s*****e
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标 题: 纽约时报：学习代数有必要吗？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Aug 9 04:14:29 2012, 美东)
学习代数有必要吗？
安德鲁·海克
纽约时报 2012年08月08日
在美国的学校，每天约有600万名高中生和200万名大一新生在与代数作斗争。不管是在
高中还是大学，都会有大量学生代数考试不及格。我们为什么要让美国学生受这样的折
磨？我发现自己越来越强烈地认为，我们不应该这么做。
我的问题其实超出代数的范畴，在更宽泛的意义上适用于所有常见数学序列，比如几何
和微积分。各州教育董事会成员和立法者——还有很多公众——理所当然地认为，每个
年轻人都应该掌握多项式函数和参数方程。
有很多观点支持代数及学习代数。乍听之下，多数观点似乎颇为合理；我曾经接受其中
不少观点。但我越是分析这些观点，就越是清晰地觉得它们基本上（甚至完全）是错误
的——没有得到任何研究或证据的支持，或只是建立在一厢情愿的逻辑基础上。（我说
的并不是对“知情公民”和个人理财至关重要的定量分析技能，而是另一码事。）
这场辩论很重要。把数学列为必修课，会阻碍我们发现和培养年轻人才。名义上是培养
全面人才，可实际上我们在白白耗尽我们的脑力池。我是以一名在工作中大量使用数字
的作家和社会科学家的身份这么说的。我的目的不是为了让学生免于学习一门困难的科
目，而是呼吁各方关注我们分配宝贵资源不当所造成的切实问题。
数学造成的危害很早就会显现。让我国感到羞愧的是，四分之一的九年级学生无法完成
高中学业。根据去年发布的全国数据，2008-09学年，南卡罗来纳州(South Carolina)
有34%的学生辍学，而在内华达州(Nevada)，辍学比例达45%。和我交流过的教育工作者
多数把代数列为学习方面的主要原因。
田纳西州(Tennessee)的资深教师雪梨·巴格韦尔(Shirley Bagwell) 警告说，“要求
所有学生都掌握代数会导致更多学生辍学。”那些留在学校的学生经常会面临“毕业考
试”，此类考试几乎都有代数题目。去年，在俄克拉荷马州(Oklahoma)，33%的学生未
能通过毕业考试，而在西弗吉尼亚州(West Virginia)，这个比例为35%。
不管家境是富裕还是贫穷，也不管肤色是白是黑，代数对各种背景的学生都是一个麻烦
的绊脚石。在新墨西哥州(New Mexico)，43%白人学生的成绩达不到“熟练”，而在田
纳西州，这一比例为39%。即便是在那些资金充足的学校，也有一些很有天赋的学生被
代数拖累，更别提微积分和三角学了。
比如，加利福尼亚州(California)的两套大学制度都只考虑那些学过三年数学的学生的
入学申请，这种做法将那些可能在艺术或历史等科目上成绩优秀的学生拒之门外。社区
大学的学生也面临着同样令人畏惧的数学门槛。一项对两年制学校的研究发现，不到四
分之一的入学者通过了必修的代数课考试。
“有的学生三次、四次甚至五次参加这个课程，”阿巴拉契亚州立大学(Appalachian
State University)的芭芭拉·博纳姆(Barbara Bonham)说。她补充道，尽管有些学生
最终通过了考试，但“很多人辍学了”。
另一组辍学数据同样让人气愤。在所有投入高等教育学习的学生中，只有58%的人最终
获得学士学位。妨碍毕业的主要因素是：大一数学。在我从1971年就开始执教的纽约城
市大学(City University of New York)，57%的学生未能通过必修的代数课考试。一份
教师报告得出令人沮丧的结论：“数学考试不及格对学生能否继续学业的影响，在各年
级都大于其他任何学习因素。”一项全国学生成绩单抽样调查发现，数学课出现F和D的
频率是其他科目的两倍。
仅仅考试及格还不够。很多高校试图通过提高数学成绩的门槛来提升自己的地位。因此
，它们要求学术能力评估测试 (SAT)数学部分的成绩达到700分。而2009年只有9%的男
生和4%的女生达到此项要求。而且不只是常春藤盟校这么做：在范德堡大学(
Vanderbilt University)、赖斯大学(Rice University)和圣路易斯华盛顿大学(
Washington University in St. Louis)，如果申请人在SAT数学部分的成绩低于700分
，那么他们最好是校友子女或运动员。
没错，芬兰、韩国和加拿大学生的数学考试分数比较好。然而，让他们适合高要求工作
的是他们的毅力，而非他们在课堂里学到的代数。
再者，我们在课堂里学的数学，是否和我们工作时需要用到的数量推理有关？这一点也
不很明朗。研究数学教育的密歇根州立大学(Michigan State University)教育心理学
家约翰·P·史密斯三世(John P. Smith III)发现，“工作场所的数学推理明显不同于
学校教的算法。”即便是依赖所谓STEM文凭——科学(science)、技术(technology)、
