A*****s
发帖数: 13748 | 1 Joshi问题3.40答案后面有related question，说如果P(up)不等于1/2怎么办？
也没答案。。。
这是个简单问题么？ |
d********t
发帖数: 9628 | 2 1D or 2D?
【在 A*****s 的大作中提到】
: Joshi问题3.40答案后面有related question，说如果P(up)不等于1/2怎么办？
: 也没答案。。。
: 这是个简单问题么？
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A*****s
发帖数: 13748 | 3 1D啊
俺没那么高级
【在 d********t 的大作中提到】
: 1D or 2D?
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d********t
发帖数: 9628 | 4 过程似乎不复杂，但结论偶没记住。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 1D啊
: 俺没那么高级
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k*****y
发帖数: 744 | 5 Say P(up) = p. Consider the following betting process:
X_i = 1-p, if it goes up; X_i = -p, if it goes down.
Y_i = \sum_{k=1}^i X_k
is the total gain along any path, which is a martingale process.
Since the gain at either boundary is independent of the paths, we can use
the same martingale argument:
P(it hits the upper boundary first) * Y( gain at the upper boundary) + P(it
hits the lower boundary first) * Y( gain at the lower boundary) = 0.
【在 A*****s 的大作中提到】
: Joshi问题3.40答案后面有related question，说如果P(up)不等于1/2怎么办？
: 也没答案。。。
: 这是个简单问题么？
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d********t
发帖数: 9628 | 6 哦，对了，虽然我忘记如何用stochastic process解，但这种问题总是可以用gambler'
s ruin problem解的。
it
【在 k*****y 的大作中提到】
: Say P(up) = p. Consider the following betting process:
: X_i = 1-p, if it goes up; X_i = -p, if it goes down.
: Y_i = \sum_{k=1}^i X_k
: is the total gain along any path, which is a martingale process.
: Since the gain at either boundary is independent of the paths, we can use
: the same martingale argument:
: P(it hits the upper boundary first) * Y( gain at the upper boundary) + P(it
: hits the lower boundary first) * Y( gain at the lower boundary) = 0.
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l******i
发帖数: 1404 | 7 更复杂点，
对于Brownian motion加上drift后的碰撞问题。
见Exercise 3.7 of Shreve's Book，有详细公式。
看不明白的话，就先看第三章第七节Reflection Principle里面的内容，
然后再回头理解Exercise 3.7。 |
A*****s
发帖数: 13748 | 8 谢谢楼上几位回答
drifted bm的解和上面那个解其实是一回事儿吧？
一个是连续版本的，一个是离散版本的？
现在总在连续和离散间有个gap跨不过去。。。
【在 l******i 的大作中提到】
: 更复杂点，
: 对于Brownian motion加上drift后的碰撞问题。
: 见Exercise 3.7 of Shreve's Book，有详细公式。
: 看不明白的话，就先看第三章第七节Reflection Principle里面的内容，
: 然后再回头理解Exercise 3.7。
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l******i
发帖数: 1404 | 9 连续情况好像要复杂得多，
证明就很长。。。。
还有laplace transform之类的。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 谢谢楼上几位回答
: drifted bm的解和上面那个解其实是一回事儿吧？
: 一个是连续版本的，一个是离散版本的？
: 现在总在连续和离散间有个gap跨不过去。。。
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A*****s
发帖数: 13748 | 10 恩。。。但是道理貌似差不多。。。
【在 l******i 的大作中提到】
: 连续情况好像要复杂得多，
: 证明就很长。。。。
: 还有laplace transform之类的。
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A*****s
发帖数: 13748 | 11 刚才看答案的时候想当然了，仔细一想还是没明白
大牛这里说the gain at either boundary is independent of the paths
是说当非对称的Random Walk撞到边界后，Y_i的值是和路径独立么？
可是如果Random Walk从0开始，上下边界是2和-2
那么路径1：up-up(hit)的Y(Path1)是(1-p)+(1-p)
然而路径2：up-down-up-up(hit)的Y(Path2)是(1-p)-p+(1-p)+(1-p)!=Y(Path1)啊？
也就是Y_i和路径不独立啊？是我理解错了么？
另外我理解最后一个式子是：
P(Random Walk hits up)*Y(Random Walk hits up)
+ P(Random Walk hits down)*Y(Random Walk hits down) = 0
不知道理解对了没有，因为我们还是要关心RW的撞击概率，而不是Y_i的撞击概率。
it
【在 k*****y 的大作中提到】
: Say P(up) = p. Consider the following betting process:
: X_i = 1-p, if it goes up; X_i = -p, if it goes down.
: Y_i = \sum_{k=1}^i X_k
: is the total gain along any path, which is a martingale process.
