z**k
发帖数: 378 | 1 面了三个基本的stochastic calculus积分，答出来前两个，最后一个弃了： assume B_t is
the standard brownian
motion:
1) \int_0^T t dB_t. This I know the solution is Normal with mean 0 and
variance t^2
2) \int_0^T B_t dB_t. The solution is .5B_t^2 - .5T^2
3) \int_0^T B_t dt. ：( 这个我就不会了。。。算了好久还是放弃了
我尝试用finite sum and take limit来解，面试官似乎希望我能直接报答案。。。不
得已放弃
了。 |
d*j
发帖数: 13780 | 2 apply ito lemma to t*B_t
B_t is
【在 z**k 的大作中提到】
: 面了三个基本的stochastic calculus积分，答出来前两个，最后一个弃了： assume B_t is
: the standard brownian
: motion:
: 1) \int_0^T t dB_t. This I know the solution is Normal with mean 0 and
: variance t^2
: 2) \int_0^T B_t dB_t. The solution is .5B_t^2 - .5T^2
: 3) \int_0^T B_t dt. ：( 这个我就不会了。。。算了好久还是放弃了
: 我尝试用finite sum and take limit来解，面试官似乎希望我能直接报答案。。。不
: 得已放弃
: 了。
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z**k
发帖数: 378 | 3 so
N(0, T^2) - .5T ?
有什么参考教材么，最好是习题册类型的。。。大谢
【在 d*j 的大作中提到】
: apply ito lemma to t*B_t
:
: B_t is
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a*******h
发帖数: 123 | 4 第一题的 variance 不是 t^2，是 \int_0^T t^2 dt。分布是 Normal(0, T^3/3)。
B_t is
【在 z**k 的大作中提到】
: 面了三个基本的stochastic calculus积分，答出来前两个，最后一个弃了： assume B_t is
: the standard brownian
: motion:
: 1) \int_0^T t dB_t. This I know the solution is Normal with mean 0 and
: variance t^2
: 2) \int_0^T B_t dB_t. The solution is .5B_t^2 - .5T^2
: 3) \int_0^T B_t dt. ：( 这个我就不会了。。。算了好久还是放弃了
: 我尝试用finite sum and take limit来解，面试官似乎希望我能直接报答案。。。不
: 得已放弃
: 了。
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z**k
发帖数: 378 | 5 enen, 我笔误了
【在 a*******h 的大作中提到】
: 第一题的 variance 不是 t^2，是 \int_0^T t^2 dt。分布是 Normal(0, T^3/3)。
:
: B_t is
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a*******h
发帖数: 123 | 6 面的时候没笔误就好 :)
【在 z**k 的大作中提到】
: enen, 我笔误了
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z**k
发帖数: 378 | 7 en，我如果用英文考虑问题总是会出错～～～
万幸是这题之前版上讨论过了～～～
【在 a*******h 的大作中提到】
: 面的时候没笔误就好 :)
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S*******r
发帖数: 11017 | 8 第3题可是K恩师的最爱啊。相关的衍生题还有：
\int_0^T (T-t) dt是martingale吗？（答案：不是，因为intergrand里有T）
daj的切入点是正解
d(TB_T) = dT*B_T + T*dB_T
therefore
T*B_T = \int_0^T B_t dt + \int_0^T t dB_t
=> \int_0^T B_t dt = T*B_T - \int_0^T t dB_t
where
T*B_T is normally distributed, E(T*B_T) = T*E(B_T) = T*0 = 0;
Var(T*B_T) = E(T^2*B_T^2)-[E(T*B_T)]^2 = T^2*E(B_T^2) = T^3.
\int_0^T t dB_t is also normally distributed as it is a martingale
so its mean = 0;
Var(\int_0^T t dB_t)=\int_0^T t^2 dt = T^3/3.
Therefore
\int_0^T B_t dt ~ N[ |
l******6
发帖数: 23 | 9 How about the correlation between T*B_T and \int_0^T t dB_t?