工程学(engineering)、数学(math)——的那些工作，大量培训也发生在受雇之后，包
括所需的各类计算。比如，丰田(Toyota) 最近选择在密西西比州(Mississippi)一个偏
远的县建厂，尽管那里的大学远非有名。该公司同附近一所社区学院合作，由该学院开
办专门设计的“机床数学”课。
正是这种合作长期支持着德国的学徒计划。我完全同意这样一种观点：高科技知识是维
持先进工业经济所需要的。但是，如果我们认为解决办法主要在于学校，那我们就是在
自欺欺人。
怀疑论者可能会说，即便我们现有的数学教育让大量学生泄气，但不应该责怪数学本身
。数学这个科目难道不是教育的关键组成部分吗？它提供了定量分析工具，锻炼了不可
或缺（尤其是在当今高科技时代）的概念能力。实际上，我们听到有人辩称，我们缺少
拥有STEM文凭的毕业生。
当然，人们应该学习基本的数字技能：小数、比率和估算，打好算术基础。然而，乔治
城大学教育与劳动力中心(Georgetown Center on Education and the Workforce)所做
的权威分析预计，未来10年里，仅有5%的新员工需要在代数方面达到精通或以上的水平
。如果说我们缺少具备STEM文凭的毕业生，那么同样关键的一个问题是，有多少岗位是
面向具备这些技能的应聘者的？乔治城大学教育与劳动力中心今年1月的一项分析发现
，工程专业毕业生有7.5%失业，计算机科学专业毕业生有8.2%失业。
伊利诺伊大学(University of Illinois)的彼得·布朗恩费尔德(Peter Braunfeld)告
诉他的学生们：“没有数学，我们的文明就会崩溃。”他说得绝对正确。
代数算法支撑着动画电影、投资策略和机票价格。我们需要有人懂得这些是如何运作的
，并在人类社会的各个前沿向前推进。
显然，数量知识在衡量各项公共政策（从《平价医疗法》(Affordable Care Act)到环
境监管的成本与效益，再到气候变化的影响）方面很有用。很明显，有能力发现并揭示
在数字背后起作用的意识形态很有用。我们正快步迈向统计时代，这对“知情公民”提
出更高要求。我们所需要的不是教科书里的公式，而是对各种数字的来龙去脉以及它们
实际上传达了什么意思有更深入的了解。
那么，有关数学让我们思维更敏锐、让我们无论作为个人还是公民主体在智力上更娴熟
的说法呢？的确，数学要求脑力方面的投入。然而，没有证据表明，能证明(x² +
y²)² = (x² - y²)² + (2xy)²就会带来更可信的政
见或社会分析。
很多艰难完成了传统数学课程的人都觉得，这么做磨灭了他们的个性。这可能（也可能
不）说明这样一个事实：一些机构和职业往往只是为了摆出严谨的样子而设置先决条件
——这很难成为维持这么多数学要求的合理依据。针对兽医技术员的认证项目要求他们
学习代数，尽管我所见过的毕业生中，没有一个曾在诊断和治疗病人时用到代数。像哈
佛大学(Harvard University)医学院和约翰·霍普金斯大学(Johns Hopkins
University)医学院这样的医学院要求所有申请人学过微积分，即便在临床教学大纲中
根本没有微积分课程，更别提以后的行医实践了。数学被当成了一个箍、一个徽章、一
个用来给局外人留下深刻印象并提升某种职业地位的图腾。
不难理解加州理工学院(Caltech)和麻省理工学院(MIT)要求所有学生都精通数学。但想
弄明白未来的诗人和哲学家为何也要面临很高的数学门槛，就没那么容易了。实际上，
一刀切地要求学习代数会扭曲学生群体的构成，未必是件好事。
我想做个乐观的总结。数学——无论是纯数学还是应用数学——都是人类文明（从美学
到电子领域）的有机组成部分。但就多数成年人而言，他们对数学在更大程度上是害怕
和敬畏，而不是理解。很明显，要求人人学代数，并没有增进我们对数学的欣赏，尽管
有人把数学视为一种召唤，称其为“宇宙的诗歌”。（有多少大学毕业生记得“费马猜
想”是怎么回事？）
这门学科阻止了许多人取得非凡成就。与其把大量学术精力投入这门学科，我提议我们
开始考虑替代科目。那么，各级学校的数学教师都可以创建我所称的“公民统计学”方
面的引人入胜的课程。这不会是改头换面后的代数（就像跳级教学大纲里的课程那样）
，也不会聚焦于学者们在写给同行看的论文中用到的方程式。相反，它会让学生熟悉那
些描述和界定我们的个人与公共生活的各种数字。
比如，这门课可以告诉学生，消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI）是如
何计算的、包含哪些类别以及构成指数的各个类别如何分配权重，然后可以对哪些类别
应该被纳入CPI，它们分别应当获得多大权重开展讨论。
这未必意味着“弱智化”。研究数字的可靠性，可能与几何一样费神。越来越多的大学
要求开设“数量推理”课程。事实上，我们应该从幼儿园开始教这门课。
我希望数学教学部门也能开设关于这门学科的历史、理念以及它在早期文化中的应用的
