u]+x_u
=(t-u)W_u+x_u |
c*****d
发帖数: 186 | 12 你的最后一步可能有一点点问题
E(int_0^u (t-u)dW_s|X_u) != (t-u)W_u, it equals E((t-u)W_u|X_u), 这个怎么算
参考上面的posts.
其他步骤没问题。
【在 l*********r 的大作中提到】
: 我的答案是 E(x_t|x_u)=(t-u)W_u+x_u
: 首先x_t=int_0^t(W_s)ds=t*W_t-int_0^t(s)dW_s=int_0^t(t-s)dW_s，写成Winer
: integral的形式有助于下面的计算。
: E[x_t|x_u]=E[x_t-x_u|x_u]+E[x_u|x_u]
: =E[int_0^t(t-s)dW_s-int_0^u(u-s)dW_s|x_u]+x_u
: =E[int_u^t(t-s)dW_s+int_0^u(t-u)dW_s|x_u]+x_u
: =(t-u)W_u+x_u
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c*****d
发帖数: 186 | 13 面JP Morgan一个组， 专门问stochastic calculus.
题目这样 assume X_t = integral_0^t W_s ds, 问这是个啥？
这个好说，基础题，normal(0, t^3/3). 接着问，what is E(X_t|X_u) (t>u)?
我想了想: E(X_t|X_u) = E(X_t-X_u+X_u|X_u) = E(X_t-X_u|X_u) + E(X_u|X_u)
= 0 + X_u = X_u. 他说不对， E(X_t-X_u|X_u) != 0. 我一阵眩晕...
求指点。 |
c**********e
发帖数: 534 | 14 如果你的结果是对的 你是不是在说X_t是鞅... |
c*****d
发帖数: 186 | 15 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
【在 c**********e 的大作中提到】
: 如果你的结果是对的 你是不是在说X_t是鞅...
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c**********e
发帖数: 2007 | 16 (3t/2u-1/2)X_u
: 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
【在 c*****d 的大作中提到】
: 我的结果应该不对，不然面试官不会那么自信的说我错了。
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x******a
发帖数: 6336 | 17 E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
= E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
= E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
= 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
【在 c*****d 的大作中提到】
: 面JP Morgan一个组， 专门问stochastic calculus.
: 题目这样 assume X_t = integral_0^t W_s ds, 问这是个啥？
: 这个好说，基础题，normal(0, t^3/3). 接着问，what is E(X_t|X_u) (t>u)?
: 我想了想: E(X_t|X_u) = E(X_t-X_u+X_u|X_u) = E(X_t-X_u|X_u) + E(X_u|X_u)
: = 0 + X_u = X_u. 他说不对， E(X_t-X_u|X_u) != 0. 我一阵眩晕...
: 求指点。
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x*****n
发帖数: 101 | 18 然后呢，cov(W_u, X_u)怎么求？谢谢！
【在 x******a 的大作中提到】
: E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
: = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
: = E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
: = 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
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a********e
发帖数: 5 | 19 ==int_0^udt=int_0^u t dt =u^2/2
【在 x*****n 的大作中提到】
: 然后呢，cov(W_u, X_u)怎么求？谢谢！
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c*****d
发帖数: 186 | 20 谢啦！能否解释一下最后为啥 E(WulXu) = Cov(Xu, Wu)/Var(Xu)*Xu吗？
【在 x******a 的大作中提到】
: E(X_t-X_u|X_u) = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds + int_u^t W_u ds | X_u)
: = E( int_u^t(W_s-W-W_u) ds |X_u ) + E(int_u^t W_u ds | X_u)
: = E(int_u^t(W_s-W-W_u) ds) + E( W_u (u-t) | X_u)
: = 0 + (u-t)*cov(W_u, X_u)/Var(X_u)*X_u
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x******a
发帖数: 6336 | 21 W_u and X_u are jointed normal, which means W_u could be written as a linear
combination of X_u and some normally distributed variable which is
independent of X_u, let’s call it Y_u, i.e.,
W_u = a* X_u + b* Y_u
then
E[ W_u | X_u ] = a* X_u
So the questions is what a is.
【在 c*****d 的大作中提到】
: 谢啦！能否解释一下最后为啥 E(WulXu) = Cov(Xu, Wu)/Var(Xu)*Xu吗？
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c*****d
发帖数: 186 | 22 So cov(Wu, Xu) = a Cov(Xu, Xu)=aVar(Xu), get a.
Thank you very much!
linear
【在 x******a 的大作中提到】
: W_u and X_u are jointed normal, which means W_u could be written as a linear
: combination of X_u and some normally distributed variable which is
: independent of X_u, let’s call it Y_u, i.e.,
: W_u = a* X_u + b* Y_u
: then
: E[ W_u | X_u ] = a* X_u
: So the questions is what a is.
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l*********r
发帖数: 10 | 23 我的答案是 E(x_t|x_u)=(t-u)W_u+x_u
首先x_t=int_0^t(W_s)ds=t*W_t-int_0^t(s)dW_s=int_0^t(t-s)dW_s，写成Winer
integral的形式有助于下面的计算。
E[x_t|x_u]=E[x_t-x_u|x_u]+E[x_u|x_u]
=E[int_0^t(t-s)dW_s-int_0^u(u-s)dW_s|x_u]+x_u
=E[int_u^t(t-s)dW_s+int_0^u(t-u)dW_s|x_u]+x_u
=(t-u)W_u+x_u |
c*****d
发帖数: 186 | 24 你的最后一步可能有一点点问题
E(int_0^u (t-u)dW_s|X_u) != (t-u)W_u, it equals E((t-u)W_u|X_u), 这个怎么算
参考上面的posts.
其他步骤没问题。
【在 l*********r 的大作中提到】
: 我的答案是 E(x_t|x_u)=(t-u)W_u+x_u
: 首先x_t=int_0^t(W_s)ds=t*W_t-int_0^t(s)dW_s=int_0^t(t-s)dW_s，写成Winer
: integral的形式有助于下面的计算。
: E[x_t|x_u]=E[x_t-x_u|x_u]+E[x_u|x_u]
: =E[int_0^t(t-s)dW_s-int_0^u(u-s)dW_s|x_u]+x_u
: =E[int_u^t(t-s)dW_s+int_0^u(t-u)dW_s|x_u]+x_u
: =(t-u)W_u+x_u
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g********a
发帖数: 1 | 25 主要问题在于计算下面式子(Fubini)：
E(X_t-X_u|X_u)=E(int_u^tW_sds|X_u)=int_u^tE(W_s|X_u)ds
=int_u^tE(W_s-W_u+W_u|X_u)ds
=int_u^tW_uds
=W_u*(t-u)
本质上这跟
E(W_t|W_u)=E(W_t-W_u+W_u|W_u)=W_u
是一样的。
这也说明了X_t不是一个Martingale。事实上W_t^3-3*X_t才是。
【在 c*****d 的大作中提到】
: 面JP Morgan一个组， 专门问stochastic calculus.
: 题目这样 assume X_t = integral_0^t W_s ds, 问这是个啥？
: 这个好说，基础题，normal(0, t^3/3). 接着问，what is E(X_t|X_u) (t>u)?
: 我想了想: E(X_t|X_u) = E(X_t-X_u+X_u|X_u) = E(X_t-X_u|X_u) + E(X_u|X_u)
: = 0 + X_u = X_u. 他说不对， E(X_t-X_u|X_u) != 0. 我一阵眩晕...
: 求指点。
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z*********7
发帖数: 2 | |
