t*******r
发帖数: 22634 | 1 实数里的无理数是无限不循环小数，实际上从某个分数开始以指数级别收敛速度的
无限展开搞出来的。从这个角度讲，还是有点像像泰勒展开的。。。
平面解析几何里，随便举个比如计算某个三角形面积，其实际也就是曲线下面积
（直线是曲线的特例），函数和积分都有了。。。
不过上面那些联系是有点牵强有点隐晦，也就是你说的 deep level 吧。。。
这个词不错。。。
just |
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r*g
发帖数: 3159 | 2 从高位加起，是比从低位加起更自然更高级的算法。
例子一，算账算小费从高位算起，随时截止，知道大概。例子二，两个无限不循环小数
的加法，你怎么从低位竖式加起？
你不用教你娃，让他教你好了。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 3 如果要精确，当然需要从低位算起。如果从高位算起，超过两位数的加法，就会有很大
问题。比如三位数的加法： 456 ＋ 547。
你说的两个无限不循环小数，从高位加起问题更严重。我觉得正确的做法是把他们两个
先都截断，近似成为有限小数，然后从低位加起。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 4 俺刚才要去接娃。。。或者这么说，被 3 整除的概念基础（如果俺没看错的话），就
是:
10 - 3*3 = 1
=> radix 10 的 place value 搞瓢虫式 right shift
但吃饱了撑的搞这个以前，先把基本的，分数换无限循环小数搞清楚再说，虽然那玩意
儿也不是太基本的东东。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 好吧，认真点，这玩意儿根本不用级数或极限。
无限循环小数换分数这玩意儿，也就是长除法里凑个 9999 啥的，让长除法出现循环
pattern。。。幼儿园 toddler 班的课程。。。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 6 循环小数是什么玩意儿？就是无穷多项加起来。在循环pattern问题上，
所有的mathematical structure啊， logic啊，长除法啊，都是基于一
个前提，那就是假定那无穷多项加起来之后是一个可以接受的“数”。
所以说，还是Euler的民科。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 7 是啊，然后你形式上接受竖式除法得到的结果，至于一个无限循环小数到底是什么
意思，比如0.234234234234......，你假定那是一个有限的数，然后进行形式上的
运算，得到一个分数。
但是，只有一个问题，就是我们从来没有说过，比如说，乘法分配律对于无穷多项
的和，也是适用的。
其实无所谓，对娃娃们来说，形式上符合逻辑，就已经够了。能够成为Euler一样的
民科，是一个伟大的成就。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 8 没有那样的公理。
无穷和是什么？是极限。
区间套是什么？upper and lower bounds 互相逼近是什么？是极限。
区间套最后能套到点东西，那是实数的完备性。当然了，那需要无理数来
填空。这个玩意儿，是公理。
竖式除法得到的不是一个区间，是一个单调递增的数列，然后要想证明一
个单调递增数列有极限，需要实数的完备性公理。就是：单调递增有上界
的数列在实数范围内有上确界，也就是一个极限。
一个相关结果就是无限不循环小数是无理数。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 9 其实，当我说到区间套时，说的是区间套的一般理论，跟除法毛关系都没有了，
然后你就可以考虑无限不循环小数了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 AMC8 原则上是八年级的数学，俺娃无法独立做下来，俺是用 AMC8 作为
工具来教娃代数和几何，因为看数学书比较枯燥。
不过去年教娃基本的数学概念，我主要是用 MOEMS 的。（除了实数完备性
/连续性的概念，因为 MOEMS 里，离散问题比较多）。
不过普通娃确实要教。。。我没教好实数完备性的概念，昨晚我发现娃在实数
完备性/连续性的概念上漏洞很大。。。但无论是 Dedekind cut 的概念，还是
Cauchy sequence 的概念，或者无限不循环小数逼近的概念，都不是普通娃能
理解的（其实俺觉得俺大人也不太行）。
俺昨晚最后用了个糊弄的办法，这么解释：任何从 number line 上某点，能
做图到二维空间（不限尺规，不过小学里尺规就差不多了），然后出来又弄回到
（cut 回去）number line 上的点，都要存在有对应的 real number。。。
这就是娃版 completeness 的感觉。。。
我上面这个逻辑上很不严谨，其实是先验 intuitively 承认了 completeness of
2-D Euclidean space （R2 complet... 阅读全帖 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 11 看着是个牛娃