: Since the gain at either boundary is independent of the paths, we can use
: the same martingale argument:
: P(it hits the upper boundary first) * Y( gain at the upper boundary) + P(it
: hits the lower boundary first) * Y( gain at the lower boundary) = 0.
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A*****s
发帖数: 13748 | 12 补拙见一条：
这个办法实际上就是换了probability measure，让up和down的概率在新measure下相等
可是问题是每一个单步换measure容易，Z很好找
但是hit这个event的Z就几乎没办法找了。。。也就是换了measure，就换不回来了。。。
我一开始就卡在这个地方了。。。
it
【在 k*****y 的大作中提到】
: Say P(up) = p. Consider the following betting process:
: X_i = 1-p, if it goes up; X_i = -p, if it goes down.
: Y_i = \sum_{k=1}^i X_k
: is the total gain along any path, which is a martingale process.
: Since the gain at either boundary is independent of the paths, we can use
: the same martingale argument:
: P(it hits the upper boundary first) * Y( gain at the upper boundary) + P(it
: hits the lower boundary first) * Y( gain at the lower boundary) = 0.
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s********r
发帖数: 529 | 13 嗯，绿皮书上面也有的，有一种是利用exponential martingale，有兴趣的话可以翻看
一下，第一次看的时候完全没有想到可以这么求
【在 l******i 的大作中提到】
: 更复杂点，
: 对于Brownian motion加上drift后的碰撞问题。
: 见Exercise 3.7 of Shreve's Book，有详细公式。
: 看不明白的话，就先看第三章第七节Reflection Principle里面的内容，
: 然后再回头理解Exercise 3.7。
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A**u
发帖数: 2458 | 14 不用这么复杂
用first step analysis 就可以了。
【在 l******i 的大作中提到】
: 更复杂点，
: 对于Brownian motion加上drift后的碰撞问题。
: 见Exercise 3.7 of Shreve's Book，有详细公式。
: 看不明白的话，就先看第三章第七节Reflection Principle里面的内容，
: 然后再回头理解Exercise 3.7。
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s********r
发帖数: 529 | 15 愿闻其祥，能否展开说说？多谢了！
【在 A**u 的大作中提到】
: 不用这么复杂
: 用first step analysis 就可以了。
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s********r
发帖数: 529 | 16 http://randomdeterminism.wordpress.com/2010/07/09/gamblers-ruin
网上找了个帖子，貌似讲的挺好的，就是要用到Second Wald's Equation，看看应该有
点帮助
【在 A*****s 的大作中提到】
: 刚才看答案的时候想当然了，仔细一想还是没明白
: 大牛这里说the gain at either boundary is independent of the paths
: 是说当非对称的Random Walk撞到边界后，Y_i的值是和路径独立么？
: 可是如果Random Walk从0开始，上下边界是2和-2
: 那么路径1：up-up(hit)的Y(Path1)是(1-p)+(1-p)
: 然而路径2：up-down-up-up(hit)的Y(Path2)是(1-p)-p+(1-p)+(1-p)!=Y(Path1)啊？
: 也就是Y_i和路径不独立啊？是我理解错了么？
: 另外我理解最后一个式子是：
: P(Random Walk hits up)*Y(Random Walk hits up)
: + P(Random Walk hits down)*Y(Random Walk hits down) = 0
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A**u
发帖数: 2458 | 17 当然可以了
Xn = n步后的位置
定义 Mn = ( q / p ) ^ Xn, q是左-1,p是右 + 1
E[Mn+1|Fn]=E[(q/p)^Xn+1|Fn] = (q/p)^Xn E[(q/p)^Xn]
=(q/p)^Xn[(q/p)*p + (q/p)^-1 * q]
= (q/p)^Xn
= Mn
所以Mn是Martingale
E[Mn] = E[X0] = (q/p)^k; 初始位置
Tau是stoping time tau = inf{n, Xn = 0 or N}.
用{a,b}表示 min(a,b)
所以M{n,tau}也是martingale.
