d**z
发帖数: 183 | 1 一个random walk
从 0出发，在n步之内先于-b到达a的概率是多少？
谢谢各位大牛了~~~ |
d********t
发帖数: 9628 | 2
b/(a+b)
【在 d**z 的大作中提到】
: 一个random walk
: 从 0出发，在n步之内先于-b到达a的概率是多少？
: 谢谢各位大牛了~~~
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l******i
发帖数: 1404 | 3 It reminds me of the famous interview question called "Drunk Man" on Chapter
5 of Xinfeng Zhou's book. |
d**z
发帖数: 183 | 4 这个是先于-b到达a的概率。
如果限制在n步之内呢？如果n步内没到a就算失败了
【在 d********t 的大作中提到】
:
: b/(a+b)
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d********t
发帖数: 9628 | 5 just a gambler's ruin prob.
Chapter
【在 l******i 的大作中提到】
: It reminds me of the famous interview question called "Drunk Man" on Chapter
: 5 of Xinfeng Zhou's book.
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d********t
发帖数: 9628 | 6
same.
【在 d**z 的大作中提到】
: 这个是先于-b到达a的概率。
: 如果限制在n步之内呢？如果n步内没到a就算失败了
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x******a
发帖数: 6336 | 7 why?
【在 d********t 的大作中提到】
:
: same.
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d********t
发帖数: 9628 | 8
Let k denote the no. of steps to reach either end,
P(a) = P(a|kn)
= P(a|k
【在 x******a 的大作中提到】
: why?
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A**u
发帖数: 2458 | 9 re 有道理
【在 d********t 的大作中提到】
:
: Let k denote the no. of steps to reach either end,
: P(a) = P(a|kn)
: = P(a|k
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k*****y
发帖数: 744 | 10 貌似很复杂。
na+1时会咋样?
【在 d**z 的大作中提到】
: 一个random walk
: 从 0出发，在n步之内先于-b到达a的概率是多少？
: 谢谢各位大牛了~~~
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x******a
发帖数: 6336 | 11 why P(a) = P(a|kn)?
【在 d********t 的大作中提到】
:
: Let k denote the no. of steps to reach either end,
: P(a) = P(a|kn)
: = P(a|k
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a**T
发帖数: 168 | 12 借人气问一题，两维standard BM，从（1,1）开始，问它在hit负x轴之前hit正x轴的
prob.对于这种hit问题基本没辙。。 |
d**z
发帖数: 183 | 13 为什么 P(a) = P(a|kn)? 而且 P(a|k>n)=0?
【在 d********t 的大作中提到】
:
: Let k denote the no. of steps to reach either end,
: P(a) = P(a|kn)
: = P(a|k
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d**z
发帖数: 183 | 14 关键两个边界的时候 不知道怎么求 p(tau <= n).
【在 k*****y 的大作中提到】
: 貌似很复杂。
: na+1时会咋样?
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k*****y
发帖数: 744 | 15 uncorrelated的时候，稍微算了一下。
X,Y搞反了...
【在 a**T 的大作中提到】
: 借人气问一题，两维standard BM，从（1,1）开始，问它在hit负x轴之前hit正x轴的
: prob.对于这种hit问题基本没辙。。
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n****e
发帖数: 629 | 16 Nice deduction.
A simpler solution:
The path will either hit X+ or Y+ first, with equal prob.
If hit Y+ first, the prob of hitting X- first is 1/2.
Therefore the total prob of hitting X- first is 1/2 * 1/2 = 1/4.
【在 k*****y 的大作中提到】
: uncorrelated的时候，稍微算了一下。
: X,Y搞反了...
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k*****y
发帖数: 744 | 17 good trick
【在 n****e 的大作中提到】
: Nice deduction.
: A simpler solution:
: The path will either hit X+ or Y+ first, with equal prob.
: If hit Y+ first, the prob of hitting X- first is 1/2.
: Therefore the total prob of hitting X- first is 1/2 * 1/2 = 1/4.