一年前在版上看到过相似的帖子，就是娃说，如果派不是无限不循环小数，那么肯定会
存在一个多边形来表达圆。。。
看来牛娃都是有共性的
这个虽然不算严格数学证明，但是是很宝贵的数学直觉 |
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A**H
发帖数: 4797 | 12 这个“如果派不是无限不循环小数，那么肯定会存在一个多边形来表达圆”表达要漂亮
多了，而且有明显的数学意义，赞！
我猜想娃估计是这个意思。我可能理解成了他想表达无理数的意思，也许是有限小数和
无限小数的意思。综合各回帖，本版和学术版，娃这个想法有点意思，但是是错误的。
得让他自己去看看有理数无理数有限小数无限小数循环不循环。。。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 13 哈哈，其实就是给孩子讲循环小数时误入歧途，把循环节乘以被除数得到999。。，觉
得挺有意思。dcband深得我心。: )不过你把循环节搞错了，有木有？
看了一下二月份的那道题，如果那是“小学数学题”，我这个肯定是“四年级以下数学
题“了，必须的。潮水竟然也会做，真是让人大跌眼镜啊。当然如此精巧的解法，貌似
是四年级以上的？
其实原来是想说大于5的质数来着，结果第一个就是7，都已经写下了
999999 = 7 * 142857，
结果发现142857这个数字怎么这么眼熟？熟悉这个数字的肯定立马就猜出来了，所以赶
紧删掉，改成大于10的质数，故弄玄虚罢了，不值一哂。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 14 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: jfsrjjoz (花雨星河), 信区: Military
标 题: 用人话解释意识、量子现象和光速问题
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 31 13:19:36 2017, 美东)
量子力学的不确定性、波函数坍缩，什么意识问题，光速不变问题及光速极限速度问题
，其实一点都不神秘。可以很容易用人话解释清楚。说不清楚的人，无论其头衔再高，
教授做了多少年，其实自己也云山雾罩。特别是缺乏数学的思维。
首先科普一下算术。就是数手指头，自然数。然后人类就发明了分数，分数（有理数）
其实也是一种自然数。然后人类发现了无理数，也就是不可以用分数形式表示的数。然
后最后就是超越数，如pi和e。这无理数存在说明一种大于自然数的集合存在，人类称
之为实数。实数之上还有无穷无尽的层次，不过目前为止物理只用到这两个层次。
人类目前只能数手指头，也就是自然数。任何所谓的科学研究，最后得出的就是一个整
数的结果。人类其实仍不具备真正的实数计算能力。这里的实数指的是无限不循环小数
的真正的实数。所有的所谓哥德尔不完备定理，图灵不可判定性问... 阅读全帖 |
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x****u
发帖数: 44466 | 15 这会给小孩一种错觉，一个小数只要无限没循环就一定是无理数
然后让他算调和级数就傻眼了。。。 |
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x****u
发帖数: 44466 | 18 如果错误地讲了无限不循环这个定义，就会有人算
我当年很多同学都算，人家不信啊。。。 |
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x****u
发帖数: 44466 | 19 调和级数如果用数学归纳法可以证明其无限不循环，但这东西发散不是无理数 |
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r*g
发帖数: 3159 | 20 调和级数连整数位都会变来变去，确定不了，它就不是一个数，不能说是无限不循环小
数。拿这个当反例是多虑了。 |
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w**d
发帖数: 2334 | 21 都不收敛的东西怎么能算？在那计算来计算去的多半是初高中生，应该是概念模糊导致的 |
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x****u
发帖数: 44466 | 22 所以说不要给小孩过早的灌输一个错误的“无限”概念
所谓无理数，就是无法用分数表示的数。分数有两种，一种可以用有限小数表示，一种
不可以，后者如果试图计算小数，会出现循环。
这些用小学知识都能说通
致的 |
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x****u
发帖数: 44466 | 23 问题是你用小学方法证明不了
错误的概念必然可以被利用了当陷阱 |
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w**d
发帖数: 2334 | 24 还在说这个是错误的概念。。。
压根就是教育的不对，还过几周我就要给几个四年级的孩子讲这个定义，不认为有任何
