a******u
发帖数: 66 | 1 integration from 0 to T of W(t)dt等于多少？我杀鸡用牛刀试图用ito lemma做，怎
么也绕不出来，555555555
哪个大虾指点以下？谢谢！ |
z****i
发帖数: 406 | 2 It's a random variable, normally distributed, with mean 0, variance T^3/3.
【在 a******u 的大作中提到】
: integration from 0 to T of W(t)dt等于多少？我杀鸡用牛刀试图用ito lemma做，怎
: 么也绕不出来，555555555
: 哪个大虾指点以下？谢谢！
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d*j
发帖数: 13780 | 3 ft
人家问的是怎么做的 不是结果。。。。。。
apply Ito's lemma on t*W_t
【在 z****i 的大作中提到】
: It's a random variable, normally distributed, with mean 0, variance T^3/3.
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s*****i
发帖数: 93 | 4 这个是martingale吗？用定义怎么证明？ int_0^t W_s ds
【在 d*j 的大作中提到】
: ft
: 人家问的是怎么做的 不是结果。。。。。。
: apply Ito's lemma on t*W_t
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z****i
发帖数: 406 | 5 哦。。我以为他想把它积出来。。。
可以不一定用ito lemma啊，因为被积函数是Ws, 所以这个东西是normal的，所以只要
知道mean和variance。 mean直接是0。variance写成二重积分。
是这么做的吧？
【在 d*j 的大作中提到】
: ft
: 人家问的是怎么做的 不是结果。。。。。。
: apply Ito's lemma on t*W_t
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a******u
发帖数: 66 | 6 我算出来得结果是：
TW_T-a normal distribution with mean 0 and variance T^3/3
具体步骤是：
d(t*w_t)=t*dw_t+w_t*dt
2边积分，从0到T,得出
T*w_T=Normal distribution with mean 0 and variance T^3/3+所需要求得积分。
【在 z****i 的大作中提到】
: It's a random variable, normally distributed, with mean 0, variance T^3/3.
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a******u
发帖数: 66 | 7 这个有点不对吧，我们只知道这样得积分
int_{0}^{T} f(u)dw_u肯定是normal distribution
而我问得是w_u du得形式，所以不见得肯定是normal,即使最后答案是normal
【在 z****i 的大作中提到】
: 哦。。我以为他想把它积出来。。。
: 可以不一定用ito lemma啊，因为被积函数是Ws, 所以这个东西是normal的，所以只要
: 知道mean和variance。 mean直接是0。variance写成二重积分。
: 是这么做的吧？
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a******u
发帖数: 66 | 8 用ito lemma,let
I(t)=int_0^t w_s ds
then dI(t)=w_t dt, therefore drift term is not zero. Hence not margingale.
【在 s*****i 的大作中提到】
: 这个是martingale吗？用定义怎么证明？ int_0^t W_s ds
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z****i
发帖数: 406 | 9 积分的本质是加和。
w_u是normal， 怎么加和都是normal
【在 a******u 的大作中提到】
: 这个有点不对吧，我们只知道这样得积分
: int_{0}^{T} f(u)dw_u肯定是normal distribution
: 而我问得是w_u du得形式，所以不见得肯定是normal,即使最后答案是normal
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s*******u
发帖数: 35 | 10 这个是有条件的吧，需要joint distribution 还是normal。如果independent， 当然
没有问题。
【在 z****i 的大作中提到】
: 积分的本质是加和。
: w_u是normal， 怎么加和都是normal
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a******u
发帖数: 66 | 11 aglee
【在 s*******u 的大作中提到】
: 这个是有条件的吧，需要joint distribution 还是normal。如果independent， 当然
: 没有问题。
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z****i
发帖数: 406 | 12 you are absolutely right. :)
It's fine in LZ's case though, because W_t and W_s are jointly normal.
【在 s*******u 的大作中提到】
: 这个是有条件的吧，需要joint distribution 还是normal。如果independent， 当然
: 没有问题。
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z****i
发帖数: 406 | 13 you are right.
and your result can be further simplified to "a normal distribution with
mean 0 and variance T^3/3".
1) A is normal. This is because W_t and W_s are jointly normal, for all t
and s.
2) Var(A) = T^3/3, because Var(A) = E(A^2) = \int_0^T \int_0^T min(t,s) dt
ds.
【在 a******u 的大作中提到】
: 我算出来得结果是：
: TW_T-a normal distribution with mean 0 and variance T^3/3
: 具体步骤是：
: d(t*w_t)=t*dw_t+w_t*dt
: 2边积分，从0到T,得出
: T*w_T=Normal distribution with mean 0 and variance T^3/3+所需要求得积分。
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a******u
发帖数: 66 | 14 T W_T得variance是T^3,然后减去一个variance为T^3/3,结果应该是个normal
distribution with variance=(2/3)T^3吧
dt
【在 z****i 的大作中提到】
: you are right.
: and your result can be further simplified to "a normal distribution with
: mean 0 and variance T^3/3".
: 1) A is normal. This is because W_t and W_s are jointly normal, for all t
: and s.
: 2) Var(A) = T^3/3, because Var(A) = E(A^2) = \int_0^T \int_0^T min(t,s) dt
: ds.
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a******u
发帖数: 66 | 15 而且您第二步E(A^2)=...得时候交换了expectation和积分，这个根据jensen不等式得
有个>=符号得。
dt
【在 z****i 的大作中提到】
: you are right.
: and your result can be further simplified to "a normal distribution with
: mean 0 and variance T^3/3".
: 1) A is normal. This is because W_t and W_s are jointly normal, for all t
: and s.
: 2) Var(A) = T^3/3, because Var(A) = E(A^2) = \int_0^T \int_0^T min(t,s) dt
: ds.
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t*******y
发帖数: 637 | 16 这个交换积分顺序是fubini
【在 a******u 的大作中提到】
: 而且您第二步E(A^2)=...得时候交换了expectation和积分，这个根据jensen不等式得
: 有个>=符号得。
:
: dt
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a******u
发帖数: 66 | 17 我不是说那个双重积分，我是说积分得期望等于期望得积分这一步 |
z****i
发帖数: 406 | 18 不独立，variance不能直接减
【在 a******u 的大作中提到】
: T W_T得variance是T^3,然后减去一个variance为T^3/3,结果应该是个normal
: distribution with variance=(2/3)T^3吧
:
: dt
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a******u
发帖数: 66 | |
a******u
发帖数: 66 | 20 but i still do not see how you get the variance T^3/3 as I said earlier. |
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z****i
发帖数: 406 | 21 This is where you applied Fubini.
Expectation is an integration. You exchange the order of integration=>积分得
期望等于期望得积分
【在 a******u 的大作中提到】
: 我不是说那个双重积分，我是说积分得期望等于期望得积分这一步
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M*****d
发帖数: 100 | 22 就是Fubini
没Jensen的事
【在 a******u 的大作中提到】
: 我不是说那个双重积分，我是说积分得期望等于期望得积分这一步
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a******u
发帖数: 66 | 23 now I see!
谢谢所有人得contribution!! |