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A**u
发帖数: 2458 | 18 good method
【在 n****e 的大作中提到】
: Nice deduction.
: A simpler solution:
: The path will either hit X+ or Y+ first, with equal prob.
: If hit Y+ first, the prob of hitting X- first is 1/2.
: Therefore the total prob of hitting X- first is 1/2 * 1/2 = 1/4.
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l******i
发帖数: 1404 | 19 首先感谢楼主贡献，
如果可以的话，希望楼主最好能在帖子标题里加上问题的类别和关键词，
例如该帖名字可为：【Random Walk】请教一道题
这样方便我们工作人员整理，谢谢啦。
我已经把标题改了。 |
A**u
发帖数: 2458 | 20 请教一下
P(Tx = t) 给出的是 hit x轴概率密度，包括-x, +x
【在 k*****y 的大作中提到】
: uncorrelated的时候，稍微算了一下。
: X,Y搞反了...
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k*****y
发帖数: 744 | 21 我写的时候把X，Y搞反了。
\tau_X是第一次hit X=0的时间，也就是第一次hit Y轴的时间。p(\tau_X = t)是第一次hit Y轴时间等于t时的pdf。
当在时间t第一次hit Y轴时，算出P(Y_\tau > 0 | \tau = t) = P(Y_t > 0)，再算个
积分就得到所有了。
【在 A**u 的大作中提到】
: 请教一下
: P(Tx = t) 给出的是 hit x轴概率密度，包括-x, +x
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A**u
发帖数: 2458 | 22 You are right.
一次hit Y轴时间等于t时的pdf。
【在 k*****y 的大作中提到】
: 我写的时候把X，Y搞反了。
: \tau_X是第一次hit X=0的时间，也就是第一次hit Y轴的时间。p(\tau_X = t)是第一次hit Y轴时间等于t时的pdf。
: 当在时间t第一次hit Y轴时，算出P(Y_\tau > 0 | \tau = t) = P(Y_t > 0)，再算个
: 积分就得到所有了。
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d*****o
发帖数: 34 | 23
我是这么想的：
对称的随机徘徊
P(Xi=+1)=P(Xi=-1)=1/2
Yi=(Xi+1)/2
P(Yi=1)=P(Xi=+1)=1/2
P(Yi=0)=P(Xi=-1)=1/2
Yi 是 Bernoulli
Y1+...+Yk 是 Binomial
k步到达a（先于-b）的概率:
当k
P(X1+...+Xk=a)=0
当k>=a时
P(X1+...+Xk=a)=P(Y1+...+Yk=(a+k)/2)=(k,(a+k)/2)*1/2^k, 当a+k是偶数
P(X1+...+Xk=a)=0 当a+k是奇数
n步之内到达a（先于-b）的概率:
(a,(a+a)/2)*1/2^a+(a+1,(a+(a+1))/2)*1/2^(a+1)+...+(n,(a+n)/2)*1/2^n
这个和的close form solution还没搞出来。
【在 d**z 的大作中提到】
: 一个random walk
: 从 0出发，在n步之内先于-b到达a的概率是多少？
: 谢谢各位大牛了~~~
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r*******y
发帖数: 1081 | 24 it is
P(a) = P(a|k < n) P(k < n) + P(a|k>n) P(k > n) ?
【在 d********t 的大作中提到】
:
: Let k denote the no. of steps to reach either end,
: P(a) = P(a|kn)
: = P(a|k
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l******i
发帖数: 1404 | 25 大牛 is really smart.
Could you give some idea for a general case
if the initial position in the original problem has been changed
from (1,1) to (a,b) for any (a,b) value? (with a, b != 0)
【在 n****e 的大作中提到】
: Nice deduction.
: A simpler solution:
: The path will either hit X+ or Y+ first, with equal prob.
: If hit Y+ first, the prob of hitting X- first is 1/2.
: Therefore the total prob of hitting X- first is 1/2 * 1/2 = 1/4.
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k*****y
发帖数: 744 | 26 我的方法好像可以推广到从(a,b)出发。
【在 l******i 的大作中提到】
: 大牛 is really smart.