问题。
你这个调和级数的事，根本的原因是小孩子压根没有搞懂级数收敛的意思，在那瞎算。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 25 希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。
至于希尔伯特的让所有旅客往后移动一个房间的办法，这个问题是所有旅客是同时移动
，还是一个一个按先后顺序移动。
如果是一个一个按顺序移动的话，时间轴说了，所有因果关系或者先后顺序的操作，不
可能 take zero time。所以永远都移不完。既然永远都移不完，新旅客就永远都排不
到房间。
那如果是所有旅客同时移动的话，空间轴和超炫理论说了说了，任何两超弦不可能占据
相同的空间和相同的状态。爱因斯坦也说了，奇点也得有个视界，于是就发生了把同步
信号送到无穷远处的问题。然后爱因斯坦说了句：speed of light。可怜的新旅客还是
没排到房间。
：都不收敛的东西怎么能算？在那计算来计算去的多半是初高中生，应该是概念模糊导
致的 |
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x****u
发帖数: 44466 | 26 无限这玩意不要乱讲
数学家都走了千年弯路，小孩基本绕不过去
一种 |
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t******l
发帖数: 10908 | 28 这个问题的本质在于，无穷大加一的意义，要取决于上下文。
就好比对于 ( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... )，“无穷大加一” 确实等于 “无穷大”
，因为收敛。（或者我个人的说法就是 temporal reachable by approximation）。
而对于 ( 1 - 1 + 1 - 1 ... )，“无穷大加一” 永远跟 “无穷大” 相差一，永远
是白天不懂夜的黑，传说中的男厕所和女厕所的距离。说白了就是不收敛（或者我个人
的说法就是 temporal unreachable even by approximation）。
：希尔伯特旅馆其实也不收敛的。无穷大加一不一定等于无穷大，我完全可以 argue 希
：尔伯特旅馆在任何时候都多一个旅客排不下，一直到无穷远的将来。 |
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w**d
发帖数: 2334 | 29 关键还是每人都有房间住的定义：按常识或你上面的说法得都搬进搬出搞定了才算，而
数学上只要每个人对应个不同的房间就行了，鬼才管你有没有时间搬完。
问题的核心还是出在无穷大上，这不是个数字，只是一个符号而已。
希 |
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t******l
发帖数: 10908 | 30 数学一向是被认为 ”抽象“，不用受 ”实际“ 所束缚，只要 “逻辑” 正确就是数
学。这本身没错。
但我上例子里提到的 “实际”，跟一般所说的 “实际” 是有本质区别的。。。我上
面所依据的 “实际”，不是只 cosmos 本身，而是 the fabric of cosmos：the
space-time。
而现在的问题是，现代数学家所提到的 “逻辑”，都逃不掉基于 “先因后果” 的因
果律。。。而 “因果律” 不过是时间轴（temporal axis）在 monkey brain 里的幻
影。。。那如果数学脱离了 temporal axis，也就是脱离了因果律的根基，那这个,所
谓的证明本身就不存在逻辑。。。或者说，illogical proof。。。
：就是数学和实际脱节。。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 31 这不是理论上有多少时间搬完的问题，这是希尔伯特没有意识到他的 proof 的根基 “
先因后果的因果律“，是基于时间轴而存在的。而当他在希尔伯特旅店问题里 proof
到无限的时候，他必须把时间轴压成一个奇点。而时间轴一旦被压成奇点，因果律本身
，或者说，逻辑本身，已经不存在了。
或者说，你说的 “对应“，不管是说成 mapping / indexing 也好，都得对应到 “自
然数集” 上。。。而 自然数集 是基于 axiom of infinity（如果用 ZFC set theory
的话）。。。而 axiom of infinity 本质上是一个 recursive statement。。。而
recursive statement 就要求因果律的存在，以及时间轴不能被压成一个奇点。
：关键还是每人都有房间住的定义：按常识或你上面的说法得都搬进搬出搞定了才算，
而数学上只要每个人对应个不同的房间就行了，鬼才管你有没有时间搬完。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 32 或者简单的说，这不是现代数学跟 “实际” 脱节。这是现代数学跟 “逻辑” 脱节。
。。因为 monkey brain 所认知的 “逻辑”，其实是 “先因后果的因果律” 以及 “
没有被压成奇点的时间轴” 所产生的 sensory illusion 和 cognitive delusion。。