课程。何不讲授艺术、音乐，甚至诗歌中蕴含的数学？连同数学在各个科学领域的角色
？目的在于将数学当作一门人文学科，让它像雕塑或芭蕾那样容易接近、受人欢迎。如
果我们重新思考这门课的构思，消息会散播出去，学习数学的人必定会增加。这只会起
到帮助作用。2010年，有170万毕业生被授予学士学位，但获得数学学士学位的只有
15396人，不足1%。
从密歇根州到密西西比州，我观察过许多高中和大学课堂。老师的认真教学以及勤奋的
学生让我印象深刻。我承认，如果不惜投入资源，我们可以让很多辍学的学生重回校园
，帮助他们通过二次方程的考试。然而，那样就误用了老师的授课才能和学生的努力。
如果我们减轻（而非增加）年轻人的数学课负担，会好得多。（话说回来，我不提倡让
那些被认为不用功的学生上职业学校。认为他们不用功几乎总是不公平的。）
是的，不管他们愿意与否，年轻人都应该学习如何读写，如何做长除法。但是，我们没
有理由强迫他们掌握向量夹角和非连续函数。我们把数学当作一块巨石，让大家都使劲
推，却不去评估这一切痛苦会带来什么成果。那么，我们为什么要求每个人都学那么多
数学，却没有替代课程或例外安排？迄今我还没找到一个令人信服的答案。
安德鲁·海克(Andrew Hacker)是纽约城市大学皇后学院的一名政治科学教授。他是《
高等教育？大学是如何浪费我们的金钱并让孩子失败的——我们能做什么》一书的联合
作者之一。 |
x****c
发帖数: 25662 | |
s*****e
发帖数: 21415 | 3 以后美国就发达了，啥也不用学……
【在 s*****e 的大作中提到】
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: 安德鲁·海克
: 纽约时报 2012年08月08日
: 在美国的学校，每天约有600万名高中生和200万名大一新生在与代数作斗争。不管是在
: 高中还是大学，都会有大量学生代数考试不及格。我们为什么要让美国学生受这样的折
: 磨？我发现自己越来越强烈地认为，我们不应该这么做。
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C****c
发帖数: 9157 | |
t****g
发帖数: 35582 | 5 其实吧，我觉得如果智商不够就老实认命，当当学徒做做技工挺好的。
【在 s*****e 的大作中提到】
: 以后美国就发达了，啥也不用学……
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t*****r
发帖数: 2542 | 6 硬是有人在历史版说68%的置信区间比95%置信区间大
中国数学都学得太少
【在 s*****e 的大作中提到】
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: 标 题: 纽约时报：学习代数有必要吗？
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: 学习代数有必要吗？
: 安德鲁·海克
: 纽约时报 2012年08月08日
: 在美国的学校，每天约有600万名高中生和200万名大一新生在与代数作斗争。不管是在
: 高中还是大学，都会有大量学生代数考试不及格。我们为什么要让美国学生受这样的折
: 磨？我发现自己越来越强烈地认为，我们不应该这么做。
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X*U
发帖数: 5518 | 7 貌似学数学的人不认为统计是数学
【在 t*****r 的大作中提到】
: 硬是有人在历史版说68%的置信区间比95%置信区间大
: 中国数学都学得太少
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t****g
发帖数: 35582 | 8 中国数学其实确实学的少，尽浪费时间做SB的高考题了。你说高三那一年那个劲头拿出
来学微积分加线性代数都够了。
【在 t*****r 的大作中提到】
: 硬是有人在历史版说68%的置信区间比95%置信区间大
: 中国数学都学得太少
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t****g
发帖数: 35582 | 9 当年我爸他们系的老头们还不认为计算数学/应用数学是数学呢。
【在 X*U 的大作中提到】
: 貌似学数学的人不认为统计是数学
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s*****e
发帖数: 21415 | 10 微积分高一就应该学，呵呵，我高一的时候拿了本教材翻了两个月就搞懂了
后来大一基本木有听课，两学期微积分成绩 95 - 100之间
【在 t****g 的大作中提到】
: 中国数学其实确实学的少，尽浪费时间做SB的高考题了。你说高三那一年那个劲头拿出
: 来学微积分加线性代数都够了。
