z*********e
发帖数: 10149 | 1 2D平面上可以找到一个等边三角形，每个顶点都在整数坐标下吗？ |
l*******s
发帖数: 7316 | 2 不行
【在 z*********e 的大作中提到】
: 2D平面上可以找到一个等边三角形，每个顶点都在整数坐标下吗？
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S*E
发帖数: 3662 | 3 坐标为整点的多边形的面积必须是整数或半整数。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 2D平面上可以找到一个等边三角形，每个顶点都在整数坐标下吗？
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l*******s
发帖数: 7316 | 4 这个可以反证。
如果有这样的3角形，那么可以把它放大两倍，得到一个坐标都是偶数的3角形。
然后把放大的3角形平移到其中一个边的中的在坐标原点。
也就是坐标同时减去其中一条边的中点的坐标（也是整数）。
这样得到的3角形的顶点坐标也应该是整数。
这样在通过原点的边的高线可以看出半条底边逆时针旋转90度然后延长到根3倍。
所以不在通过原点的边上的顶点坐标(x3,y3)跟通过原点的边上的顶点坐标（x1,y1)
(-x1,-y1)存在以下关系
|x3|= sqrt(3)*|y1|
|y3|= sqrt(3)*|x1|
x1,y1不同时为零，
sqrt(3)为有理数。矛盾。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 不行
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H********g
发帖数: 43926 | 5 不行，因为sqrt3是无理数，整数乘无理数无法得整数
【在 z*********e 的大作中提到】
: 2D平面上可以找到一个等边三角形，每个顶点都在整数坐标下吗？
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l*******s
发帖数: 7316 | 6 对，有个求面积的交叉公式。
【在 S*E 的大作中提到】
: 坐标为整点的多边形的面积必须是整数或半整数。
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z*********e
发帖数: 10149 | 7 SLE和llaalways 都奖励包子了
Huangchong 的解释没看懂 |
H********g
发帖数: 43926 | 8 这个答案想错了。情况没这么简单。整数坐标间的距离可以是无理数，我忽略了这个。
但是--
3不能写成任何两个整数的平方和，因此两个整数坐标的点间的距离一定不带根号三的
奇数倍因子（高斯整数，高斯质数似乎跟这个相关）。显然它们的中点的坐标也不包含
奇数个根号三因子（但是可以有根号二根号五因子）。
而等三如果已知两点 A B，都是整数坐标，
设AB中点为O，那O到第三点C的向量等于 向量OB 乘以 正负sqrt（3）i。
由于OB的长度不可能含奇数个sqrt（3）的因子，它乘以sqrt（3）以后肯定是个含有
sqrt（3）的无理数。而O的坐标也是不含sqrt（3）的，所以C的坐标加向量OB之后肯定
是没法消掉sqrt（3）的。所以C的坐标必然是带sqrt（3）的无理数，不可能是整数。
换句话说，要在消去乘的sqrt3，只能：1）在被乘数里已经含有sqrt3，或者 2）之后
正好加减sqrt3的同样倍数。如果被乘数不含sqrt3，被加减的数同样不含sqrt3，那结
果里肯定要继承sqrt3，所以结果肯定是含sqrt3的无理数。
【在 z*********e 的大作中提到】
: SLE和llaalways 都奖励包子了
: Huangchong 的解释没看懂
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l*******s
发帖数: 7316 | 9 你这个答案跟我的基本一样
：这个答案想错了。情况没这么简单。整数坐标间的距离可以是无理数，我忽略了这个。
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