。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 33 或者更简单的说，所谓的 “逻辑”（数学逻辑），不过就是猴子所认知的无数种坑爹
pattern 里的一种。
而不管是欧几里德、希尔伯特还是 cantor 高斯啥的，目前还没见过任何一个数学家能
搞出彻底独立于 space-time 的 pattern。。。如果不服的话，把随便谁给扔黑洞里，
或者扔到宇宙大爆炸之前，看看还能不能再写一次证明。
所以爱因斯坦很知趣地给奇点包个视界，而宇宙大爆炸理论也很肚明地给时间一个起点
。。。这不一定就是说黑洞的视界里面，或者宇宙大爆炸之前，是一无所有。。。而是
说，猴子们还是先把“因果律”/“时间之箭”给搞搞清楚先，再来讨论不基于 space-
time 的 pattern，也不至于搞出痔疮。。。
：或者简单的说，这不是现代数学跟 “实际” 脱节。这是现代数学跟 “逻辑” 脱节
。。。因为 monkey brain 所认知的 “逻辑”，其实是 “先因后果的因果律” 以及
“没有被压成奇点的时间轴” 所产生的 sensory illusion 和 cognitive delusion。
。。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 34 还在吵这个呀？ : )
严谨的数学定义是一回事，如何教给小孩是一回事，多大的小孩又是一回事。教育小孩
要与他的认知能力相适应。
如果你说的“小孩”是数学专业的学生，那自然不必说了。
可在另一贴里你第一次提出这个问题的时候，说的是小学里的“二逼老师”误人子弟。
那对于小学生你打算怎么解释“无理数“这个概念？还是说为了避免误导其中极小比例
可能成为数学家的学生，就根本就不讲。当别的孩子说圆周率是3.1415926...并用它来
计算圆周长时，你教的学生说“圆周率是一个无法用123这些数字表示的数"。那一种更
“误人子弟“？
用前沿的科学观念来说，小学中学学的那些科学知识全都不准确（或者说不严谨），要
说那些老师都是“二逼“，实在是不厚道啊不厚道。。
说到这，想起前两天儿子问我关于颜色的问题，我抓了一把各种颜色的cereal，让他把
除了绿色的都吃掉，然后告诉他说光里面有各种颜色的小粒粒，一个东西把其它颜色的
吸收了，只留下绿色的反射到我们眼睛里，我们就认为那个东西是绿色的。
跟小学老师讲无理数相比，我这不知道“二逼”到哪里去了啊，不禁汗流浃背。。。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 35 光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
小孩子问我个他看起来很简单的颜色问题，我给他讲一通波粒二象性和量子力学，你觉
得这样好吗？
或者说我现在拿粒子论误导了他，他将来会在理解波粒二象性时有绕不过去的坎？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 36 反过来说，对于数学哲学方面的问题，可以教给娃结论，但犯不着下定论。
或者说，对娃娃的教育而言，在数学哲学方面的问题，提到就可以了。就好比只要
AIME 心算填空题能做对，就不要太在意娃是咋做出来的，只要别像高中数学老师那样
先看答案后作弊就成。
或者再退一步，如果希尔伯特的有关无限的数学哲学思想是不可被怀疑的，那我们还要
理论数学系干嘛。。。改个名字叫希尔伯特神学院很难么？
：光是粒子还是波，科学家也吵了好几百年。
： |
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x****u
发帖数: 44466 | 38 无理数有很简单的定义，不能表示为分数。这个一点也不难，讲不明白是老师太蠢。
如果pi是分数，圆就等于多边形，这玩意老祖宗的都清楚，你还想怎么样？
不能因为小孩理解力差，就把大人的偏见教给他们。
谁说小学中学学的科学不准确了？老师只要认真上过大学没偷懒，肯定可以把这些概念
给小孩讲清楚。 |
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x****u
发帖数: 44466 | 39 你告诉小孩光是物质，肯定没错，波动性你确定小学生理解的了？你让小孩分析个机械
波看看？ |
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x****u
发帖数: 44466 | 40 那就变成宗教了
科学的基础是逻辑而不应该是信仰 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 42 你肯定不是搞量子物理的，要不然怎么能容忍我用宏观的物体来描述微观量子特别是光
子？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 43 其实争论到这里，我觉得都不需要对量子力学说的微观时空不是无限连续的表示直观上
无法接受了。
实际上，如果允许微观时空可以无限连续的话，直观上可以不接受量子力学薛定谔猫倒
是省事了。。。但这样一来，得接受希尔伯特教的旅馆悖论不算，还要接受 Costco 拍
西瓜大悖论 the Banach-Tarski paradox (I told you don't use axiom of