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s*****e
发帖数: 21415 | 11 概率与统计当然是数学了。。。 呵呵
【在 X*U 的大作中提到】
: 貌似学数学的人不认为统计是数学
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X*U
发帖数: 5518 | 12 peng
概率和统计是一样的么？
【在 s*****e 的大作中提到】
: 概率与统计当然是数学了。。。 呵呵
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t****g
发帖数: 35582 | 13 好像真的只有中国把概率和统计放在一本书里？
别人都是概率，随机过程，estimation, decision弄一起。
【在 X*U 的大作中提到】
: peng
: 概率和统计是一样的么？
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X*U
发帖数: 5518 | 14 概率不是和实分析在一起的么
【在 t****g 的大作中提到】
: 好像真的只有中国把概率和统计放在一本书里？
: 别人都是概率，随机过程，estimation, decision弄一起。
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v***a
发帖数: 23651 | 15 @跳嫂
【在 X*U 的大作中提到】
: 貌似学数学的人不认为统计是数学
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X*U
发帖数: 5518 | 16 我旁边坐着一堆学数学的呢
【在 v***a 的大作中提到】
: @跳嫂
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l*******b
发帖数: 2586 | 17 概率借实分析做语言，就这样吧。两个还是分开的
【在 X*U 的大作中提到】
: 概率不是和实分析在一起的么
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g********r
发帖数: 8017 | |
X*U
发帖数: 5518 | 19 quote
"自从概率论公里体系建立，概率论就基本上是个数学分支。而统计学的关注点还是实
际数据的处理。"
结论就是：
概率属于数学
统计不算数学
【在 g********r 的大作中提到】
: http://blog.sciencenet.cn/blog-219728-248674.html
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C****c
发帖数: 9157 | 20 乃的是微积分吗？还是数学分析..
【在 s*****e 的大作中提到】
: 微积分高一就应该学，呵呵，我高一的时候拿了本教材翻了两个月就搞懂了
: 后来大一基本木有听课，两学期微积分成绩 95 - 100之间
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C****c
发帖数: 9157 | 21 统计不是，概率是
【在 s*****e 的大作中提到】
: 概率与统计当然是数学了。。。 呵呵
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C****c
发帖数: 9157 | 22 psn
分开的
【在 X*U 的大作中提到】
: 概率不是和实分析在一起的么
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t****g
发帖数: 35582 | 23 没有吧，这两课一般分开的。
概率如果不需要去搞理论弄random abstract space那一套不需要实分析理论吧。
不过我也没学过，反正都是转卖我爸忽悠我的二手料。
不过数学不好真是悲崔，老是被我爸嘲笑说我思考问题不高屋建瓴。
【在 X*U 的大作中提到】
: 概率不是和实分析在一起的么
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v***a
发帖数: 23651 | 24 make sense
【在 X*U 的大作中提到】
: quote
: "自从概率论公里体系建立，概率论就基本上是个数学分支。而统计学的关注点还是实
: 际数据的处理。"
: 结论就是：
: 概率属于数学
: 统计不算数学
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l*******b
发帖数: 2586 | 25 JO 不是学数学专业的吧，应该是微积分，嘿嘿
【在 C****c 的大作中提到】
: 乃的是微积分吗？还是数学分析..
