s*******i
发帖数: 546 | 1 一个random walk start from 0. each step size has the probability of:
-1 (0.2), 0(0.2) and 1 (0.6). Find the probability of ever returning to zero.
Thanks a lot! |
C***m
发帖数: 120 | 2 Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
P_1=1/3
P_0=1
P_(-1)=1
Prob=.6 |
s*******i
发帖数: 546 | 3 能说一下过程吗？谢谢
【在 C***m 的大作中提到】
: Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
: P_1=1/3
: P_0=1
: P_(-1)=1
: Prob=.6
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C***m
发帖数: 120 | 4 简单点想，就是把不动的那个概率变成0，向上的概率是.75,向下的概率是.25。这样可
以好算P_1=.25+.75*P_1^2
P_(-1)=.75+.25*P_(-1)^2
严格一点就是找个martingale (1/3)^（X_t）
然后用martingale Optional stopping theorem.
E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
【在 C***m 的大作中提到】
: Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
: P_1=1/3
: P_0=1
: P_(-1)=1
: Prob=.6
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s*******i
发帖数: 546 | 5 谢谢！
【在 C***m 的大作中提到】
: 简单点想，就是把不动的那个概率变成0，向上的概率是.75,向下的概率是.25。这样可
: 以好算P_1=.25+.75*P_1^2
: P_(-1)=.75+.25*P_(-1)^2
: 严格一点就是找个martingale (1/3)^（X_t）
: 然后用martingale Optional stopping theorem.
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
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A****F
发帖数: 1133 | 6 赞大牛。
请问：
E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
这两步是什么意思？
多谢！！
【在 C***m 的大作中提到】
: 简单点想，就是把不动的那个概率变成0，向上的概率是.75,向下的概率是.25。这样可
: 以好算P_1=.25+.75*P_1^2
: P_(-1)=.75+.25*P_(-1)^2
: 严格一点就是找个martingale (1/3)^（X_t）
: 然后用martingale Optional stopping theorem.
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
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a****t
发帖数: 720 | 7 could you explain little bit more? i don't get how you use (1/3)^S_n
martingale. thanks
【在 C***m 的大作中提到】
: 简单点想，就是把不动的那个概率变成0，向上的概率是.75,向下的概率是.25。这样可
: 以好算P_1=.25+.75*P_1^2
: P_(-1)=.75+.25*P_(-1)^2
: 严格一点就是找个martingale (1/3)^（X_t）
: 然后用martingale Optional stopping theorem.
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
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C***m
发帖数: 120 | 8 不是大牛，谢谢。
假设从1出发，有两个boundary 0和 a>1，计算P_1,.因为(1/3)^(X_t)是个martingale,
所以 (1-P_1)(1/3)^a+P_1(1/3)^0= (1/3)^1，再让a->inf
P_1=1/3
假设从-1出发，有两个boundary 0和 a<-1，计算P_(-1).(1-P_(-1))(1/3)^a+P_1(1/3)
^0= (1/3)^(-1)，P_(-1)=(3^(-a)-3)/(3^(-a)-1)再让a->inf
P_(-1)=1
感觉还挺不严格的，求大牛证实。
【在 A****F 的大作中提到】
: 赞大牛。
: 请问：
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
: 这两步是什么意思？
: 多谢！！
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a****t
发帖数: 720 | 9 may i ask what is your p_1,p_{-1}?
it seems p_1 is not the probability of stopping at 1, same for p_{-1}.
i am confused.
martingale,
3)
【在 C***m 的大作中提到】
: 不是大牛，谢谢。
: 假设从1出发，有两个boundary 0和 a>1，计算P_1,.因为(1/3)^(X_t)是个martingale,
: 所以 (1-P_1)(1/3)^a+P_1(1/3)^0= (1/3)^1，再让a->inf
: P_1=1/3
: 假设从-1出发，有两个boundary 0和 a<-1，计算P_(-1).(1-P_(-1))(1/3)^a+P_1(1/3)
: ^0= (1/3)^(-1)，P_(-1)=(3^(-a)-3)/(3^(-a)-1)再让a->inf
: P_(-1)=1
: 感觉还挺不严格的，求大牛证实。
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C***m
发帖数: 120 | 10 P_1是说从1出发，最终回到0的概率。
P_(-1)是从-1出发，回到0的概率
【在 a****t 的大作中提到】
: may i ask what is your p_1,p_{-1}?
: it seems p_1 is not the probability of stopping at 1, same for p_{-1}.
: i am confused.
:
: martingale,
: 3)
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a****t
发帖数: 720 | 11 then your answer should be
Prob=P_1*0.2+P_0*0.2+P_(-1)*0.6
not
Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
how do u think of it?
