o**a
发帖数: 76 | 1 有没有可能找到一个正有理数到不相交的实数轴上的开集的一一映射，并且保序？
保序的意思是说，假如有理数p | w******o
发帖数: 442 | 2 什么是‘不相交的开集’？
【在 o**a 的大作中提到】
: 有没有可能找到一个正有理数到不相交的实数轴上的开集的一一映射，并且保序？
: 保序的意思是说，假如有理数p
| o**a
发帖数: 76 | 3 就是找映射f,使得对任意正有理数p, f(p)=(a,b) (实数轴上的开集,a,b依赖于p)
并且如果p不等于q, 则f(p)和f(q)不相交
而且这个映射是保序的：如果p
【在 w******o 的大作中提到】
: 什么是‘不相交的开集’？
| x******g
发帖数: 318 | 4 至少有没有的情况
是不是一定都没有，我还没想清楚.
不过这样的问题的解答一般《分析中的反例》上都有
【在 o**a 的大作中提到】
: 有没有可能找到一个正有理数到不相交的实数轴上的开集的一一映射，并且保序？
: 保序的意思是说，假如有理数p
| C********n
发帖数: 6682 | 5 我觉得是没有
这个问题是要给有理数弄个可数排序
【在 x******g 的大作中提到】
: 至少有没有的情况
: 是不是一定都没有，我还没想清楚.
: 不过这样的问题的解答一般《分析中的反例》上都有
| x******g
发帖数: 318 | 6 什么叫可数排序?
【在 C********n 的大作中提到】
: 我觉得是没有
: 这个问题是要给有理数弄个可数排序
| o**a
发帖数: 76 | 7 我也觉得不太可能
由于任意两个有理数之间有无限个有理数
所以任意两个开集之间也有无限个开集
这样的映射似乎不太好构造，但也不是完全没可能
【在 C********n 的大作中提到】
: 我觉得是没有
: 这个问题是要给有理数弄个可数排序
| C********n
发帖数: 6682 | 8 反证法巴
假设 ai 对应 集合 {Ai}
由于 Ai可按大小排序， 则我们可取两相邻 An and An+1 ,An< An +1
且两者间不存在其他集合
对应到数 a b and (a+b)/2
因此矛盾
【在 o**a 的大作中提到】
: 我也觉得不太可能
: 由于任意两个有理数之间有无限个有理数
: 所以任意两个开集之间也有无限个开集
: 这样的映射似乎不太好构造，但也不是完全没可能
| x******g
发帖数: 318 | 9
^^^为什么?
【在 C********n 的大作中提到】
: 反证法巴
: 假设 ai 对应 集合 {Ai}
: 由于 Ai可按大小排序， 则我们可取两相邻 An and An+1 ,An< An +1
: 且两者间不存在其他集合
: 对应到数 a b and (a+b)/2
: 因此矛盾
| C********n
发帖数: 6682 | 10 因为集合 Ai 之间存在绝对大小关系啊，而且不相交
那么我们取任何一个Ai,他会把所有的A分成两类，大于它的和小于他的
然后我们取大于它的所有集合中最小的那个...
【在 x******g 的大作中提到】
:
: ^^^为什么?
| | | x******g
发帖数: 318 | 11 存在最小的吗?
比如(-1,0),(1/(n+1),1/n)(n=1,2..)
【在 C********n 的大作中提到】
: 因为集合 Ai 之间存在绝对大小关系啊，而且不相交
: 那么我们取任何一个Ai,他会把所有的A分成两类，大于它的和小于他的
: 然后我们取大于它的所有集合中最小的那个...
| C********n
发帖数: 6682 | 12 oops nod
【在 x******g 的大作中提到】
: 存在最小的吗?
: 比如(-1,0),(1/(n+1),1/n)(n=1,2..)
| J*****n
发帖数: 4859 | 13
他说的是任取其中两个，两个相比，自然有最小的一个。
他的问题在于，能不能那么取。
答案显然是不能的，照他那样的取法，有理数之间的恒等映射都是不存在的。
【在 x******g 的大作中提到】
: 存在最小的吗?