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g********r
发帖数: 8017 | 26 打个不恰当的比方：
显像管是电视节目的基础。但同时显像管是因为看电视的需求才发展出来的。
电视厂家跟电视台基本是分开的。但没有了一个，另一个也不会存在。
【在 X*U 的大作中提到】
: quote
: "自从概率论公里体系建立，概率论就基本上是个数学分支。而统计学的关注点还是实
: 际数据的处理。"
: 结论就是：
: 概率属于数学
: 统计不算数学
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v***a
发帖数: 23651 | 27 你也不是数学系的
【在 C****c 的大作中提到】
: psn
: 分开的
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t****g
发帖数: 35582 | 28 这里谁是数学系的？ 问少？
【在 v***a 的大作中提到】
: 你也不是数学系的
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l*******b
发帖数: 2586 | 29 想说清楚事情还是要一些的，跟数学分析给微积分一个严格基础差不多
【在 t****g 的大作中提到】
: 没有吧，这两课一般分开的。
: 概率如果不需要去搞理论弄random abstract space那一套不需要实分析理论吧。
: 不过我也没学过，反正都是转卖我爸忽悠我的二手料。
: 不过数学不好真是悲崔，老是被我爸嘲笑说我思考问题不高屋建瓴。
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X*U
发帖数: 5518 | 30 错了，现在没有显像管了，都换LCD了，电视台还一样活的好好的
【在 g********r 的大作中提到】
: 打个不恰当的比方：
: 显像管是电视节目的基础。但同时显像管是因为看电视的需求才发展出来的。
: 电视厂家跟电视台基本是分开的。但没有了一个，另一个也不会存在。
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g********r
发帖数: 8017 | 31 psn。我第二句改成电视厂家了，懒得回去改显像管。领会精神！
【在 X*U 的大作中提到】
: 错了，现在没有显像管了，都换LCD了，电视台还一样活的好好的
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g********r
发帖数: 8017 | |
p********e
发帖数: 16048 | 33 那个不都在工学院下面么。。。
【在 g********r 的大作中提到】
: 问问大拿们：运筹学，对策论那些东西算数学么？
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v***a
发帖数: 23651 | 34 文科 通通文科
【在 g********r 的大作中提到】
: 问问大拿们：运筹学，对策论那些东西算数学么？
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g********r
发帖数: 8017 | 35 不算应用数学？
【在 p********e 的大作中提到】
: 那个不都在工学院下面么。。。
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t*****r
发帖数: 2542 | 36 我看立体几何可以少一点，放到初中去
高二开始学微积分和线性代数，起码把一元微积分和矩阵运算给学了
【在 t****g 的大作中提到】
: 中国数学其实确实学的少，尽浪费时间做SB的高考题了。你说高三那一年那个劲头拿出
: 来学微积分加线性代数都够了。
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t*****r
发帖数: 2542 | 37 68%和95%不就是1sigma,2sigma么？
概率难道不是随机分布？
【在 X*U 的大作中提到】
: quote
: "自从概率论公里体系建立，概率论就基本上是个数学分支。而统计学的关注点还是实
: 际数据的处理。"
: 结论就是：
: 概率属于数学
: 统计不算数学
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l*******b
发帖数: 2586 | 38 正太分布？
区别在于
概率论大概可以告诉为什么一些数据会服从正太分布
统计假定分布就是正太分布，然后调调参数，至于到底是啥，那就不管了，呵呵
【在 t*****r 的大作中提到】
: 68%和95%不就是1sigma,2sigma么？
: 概率难道不是随机分布？
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a*******e
发帖数: 3021 | 39 ...
微机分是教啥的
数学分析又是教啥的来
【在 C****c 的大作中提到】
: 乃的是微积分吗？还是数学分析..