: Could you give some idea for a general case
: if the initial position in the original problem has been changed
: from (1,1) to (a,b) for any (a,b) value? (with a, b != 0)
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l******i
发帖数: 1404 | 27 yeah, you are right.
Could you please let me know which page of Shreve
introduce the pdf for the hitting time of a Wiener process?
Thx.
【在 k*****y 的大作中提到】
: 我的方法好像可以推广到从(a,b)出发。
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k*****y
发帖数: 744 | 28 p.151
【在 l******i 的大作中提到】
: yeah, you are right.
: Could you please let me know which page of Shreve
: introduce the pdf for the hitting time of a Wiener process?
: Thx.
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n****e
发帖数: 629 | 29 不是大牛，谢谢。
其实也是能做的。和原点连根线，显然角度是martingale. 所以先hit Y+的概率是
arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。接下来做法类似。
【在 l******i 的大作中提到】
: 大牛 is really smart.
: Could you give some idea for a general case
: if the initial position in the original problem has been changed
: from (1,1) to (a,b) for any (a,b) value? (with a, b != 0)
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A**u
发帖数: 2458 | 30 大牛 解释解释 看不懂
【在 n****e 的大作中提到】
: 不是大牛，谢谢。
: 其实也是能做的。和原点连根线，显然角度是martingale. 所以先hit Y+的概率是
: arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。接下来做法类似。
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n****e
发帖数: 629 | 31 Apparently I was stupid. The answer is just arctan(a/b)/pi. Sorry for the
messy math.
【在 n****e 的大作中提到】
: 不是大牛，谢谢。
: 其实也是能做的。和原点连根线，显然角度是martingale. 所以先hit Y+的概率是
: arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。接下来做法类似。
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l******i
发帖数: 1404 | 32 恕我愚钝，
角度是martingale，但为啥hit Y+的概率是arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。
能具体证明一下不？
谢谢哈。
【在 n****e 的大作中提到】
: 不是大牛，谢谢。
: 其实也是能做的。和原点连根线，显然角度是martingale. 所以先hit Y+的概率是
: arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。接下来做法类似。
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k*****y
发帖数: 744 | 33 跟Wienner Process从０出发先在-b之前先hit a的martigale算法一样。前提只要知道以１的概率会hit到boundary。
总结一下native的结果：
设(a,b)到X+的夹角是A（取小于\pi的那个），那么(a,b)到X-的夹角是\pi - A。由于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
P(hit X+) = (\pi - A) / ((\pi - A) + A) = (\pi - A) /\pi
P(hit X-) = A/ ((\pi-A) + A) = A/pi.
admire native大牛! 现在很清楚了。
]。
【在 l******i 的大作中提到】
: 恕我愚钝，
: 角度是martingale，但为啥hit Y+的概率是arctan(y/x)/[arctan(y/x)+arctan(x/y)]。
: 能具体证明一下不？
: 谢谢哈。
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R**T
发帖数: 784 | 34 恩，关键要能看到角度是martingale
赞各位大牛的讨论，还有版三的辛勤工作
现在版上好有营养，以前每天就五分钟批阅下，这几天都看好久
道以１的概率会hit到boundary。
于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
【在 k*****y 的大作中提到】
: 跟Wienner Process从０出发先在-b之前先hit a的martigale算法一样。前提只要知道以１的概率会hit到boundary。
: 总结一下native的结果：
: 设(a,b)到X+的夹角是A（取小于\pi的那个），那么(a,b)到X-的夹角是\pi - A。由于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
: P(hit X+) = (\pi - A) / ((\pi - A) + A) = (\pi - A) /\pi
: P(hit X-) = A/ ((\pi-A) + A) = A/pi.