: 比如(-1,0),(1/(n+1),1/n)(n=1,2..)
| I***e
发帖数: 1136 | 14
Of course you can.
You can easily construct such a set of open intervals.
Let's discuss the following equivalent version: mapping rational
numbers between [0,1] to (0, 1).
Assume the rational numbers in [0, 1] are q1=0, q2=1, q3, q4, ...
Define I_1=(0, 1/4), I_2=(3/4, 1).
For each q_k, find the nearest q_i and q_j in (q1, q2, ..., q_k-1),
define I_k to be centered at the middle of the interval between the
upper bound of the smaller interval and the lower bound of the
larger interval correspondi
【在 o**a 的大作中提到】
: 有没有可能找到一个正有理数到不相交的实数轴上的开集的一一映射，并且保序？
: 保序的意思是说，假如有理数p
| x******g
发帖数: 318 | 15 晚一步……
反例构造如下
0<=>A1,1<=>A2
然后按照1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,..的顺序依次的按照大小顺序安插开集A3,A4..即可.
这样就得到[0,1]上的所有有理数到不相交开集的保序映射，然后延拓到实数集即可
【在 I***e 的大作中提到】
:
: Of course you can.
: You can easily construct such a set of open intervals.
: Let's discuss the following equivalent version: mapping rational
: numbers between [0,1] to (0, 1).
: Assume the rational numbers in [0, 1] are q1=0, q2=1, q3, q4, ...
: Define I_1=(0, 1/4), I_2=(3/4, 1).
: For each q_k, find the nearest q_i and q_j in (q1, q2, ..., q_k-1),
: define I_k to be centered at the middle of the interval between the
: upper bound of the smaller interval and the lower bound of the
| I***e
发帖数: 1136 | 16 Why do you keep calling it a 'counter-example'? It is actually for the
conclusion, isn't it?
【在 x******g 的大作中提到】
: 晚一步……
: 反例构造如下
: 0<=>A1,1<=>A2
: 然后按照1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,..的顺序依次的按照大小顺序安插开集A3,A4..即可.
: 这样就得到[0,1]上的所有有理数到不相交开集的保序映射，然后延拓到实数集即可
| o**a
发帖数: 76 | 17 smart
【在 I***e 的大作中提到】
: Why do you keep calling it a 'counter-example'? It is actually for the
: conclusion, isn't it?
| o**a
发帖数: 76 | 18 also smart
【在 x******g 的大作中提到】
: 晚一步……
: 反例构造如下
: 0<=>A1,1<=>A2
: 然后按照1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,..的顺序依次的按照大小顺序安插开集A3,A4..即可.
: 这样就得到[0,1]上的所有有理数到不相交开集的保序映射，然后延拓到实数集即可
| x******g
发帖数: 318 | 19 那么它们之间存在一一保序映射
这个命题似乎并不难证明
【在 x******g 的大作中提到】
: 晚一步……
: 反例构造如下
: 0<=>A1,1<=>A2
: 然后按照1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,..的顺序依次的按照大小顺序安插开集A3,A4..即可.
: 这样就得到[0,1]上的所有有理数到不相交开集的保序映射，然后延拓到实数集即可
| T*******x
发帖数: 8565 | 20 这个构造很好。有点Urysohn lemma的意思。
我的第一直觉也是不可能。看来对于无穷的直觉需要培养。
【在 I***e 的大作中提到】
: Why do you keep calling it a 'counter-example'? It is actually for the
: conclusion, isn't it?
| w******o
发帖数: 442 | 21 集合论里边第一部分应该就是讲自然数和有理数之间可以一一对应吧。
【在 x******g 的大作中提到】
: 那么它们之间存在一一保序映射
: 这个命题似乎并不难证明
| x******g
发帖数: 318 | 22 这个问题的难点在于还需要保序
似乎问题还可以更一般化，而得到一个充要条件：存在一个一一映射，使得任意两点间的
点的数量相等
【在 w******o 的大作中提到】
: 集合论里边第一部分应该就是讲自然数和有理数之间可以一一对应吧。
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