Did you assume they are independent?
【在 S*******r 的大作中提到】
: 第3题可是K恩师的最爱啊。相关的衍生题还有：
: \int_0^T (T-t) dt是martingale吗？（答案：不是，因为intergrand里有T）
: daj的切入点是正解
: d(TB_T) = dT*B_T + T*dB_T
: therefore
: T*B_T = \int_0^T B_t dt + \int_0^T t dB_t
: => \int_0^T B_t dt = T*B_T - \int_0^T t dB_t
: where
: T*B_T is normally distributed, E(T*B_T) = T*E(B_T) = T*0 = 0;
: Var(T*B_T) = E(T^2*B_T^2)-[E(T*B_T)]^2 = T^2*E(B_T^2) = T^3.
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a*******h
发帖数: 123 | 10 最后一个积分积得很牛逼阿！
E[(int_0^T B_t dt)^2] = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
= \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
这个东西的分布是怎么样的？是 Normal 不？
/3
【在 l******6 的大作中提到】
: How about the correlation between T*B_T and \int_0^T t dB_t?
: Did you assume they are independent?
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z**k
发帖数: 378 | 11 我觉得liujz606的答案是正确的，variance应该是T^3/3，你的计算我还没看，等下回
家研究下
#!/usr/bin/R
record <- numeric(10000)
for (i in 1:10000) {
grid <- cumsum(rnorm(1000, sd=sqrt(0.001)))
record[i] <- sum(grid)/1000
}
var(record)
答案是
0.3360694
【在 S*******r 的大作中提到】
: 第3题可是K恩师的最爱啊。相关的衍生题还有：
: \int_0^T (T-t) dt是martingale吗？（答案：不是，因为intergrand里有T）
: daj的切入点是正解
: d(TB_T) = dT*B_T + T*dB_T
: therefore
: T*B_T = \int_0^T B_t dt + \int_0^T t dB_t
: => \int_0^T B_t dt = T*B_T - \int_0^T t dB_t
: where
: T*B_T is normally distributed, E(T*B_T) = T*E(B_T) = T*0 = 0;
: Var(T*B_T) = E(T^2*B_T^2)-[E(T*B_T)]^2 = T^2*E(B_T^2) = T^3.
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z**k
发帖数: 378 | 12 我很想知道那个min(t,s)是怎么推倒得来的
【在 a*******h 的大作中提到】
: 最后一个积分积得很牛逼阿！
: E[(int_0^T B_t dt)^2] = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
: = \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
: 这个东西的分布是怎么样的？是 Normal 不？
:
: /3
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a*******h
发帖数: 123 | 13 你为啥把你之前的贴删了？ 我觉得你是对的，我验证了一下。
我也对这两个东西的correlation有疑问，直觉感觉不是独立的。而且assume你算的是
对的就更不独立。
【在 l******6 的大作中提到】
: How about the correlation between T*B_T and \int_0^T t dB_t?
: Did you assume they are independent?
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a*******h
发帖数: 123 | 14 看我的回帖阿。
min(t,s)是B_s 和 B_t 的 covariance.
【在 z**k 的大作中提到】
: 我很想知道那个min(t,s)是怎么推倒得来的
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z**k
发帖数: 378 | 15 宾果
- -||| 最近总是不自觉用推倒这个词
【在 a*******h 的大作中提到】
: 看我的回帖阿。
: min(t,s)是B_s 和 B_t 的 covariance.