: admire native大牛! 现在很清楚了。
:
: ]。
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A**u
发帖数: 2458 | 35 为啥 角度是martingale
道以１的概率会hit到boundary。
于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
【在 k*****y 的大作中提到】
: 跟Wienner Process从０出发先在-b之前先hit a的martigale算法一样。前提只要知道以１的概率会hit到boundary。
: 总结一下native的结果：
: 设(a,b)到X+的夹角是A（取小于\pi的那个），那么(a,b)到X-的夹角是\pi - A。由于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
: P(hit X+) = (\pi - A) / ((\pi - A) + A) = (\pi - A) /\pi
: P(hit X-) = A/ ((\pi-A) + A) = A/pi.
: admire native大牛! 现在很清楚了。
:
: ]。
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R**T
发帖数: 784 | 36 对称性啊，角度是A的话，增加dphi和减小dphi的概率一样吧？
【在 A**u 的大作中提到】
: 为啥 角度是martingale
:
: 道以１的概率会hit到boundary。
: 于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
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A**u
发帖数: 2458 | 37 大牛啊 明白了
【在 R**T 的大作中提到】
: 对称性啊，角度是A的话，增加dphi和减小dphi的概率一样吧？
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k*****y
发帖数: 744 | 38 不信的话，可以用Ito lemma来算d( arctan(Y_T/X_T) )，(dY_T)^2跟(dX_T)^2两项刚
好抵消。
【在 A**u 的大作中提到】
: 为啥 角度是martingale
:
: 道以１的概率会hit到boundary。
: 于(a,b)的角度是martigale，我们就得到
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l******i
发帖数: 1404 | 39 kinecty大牛方法虽然不是简便的，但也无疑是正确的，普适的。
我有个蠢问题：
\tau_X=第一次hit Y 轴的时间，
Y是第一次hit的位置。
为啥\tau_X和Y是independent的？
【在 k*****y 的大作中提到】
: uncorrelated的时候，稍微算了一下。
: X,Y搞反了...
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k*****y
发帖数: 744 | 40 我假定X，Y是independent的，所以\tau_X只依赖X跟Y是独立的。
【在 l******i 的大作中提到】
: kinecty大牛方法虽然不是简便的，但也无疑是正确的，普适的。
: 我有个蠢问题：
: \tau_X=第一次hit Y 轴的时间，
: Y是第一次hit的位置。
: 为啥\tau_X和Y是independent的？
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l******i
发帖数: 1404 | 41 我按我的理解解释一下：
\tau_X是第一次hit X=0的时间，也就是第一次hit Y轴的时间。
Y_t是第一次hit Y轴时的Y位置。
那么那个关于p(Y_t > 0 | \tau = t)*p(\tau = t)的积分应该算的是
第一次hit Y轴时hit到Y正轴的概率。
kinecty大牛是这个意思不？
您后来把积分里面写成p(Y_t > 0 | \tau = t)*p(\tau = t)我就明白了，
对于一开始的p(Y_t > 0 , \tau = t)=p(Y_t > 0)*p(\tau = t)我愣了一下下。
【在 k*****y 的大作中提到】
: 我假定X，Y是independent的，所以\tau_X只依赖X跟Y是独立的。
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k*****y
发帖数: 744 | 42 (X_t, Y_t)是在t时刻(X,Y)的值。所以Y_\tau是在\tau时刻Y的值，也就是当X第一次等
于 0，hit到Y轴时候Y的值。（不知道说清楚了没...）
准确点应该写成p(Y_\tau > 0, \tau = t) = p(Y_t > 0, \tau = t)，然后因为Y_t跟\
tau独立，所以可以拆成product。
【在 l******i 的大作中提到】
: 我按我的理解解释一下：
: \tau_X是第一次hit X=0的时间，也就是第一次hit Y轴的时间。
: Y_t是第一次hit Y轴时的Y位置。
: 那么那个关于p(Y_t > 0 | \tau = t)*p(\tau = t)的积分应该算的是
: 第一次hit Y轴时hit到Y正轴的概率。
: kinecty大牛是这个意思不？
: 您后来把积分里面写成p(Y_t > 0 | \tau = t)*p(\tau = t)我就明白了，
: 对于一开始的p(Y_t > 0 , \tau = t)=p(Y_t > 0)*p(\tau = t)我愣了一下下。
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