【在 C***m 的大作中提到】
: P_1是说从1出发，最终回到0的概率。
: P_(-1)是从-1出发，回到0的概率
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A****F
发帖数: 1133 | 12 谢谢！
还有一个不明白，
Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
这里面，
按照你的定义：
P_0应该就是start from 0 and ever return 0的概率
这样左边的Prob和右边的P_0是不是同一个东西？
martingale,
3)
【在 C***m 的大作中提到】
: 不是大牛，谢谢。
: 假设从1出发，有两个boundary 0和 a>1，计算P_1,.因为(1/3)^(X_t)是个martingale,
: 所以 (1-P_1)(1/3)^a+P_1(1/3)^0= (1/3)^1，再让a->inf
: P_1=1/3
: 假设从-1出发，有两个boundary 0和 a<-1，计算P_(-1).(1-P_(-1))(1/3)^a+P_1(1/3)
: ^0= (1/3)^(-1)，P_(-1)=(3^(-a)-3)/(3^(-a)-1)再让a->inf
: P_(-1)=1
: 感觉还挺不严格的，求大牛证实。
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Q*T
发帖数: 263 | 13 他的意思是如果已经在0了，那么按照定义经过0的概率是1，所以P_0=1
其实直接写成Prop=0.2 + 0.2P(-1) + 0.6P(1)就可以了。
【在 A****F 的大作中提到】
: 谢谢！
: 还有一个不明白，
: Prob=P_1*0.6+P_0*0.2+P_(-1)*0.2
: 这里面，
: 按照你的定义：
: P_0应该就是start from 0 and ever return 0的概率
: 这样左边的Prob和右边的P_0是不是同一个东西？
:
: martingale,
: 3)
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A****F
发帖数: 1133 | 14 赞，谢谢！
【在 Q*T 的大作中提到】
: 他的意思是如果已经在0了，那么按照定义经过0的概率是1，所以P_0=1
: 其实直接写成Prop=0.2 + 0.2P(-1) + 0.6P(1)就可以了。
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a****h
发帖数: 126 | 15 P_0 不就是题目问的吗，
为什么要算 0.6×P_1 + 0.2×P_0 + 0.2×P_-1
求大牛讲解一下。
【在 C***m 的大作中提到】
: P_1是说从1出发，最终回到0的概率。
: P_(-1)是从-1出发，回到0的概率
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r***e
发帖数: 213 | 16 路过，想一个很简单的，
step size是1的次数和step size是-1的次数是一样的就可以了。
step size是0的随便几次。
0.2^n*0.6^n, n from 1-infinity,
got 0.1364
哪里有问题吗？ |
k*****a
发帖数: 5 | 17 Unfortunately, I think this is incorrect, because you are double counting
some paths. For example, if the probabilities of +1 and of -1 are both 1/2,
then according to this reasoning the probability of returning to the origin
would be 0.25 + 0.25^2 + ... = 1/3 < 1, but we know that the probability of
returning is in fact 1.
【在 r***e 的大作中提到】
: 路过，想一个很简单的，
: step size是1的次数和step size是-1的次数是一样的就可以了。
: step size是0的随便几次。
: 0.2^n*0.6^n, n from 1-infinity,
: got 0.1364
: 哪里有问题吗？
|
r***e
发帖数: 213 | 18
2,
origin
of
Thank you for pointing it out. yes I did not think it well, but why the
probability be 1 when both are 1/2, it still have chances of being in other
positions.
Hope I do not misunderstand the problem here. For the both 1/2 case, assume
after making 2n steps it returns to 0 for the first time, and there should
be only 2 cases for this, either adding +1 +1, or -1 -1 to the in 2(n-1) step but not in 0 position case.
these 2 cases have the probability of 2*0.5^n*0.5^n=2*(0.25^n)
so the total is sum of 2*(0.25^n), which is 2/3.
the same case for the problem and the sum is for 2*(0.12^n), n from 1 to
infinity, which is 0.2728.
But not sure if I understand the question correctly in the first place.