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k*******d
发帖数: 1340 | 16 也可以从分部积分的角度来看
\int_0^T tdB(t) = TB(T) - \int_0^T B(t) dt
Then \int_0^T B(t) dt = TB(T) - \int_0^T tdB(t) = N(0, T^3) - N(0, T^3/3)
= N(0, T^3* 4/3) （这个过程和SinoGator给的其实是一样的）
我怎么觉得最后的方差应该是T^3 * 4/3啊。。。 |
l******6
发帖数: 23 | 17 我本来去修改，不小心按删除了，呵呵。
【在 a*******h 的大作中提到】
: 你为啥把你之前的贴删了？ 我觉得你是对的，我验证了一下。
: 我也对这两个东西的correlation有疑问，直觉感觉不是独立的。而且assume你算的是
: 对的就更不独立。
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a*******h
发帖数: 123 | 18 最后的 Variance 应该是 T^3/3,我来重发一下liujz606的解答：
var [\int_0^T B_t dt] = E[(int_0^T B_t dt)^2]
= E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
= \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt
= \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
= 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
= 2 \int_0^T ds \int_0^s t dt
= \int_0^T s^2 ds
= T^3/3
其中E[ ]和积分交换顺序想成三重积分然后交换积分顺序。 |
s***e
发帖数: 267 | 19 this looks correct. nice.
【在 a*******h 的大作中提到】
: 最后的 Variance 应该是 T^3/3,我来重发一下liujz606的解答：
: var [\int_0^T B_t dt] = E[(int_0^T B_t dt)^2]
: = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
: = \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt
: = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
: = 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
: = 2 \int_0^T ds \int_0^s t dt
: = \int_0^T s^2 ds
: = T^3/3
: 其中E[ ]和积分交换顺序想成三重积分然后交换积分顺序。
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S*******r
发帖数: 11017 | 20 受教了
【在 a*******h 的大作中提到】
: 最后的 Variance 应该是 T^3/3,我来重发一下liujz606的解答：
: var [\int_0^T B_t dt] = E[(int_0^T B_t dt)^2]
: = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
: = \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt
: = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
: = 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
: = 2 \int_0^T ds \int_0^s t dt
: = \int_0^T s^2 ds
: = T^3/3
: 其中E[ ]和积分交换顺序想成三重积分然后交换积分顺序。
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p*****k
发帖数: 318 | 21 aftermath's solution is correct.
for SinoGator or kiteflied's solution, the two terms indeed correlate.
the trick to bypass that is to write the last step as:
\int_0^T (T-t) dB(t)
since T is just a constant. then it reduces to Q1, and gives
the same answer:
\int_0^T (T-t)^2 dt = T^3/3 |
s***e
发帖数: 267 | 22 这个take limit好像也很不难：
Var [ \sum_{i=1}^n B_{(i-1)*h} *h ] =
= Var[ \sum_{i=1}^n ((i-1)*h) (B_{i*h} - B_{(i-1)*h})
因为\delta B独立性：
= \sum_{i=1}^n ((i-1)*h)^2 * h
= \int_0^T t^2 dt
【在 a*******h 的大作中提到】
: 最后的 Variance 应该是 T^3/3,我来重发一下liujz606的解答：
: var [\int_0^T B_t dt] = E[(int_0^T B_t dt)^2]
: = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
: = \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt
: = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
: = 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
: = 2 \int_0^T ds \int_0^s t dt
: = \int_0^T s^2 ds
: = T^3/3
: 其中E[ ]和积分交换顺序想成三重积分然后交换积分顺序。
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s***e
发帖数: 267 | 23 Nice.
【在 p*****k 的大作中提到】
: aftermath's solution is correct.
: for SinoGator or kiteflied's solution, the two terms indeed correlate.
: the trick to bypass that is to write the last step as:
: \int_0^T (T-t) dB(t)
: since T is just a constant. then it reduces to Q1, and gives
: the same answer:
: \int_0^T (T-t)^2 dt = T^3/3
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k*******d
发帖数: 1340 | 24 恩，我确实忽视了最后两项是相关的
这个trick真强！
【在 p*****k 的大作中提到】
: aftermath's solution is correct.
: for SinoGator or kiteflied's solution, the two terms indeed correlate.