choice on real numbers！)。。。我觉得直观上还不如接受量子力学薛定谔猫更简单
明了呢，一只小猫有啥可怕？。。。
：进一步说，前面这个实数定义中的 “数轴上的点”，或者其隐含的 “geometric
：measurable”，其背后是 the completeness & continuous of real numbers。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 44 说到神学，好像基督教是反对偶像崇拜的，“不可以用实际物体来描述神“，跟“不能
用小数来表现无理数“非常的异曲同工。
可现实是，你不让老百姓有个偶像瞧瞧，他就没法理解。所以搞得现在上帝耶稣和玛丽
娅的像到处都是。
连宗教这么严肃认真动不动就烧人的领域都可以对人的认知能力做出妥协，数学家也就
别抻着端着了。: ) |
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t******l
发帖数: 10908 | 45 我刚才查了一下，好像有物理学海蜇头给了一个类似 monkey imaginable world 的物
理学对应的定义：Bekenstein bound。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 马工学上好像也给了 monkey imaginable world 一个范围：Bremermann's limit
。对于 monkeys 的上限是 10^93，再大的 pattern 其本身的 size 也不能超过这个。
：我刚才查了一下，好像有物理学海蜇头给了一个类似 monkey imaginable world 的物
：理学对应的定义：Bekenstein bound。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 47 发现关于 real number 的这段还是有点意思。。。其实数学到一定的虚无缥缈的抽象
程度后，我觉得就跟神学确实差不多，或者说，艺术。
http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#In_computation
A real number is called computable if there exists an algorithm that yields
its digits. Because there are only countably many algorithms,[12] but an
uncountable number of reals, almost all real numbers fail to be computable.
Moreover, the equality of two computable numbers is an undecidable problem.
Some constructivists accept the existence of only those reals that are
co... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 48 发现这句话还是挺有意思的。
“Moreover, the equality of two computable numbers is an undecidable problem
. ”
（BTW：wiki 没有敲错字，这里指的是 equality by computation，一位一位比过去，
就算是一百万个零也不知道下一个是不是零，所以 undecidable）
其实如果沿用这个马工学角度的说法看希尔伯特旅馆，就是希尔伯特的塞个新旅客进去
的算法，让新旅客能不能拿到房间钥匙的 yes or no 的问题，成为一个马工学上的
undecidable problem。
yields
.
. |
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t******l
发帖数: 10908 | 49 我在想我们的希尔伯特神教的根源，是不是试图给 theoretical undecidable problem
一个 yes or no 的 answer。
那这个真的跟给不收敛的级数求和一个确定的结果，比如 ( 1-1+1-1+1-1+1-1+1... )
，有啥本质上的差别？
：发现这句话还是挺有意思的。 |
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a****l
发帖数: 8211 | 50 就算是错觉又有什么问题？关键在于，这里的小孩能准确的弄清楚无限不循环的是无理
数就已经不错了，如果能说的清楚为什么不能写成分数形式的是无理数就已经可以算数
学神童了。就算中国的小朋友数学学的好，能说清楚这个道理的也是极少比例的。就算
是中国顶级大学的理工科研究生博士生，能讲的清无理数的原理的估计也不多，几乎很
少有人的工作需要明白无理数的原理。所以说，错就错吧，反正几乎是不可能遇到这个
错误会导致任何问题的地方，如果这的确是一个错误的话。 |
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