l*********t
发帖数: 3 | 1 应该是个老题，但还是有地方没想明白，希望得到大家指教。
fair coin，如果扔到H拿2块钱，扔到T失去1块钱，现在手里有10块钱，不限时间地玩
，游戏持续到输完了为止。如何证明完全输完的概率小于1呢（即不会被gambler ruin). |
G**r
发帖数: 383 | 2 simple random walk:
P(S=0)=(b-10)/(b-a), when b->infinite, P(S=0)=1
Another way to think:
every state except s=0 is transient, [0] is absorbing. When t is infinite,
all the transient states go to [0] |
f*********5
发帖数: 367 | 3 LS没看贴就回了，汗。。。
假定random walk的起始点是0，问最后ruin在-10的概率p.
Let a=(sqrt(5)-1)/2, one can show that M_t:=a^{S_t} is a martingale, where S
_t the current wealth of the gambler. Let tau be the stopping of either
reaching -10 or +infty.
Then 1=M_0=E[M_{tau}]=p*a^{-10}+(1-p)*a^{-infty}=p*a^{-10}.
Therefore p=a^10<1, since a<1.
如果问a是怎么找出来的话，就是先设一个未知量a使得M_t能是个martingale的，解方
程求出a的值。 |
l******i
发帖数: 1404 | 4 你要用optional stopping theroem的话，
要先证明E[tau]< \infty，才能用M_0=E[M_{tau}]吧。
S
【在 f*********5 的大作中提到】
: LS没看贴就回了，汗。。。
: 假定random walk的起始点是0，问最后ruin在-10的概率p.
: Let a=(sqrt(5)-1)/2, one can show that M_t:=a^{S_t} is a martingale, where S
: _t the current wealth of the gambler. Let tau be the stopping of either
: reaching -10 or +infty.
: Then 1=M_0=E[M_{tau}]=p*a^{-10}+(1-p)*a^{-infty}=p*a^{-10}.
: Therefore p=a^10<1, since a<1.
: 如果问a是怎么找出来的话，就是先设一个未知量a使得M_t能是个martingale的，解方
: 程求出a的值。
|
l******i
发帖数: 1404 | 5 Shreve's Exercise 5.2 & 5.3有详细答案，见Shreve's Book Vol 1 Page 139。 |
l*********t
发帖数: 3 | 6 谢谢各位，forwhat2005，在找符合martingale的a时如何排除a=1的情况?
Lichenni, shreve的题意在证明tau小于正无穷? |
f*********5
发帖数: 367 | 7 对，是要证tau先，不过可以先假设一个有限的上限C和下限-10，这样E[tau]<无穷容易
些，得到最后ruin于-10的概率，然后让C取正无穷看极限。
a的取法是为了取一个能求出p的a,你如果取a=1的话最后就会得到方程
1=p+(1-p)，那还怎么求p? a是自己定得方便自己算p而已。 |
x******a
发帖数: 6336 | 8 it is impossible that E[tau]<无穷
【在 f*********5 的大作中提到】
: 对，是要证tau先，不过可以先假设一个有限的上限C和下限-10，这样E[tau]<无穷容易
: 些，得到最后ruin于-10的概率，然后让C取正无穷看极限。
: a的取法是为了取一个能求出p的a,你如果取a=1的话最后就会得到方程
: 1=p+(1-p)，那还怎么求p? a是自己定得方便自己算p而已。
|
f*********5
发帖数: 367 | 9 如果取定了一个有限的上限C和下限-10之后， E[tau]<无穷 没问题吧。最后取的是概
率的极限。 |
x********9
发帖数: 31 | 10 如果题目让证明的东西没有错，那么tau的 expectation肯定是正无穷，因为如果ruin
probability <1， 那么with positive probability ,tau = +\inf, so the
expectation is \inf.
You should try to use Markov chain.
let p_n denotes the probability of hitting -10 starting from n.
p_{-10} =1, p_{\inf} = 0,
then p satisfies p_{n} = 0.5*p_{n-1} + 0.5*p_{n+2}
this sequence can be solved in closed form and with the boundary conditions
, we can deduce
p_{n} = ((\sqrt{5}-1)/2)^{n+10} |
H*******s
发帖数: 106 | 11 tau be the stopping at -10 or +infty.
So shouldn't it be M_0=E[M_{tau}]=p*a^{-10}+(1-p)*a^{+infty} ? (The last one
is +infty, not -infty)
S
【在 f*********5 的大作中提到】
: LS没看贴就回了，汗。。。
: 假定random walk的起始点是0，问最后ruin在-10的概率p.
: Let a=(sqrt(5)-1)/2, one can show that M_t:=a^{S_t} is a martingale, where S
: _t the current wealth of the gambler. Let tau be the stopping of either
: reaching -10 or +infty.
: Then 1=M_0=E[M_{tau}]=p*a^{-10}+(1-p)*a^{-infty}=p*a^{-10}.
: Therefore p=a^10<1, since a<1.
: 如果问a是怎么找出来的话，就是先设一个未知量a使得M_t能是个martingale的，解方
: 程求出a的值。
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m******9
发帖数: 74 | 12
ruin).
all u need to do is to find z
such that
exp(z S_n) is a martingale.
it turns out that z = -0.48121182505960347.
then use optional stopping theorem.
【在 l*********t 的大作中提到】
: 应该是个老题，但还是有地方没想明白，希望得到大家指教。
: fair coin，如果扔到H拿2块钱，扔到T失去1块钱，现在手里有10块钱，不限时间地玩
: ，游戏持续到输完了为止。如何证明完全输完的概率小于1呢（即不会被gambler ruin).
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