E[M_{n,tau}] = (q/p)^k;
令 n 趋于无穷, {n,tau}趋于tau
有E[M_tau] = (q/p)^k.
stoping time只有0,N两种可能
E[M_tau] = (q/p)^0 * P(Xtau=0) + (q/p)^N * P(X_tau = N);
且 P(X_tau = 0) + P(X_tau = N) = 1;
再加上前面的E[M_tau] = (q/p)^k;
可以得出 碰到N的概率 (q/p)^k -1 / (q/p)^N - 1
【在 s********r 的大作中提到】
: 愿闻其祥，能否展开说说？多谢了！
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A*****s
发帖数: 13748 | 18 非常感谢！
明天拜读，今天先睡了。
一做题就觉得自己更弱了。。。去刷盘子送外卖算了 :(
【在 s********r 的大作中提到】
: http://randomdeterminism.wordpress.com/2010/07/09/gamblers-ruin
: 网上找了个帖子，貌似讲的挺好的，就是要用到Second Wald's Equation，看看应该有
: 点帮助
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k*****y
发帖数: 744 | 19 我也想当然了，谢谢提醒。
Augu说得对，idea是构造一个只跟X_n有关的martingale。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 刚才看答案的时候想当然了，仔细一想还是没明白
: 大牛这里说the gain at either boundary is independent of the paths
: 是说当非对称的Random Walk撞到边界后，Y_i的值是和路径独立么？
: 可是如果Random Walk从0开始，上下边界是2和-2
: 那么路径1：up-up(hit)的Y(Path1)是(1-p)+(1-p)
: 然而路径2：up-down-up-up(hit)的Y(Path2)是(1-p)-p+(1-p)+(1-p)!=Y(Path1)啊？
: 也就是Y_i和路径不独立啊？是我理解错了么？
: 另外我理解最后一个式子是：
: P(Random Walk hits up)*Y(Random Walk hits up)
: + P(Random Walk hits down)*Y(Random Walk hits down) = 0
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A*****s
发帖数: 13748 | 20 不好意思挖个坟
请问奥古那牛这种类似Mn的martingale是怎么找的啊？
有什么规律？还是以前看过记住的？
又是个告诉我答案能明白，但是让我自己想不一定想得出来的东西。。。
【在 A**u 的大作中提到】
: 当然可以了
: Xn = n步后的位置
: 定义 Mn = ( q / p ) ^ Xn, q是左-1,p是右 + 1
: E[Mn+1|Fn]=E[(q/p)^Xn+1|Fn] = (q/p)^Xn E[(q/p)^Xn]
: =(q/p)^Xn[(q/p)*p + (q/p)^-1 * q]
: = (q/p)^Xn
: = Mn
: 所以Mn是Martingale
: E[Mn] = E[X0] = (q/p)^k; 初始位置
: Tau是stoping time tau = inf{n, Xn = 0 or N}.
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k*****y
发帖数: 744 | 21 绿皮书上好像有。
像这里想要只是关于X_n的martingale，可以假设有一个函数M(k)，这个martingale可
以表达成M(X_n)。
这样的话意味着当X_n = x时，X_{n+1}=x+1或x-1。于是关系
M(x) = p*M(x+1) + q*M(x-1)
必须对于任意x成立。
重新写一下，得到关于M的线性方程
p*M(x+1) - M(x) + q*M(x-1) = 0。
于是所有M的解是w^x和v^x的线性组合，如果特征方程有两个不同根w和v。
In this case
p*x^2 - x + q = p(x - 1)(x - q/p)，
即w = 1, v = q/p。
特别地，可以取M(x) = (q/p)^x。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 不好意思挖个坟
: 请问奥古那牛这种类似Mn的martingale是怎么找的啊？
: 有什么规律？还是以前看过记住的？
: 又是个告诉我答案能明白，但是让我自己想不一定想得出来的东西。。。
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A**u
发帖数: 2458 | 22 我也是在书上看到的. 呵呵
【在 A*****s 的大作中提到】
: 不好意思挖个坟
: 请问奥古那牛这种类似Mn的martingale是怎么找的啊？
: 有什么规律？还是以前看过记住的？
: 又是个告诉我答案能明白，但是让我自己想不一定想得出来的东西。。。
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d****d
发帖数: 2919 | 23 绿书上有，gambler's ruin problem。
【在 A*****s 的大作中提到】
: Joshi问题3.40答案后面有related question，说如果P(up)不等于1/2怎么办？
: 也没答案。。。
: 这是个简单问题么？
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A*****s
发帖数: 13748 | 24 谢谢了！
以后跟我说一下绿皮我自己翻好了
看大牛码了这么多字挺不好意思的。。。
【在 k*****y 的大作中提到】
: 绿皮书上好像有。
: 像这里想要只是关于X_n的martingale，可以假设有一个函数M(k)，这个martingale可
: 以表达成M(X_n)。
: 这样的话意味着当X_n = x时，X_{n+1}=x+1或x-1。于是关系
: M(x) = p*M(x+1) + q*M(x-1)
: 必须对于任意x成立。
: 重新写一下，得到关于M的线性方程
: p*M(x+1) - M(x) + q*M(x-1) = 0。
: 于是所有M的解是w^x和v^x的线性组合，如果特征方程有两个不同根w和v。
: In this case
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