: the trick to bypass that is to write the last step as:
: \int_0^T (T-t) dB(t)
: since T is just a constant. then it reduces to Q1, and gives
: the same answer:
: \int_0^T (T-t)^2 dt = T^3/3
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s****0
发帖数: 89 | 25 不好意思，谁帮忙解释下，
2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
那个系数 2 怎么来的
多谢
【在 a*******h 的大作中提到】
: 最后的 Variance 应该是 T^3/3,我来重发一下liujz606的解答：
: var [\int_0^T B_t dt] = E[(int_0^T B_t dt)^2]
: = E[ (int_0^T B_t dt) ( int_0^T B_s ds ) ]
: = \int_{[0, T]^2} E[B_s B_t] dsdt
: = \int_{[0, T]^2] min(t,s) dt ds
: = 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
: = 2 \int_0^T ds \int_0^s t dt
: = \int_0^T s^2 ds
: = T^3/3
: 其中E[ ]和积分交换顺序想成三重积分然后交换积分顺序。
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a*******h
发帖数: 123 | 26 因为积分区域 [0, T]^2 可以分成两半，一半是 t<=s, 一半是 s<=t,几何上来看就是
以 s=t 分割成的两个三角形。被积函数 min(s,t) 关于 s 和 t 对称，所以它在两个
三角形上的积分相等，任取一个三角形积分然后乘以 2 就好了。
【在 s****0 的大作中提到】
: 不好意思，谁帮忙解释下，
: 2 \int_{0<=t<=s<=T} t dt ds
: 那个系数 2 怎么来的
: 多谢
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s****0
发帖数: 89 | 27 多谢！
【在 a*******h 的大作中提到】
: 因为积分区域 [0, T]^2 可以分成两半，一半是 t<=s, 一半是 s<=t,几何上来看就是
: 以 s=t 分割成的两个三角形。被积函数 min(s,t) 关于 s 和 t 对称，所以它在两个
: 三角形上的积分相等，任取一个三角形积分然后乘以 2 就好了。
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a*******h
发帖数: 123 | 28 赞这个方法! 而且顺便还解决了我对于这个东西是不是 Normal 的困惑:)
【在 p*****k 的大作中提到】
: aftermath's solution is correct.
: for SinoGator or kiteflied's solution, the two terms indeed correlate.
: the trick to bypass that is to write the last step as:
: \int_0^T (T-t) dB(t)
: since T is just a constant. then it reduces to Q1, and gives
: the same answer:
: \int_0^T (T-t)^2 dt = T^3/3
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w****j
发帖数: 6262 | 29 我怎么连题都读不懂？\int_0^T什么意思？
B_t is
【在 z**k 的大作中提到】
: 面了三个基本的stochastic calculus积分，答出来前两个，最后一个弃了： assume B_t is
: the standard brownian
: motion:
: 1) \int_0^T t dB_t. This I know the solution is Normal with mean 0 and
: variance t^2
: 2) \int_0^T B_t dB_t. The solution is .5B_t^2 - .5T^2
: 3) \int_0^T B_t dt. ：( 这个我就不会了。。。算了好久还是放弃了
: 我尝试用finite sum and take limit来解，面试官似乎希望我能直接报答案。。。不
: 得已放弃
: 了。
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a*******h
发帖数: 123 | 30 从0到T积分，是LaTeX的记号。
【在 w****j 的大作中提到】
: 我怎么连题都读不懂？\int_0^T什么意思？
:
: B_t is
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c**********a
发帖数: 199 | 31 这种问题怎么准备啊，感觉直接给答案不可能啊
B_t is
【在 z**k 的大作中提到】
: 面了三个基本的stochastic calculus积分，答出来前两个，最后一个弃了： assume B_t is
: the standard brownian
: motion:
: 1) \int_0^T t dB_t. This I know the solution is Normal with mean 0 and
: variance t^2
: 2) \int_0^T B_t dB_t. The solution is .5B_t^2 - .5T^2
: 3) \int_0^T B_t dt. ：( 这个我就不会了。。。算了好久还是放弃了
: 我尝试用finite sum and take limit来解，面试官似乎希望我能直接报答案。。。不
: 得已放弃
: 了。
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d*s
发帖数: 28 | |
k*******d
发帖数: 1340 | |