【在 k*****a 的大作中提到】
: Unfortunately, I think this is incorrect, because you are double counting
: some paths. For example, if the probabilities of +1 and of -1 are both 1/2,
: then according to this reasoning the probability of returning to the origin
: would be 0.25 + 0.25^2 + ... = 1/3 < 1, but we know that the probability of
: returning is in fact 1.
|
r***e
发帖数: 213 | 19 抱歉发现自己以前写的很有问题。
假设2n step后（n个+1 step和n个-1 step), 第一次return to 0， 这个可能的组合数
不是2，假设为N(n)。
N（1）=2，N（2）=2，对任意的n，
N(1)*(2n-2,n-1)+N(2)*(2n-4,n-2)+...+N(n-1)*(2,1)+N(n)=(2n,n)，
(2n,n)是2n choose n，是走了2n step时候到0的所有组合数。
题目求的应该是N(1)*a+N(2)*a^2+N(3)*a^3+...+N(n)*a^n, n->infinity, a=0.12(= 0
.3×0.4)
不知道怎样化简，matlab 算了下是0.2789。
1/2的情况算到n=300是 0.9674，好像是在逼近0.
麻烦高手们指教下。 |
w*******x
发帖数: 489 | 20 P = 0.2 + 0.2 * P(-1) + 0.6 * P(1) = 0.6
算P(-1):
P(-1) = 0.6 + 0.2*P(-1) + 0.2*P(-1)^2
-> P(-1) = 1
这个不用算都知道。因为向右边的概率大，从-１出发肯定最终经过０.
算P(1):
P(1) = 0.2（回到０） + 0.2*P(1) （没动） + 0.6*P(1)^2 （向右）
->P(1)=1/3
zero.
【在 s*******i 的大作中提到】
: 一个random walk start from 0. each step size has the probability of:
: -1 (0.2), 0(0.2) and 1 (0.6). Find the probability of ever returning to zero.
: Thanks a lot!
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L*****k
发帖数: 327 | 21 great~
【在 w*******x 的大作中提到】
: P = 0.2 + 0.2 * P(-1) + 0.6 * P(1) = 0.6
: 算P(-1):
: P(-1) = 0.6 + 0.2*P(-1) + 0.2*P(-1)^2
: -> P(-1) = 1
: 这个不用算都知道。因为向右边的概率大，从-１出发肯定最终经过０.
: 算P(1):
: P(1) = 0.2（回到０） + 0.2*P(1) （没动） + 0.6*P(1)^2 （向右）
: ->P(1)=1/3
:
: zero.
|
m******2
发帖数: 564 | |
P****d
发帖数: 369 | 23 (1/3)^X_t 是怎么构造的呢？
【在 C***m 的大作中提到】
: 简单点想，就是把不动的那个概率变成0，向上的概率是.75,向下的概率是.25。这样可
: 以好算P_1=.25+.75*P_1^2
: P_(-1)=.75+.25*P_(-1)^2
: 严格一点就是找个martingale (1/3)^（X_t）
: 然后用martingale Optional stopping theorem.
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^1,算出P_1
: E(1/3)^(X_t)=(1/3)^(-1),算出P_(-1)
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k*****y
发帖数: 744 | 24 a^{X_t} is a martingale iff
3/4 a + 1/4 a^{-1} = 1
=> a = 1 or 1/3.
【在 P****d 的大作中提到】
: (1/3)^X_t 是怎么构造的呢？
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P****d
发帖数: 369 | 25 如果不知道用exp的方式可以构造martingale怎么办呢？
【在 k*****y 的大作中提到】
: a^{X_t} is a martingale iff
: 3/4 a + 1/4 a^{-1} = 1
: => a = 1 or 1/3.
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C***m
发帖数: 120 | 26 woshialex的方法更好，不用构造什么martingale.
【在 P****d 的大作中提到】
: 如果不知道用exp的方式可以构造martingale怎么办呢？
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t*******y
发帖数: 637 | 27 为什么
从-2到0的概率是从-1到0的概率的平方
【在 w*******x 的大作中提到】
: P = 0.2 + 0.2 * P(-1) + 0.6 * P(1) = 0.6
: 算P(-1):
: P(-1) = 0.6 + 0.2*P(-1) + 0.2*P(-1)^2
: -> P(-1) = 1
: 这个不用算都知道。因为向右边的概率大，从-１出发肯定最终经过０.
: 算P(1):
: P(1) = 0.2（回到０） + 0.2*P(1) （没动） + 0.6*P(1)^2 （向右）
: ->P(1)=1/3
:
: zero.
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P****d
发帖数: 369 | 28 那个方法不够严谨。苏哥给过一个严格的解法。
【在 C***m 的大作中提到】
: woshialex的方法更好，不用构造什么martingale.
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b********a
发帖数: 5418 | 29 从-2回到0分两步，一步是从-2到-1，另一步是从-1到0.
从-2到-1的概率，相当于是从-1到0的概率。
【在 t*******y 的大作中提到】
: 为什么
: 从-2到0的概率是从-1到0的概率的平方
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x**********2
发帖数: 169 | |