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o******s
发帖数: 1364 | 40 Some Math department in the US think the same way. Ppl in comp/applied math
have real hard time getting tenure.
E.g. UCSD.
【在 t****g 的大作中提到】
: 当年我爸他们系的老头们还不认为计算数学/应用数学是数学呢。
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r***o
发帖数: 1526 | 41 学那么多皮毛有P用，给道平面几何题还是不会做，美国小孩看着学得多
其实到头来基础没打好，学再多也白搭
【在 t****g 的大作中提到】
: 中国数学其实确实学的少，尽浪费时间做SB的高考题了。你说高三那一年那个劲头拿出
: 来学微积分加线性代数都够了。
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t****g
发帖数: 35582 | 42 美国小孩有的天才那是真牛。还有一个美国有中国不具备的大批移民，全世界聪明的年
青人都来了。
一个国家年青人的创新能力，其实关键就靠那最聪明的最勤奋的0.01%，其他人只要不
是太笨就行了。
而且你要说到对工作认真负责的精神，我接触到的美国本科生感觉普遍比国内的本科生
强。
【在 r***o 的大作中提到】
: 学那么多皮毛有P用，给道平面几何题还是不会做，美国小孩看着学得多
: 其实到头来基础没打好，学再多也白搭
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C****c
发帖数: 9157 | 43 psn 我是
【在 v***a 的大作中提到】
: 你也不是数学系的
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q*z
发帖数: 13362 | 44 数学可以训练逻辑思维呀,不然版上那么多鄙视文科生的
【在 s*****e 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
: 发信人: ShowMeMoney (ShowMeMoney), 信区: Military
: 标 题: 纽约时报：学习代数有必要吗？
: 发信站: BBS 未名空间站 (Thu Aug 9 04:14:29 2012, 美东)
: 学习代数有必要吗？
: 安德鲁·海克
: 纽约时报 2012年08月08日
: 在美国的学校，每天约有600万名高中生和200万名大一新生在与代数作斗争。不管是在
: 高中还是大学，都会有大量学生代数考试不及格。我们为什么要让美国学生受这样的折
: 磨？我发现自己越来越强烈地认为，我们不应该这么做。
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r**m
发帖数: 1825 | 45 俺咋觉得这是美帝的阴谋呢：
转个老老老老老老老老老老贴
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都说中国学生数理基础NB，呵呵，中国只是中学数理比较好，到了大学就甭提了。
中外工科高等教育有巨大差异，尤其体现在数理基础课上。
国内而言，首先是数学工具对中学思维的极端迁就。
中国工科教材除了基本的微积分运算之外，像中学生一样喜欢用标量式，喜欢只考虑大
小，忽略方向，甚至还出现过 “略去负号不写，只考虑大小”这样的语句，尽量避免
使用矢量式。而欧美的力学课程中一开始就使用大量的矩阵理论和线性空间知识，强迫
学生以比较抽象的思维从比较高的视点看问题，摒弃中学思维中的部分陋习 。
到这里之后才发现，很多中国留学生奇怪为什么老外出题不懂的循序渐进，一上来就是
如此复杂的问题。虽然他们中很多人是清华、西工大或者上交前几名的尖子。这就是中
外工科教育的另一差异。我们培养的是解决简单问题的熟练度。优秀学生也只是解决简
单问题的熟练度比较高而已。我们在一些常见的简单问题上有很多结论，要求学生背下
来，对这些结论的熟练与否决定了学生考试成绩的高低。 老外很奇怪中国学生怎么背
了这么多结论，而且都是他们没有刻意强调的。最重要的是，中国学生觉得这些结论很
有价值，很高深。而老外觉得... 进行一下张量运算，这根本就是显然的嘛，高深个屁。
总而言之，我们长期以来“背结论”式的教育，扼杀了学生的推理能力，使得学生过分
依赖结论。
举个简单的例子，理论力学课程中我们非常强调动量守恒和角动量守恒，套这两个公式
一下子就能解决很多中式题目。 但如果一个模型，他既不是动量守恒，也不是角动量
守恒，中国学生中的尖子也会很烦。因为这是不按套路出牌的。老外才不管这些，算了
满满一页纸，告诉你：我不懂什么狗屁动量守恒或者角动量守恒，因为它的动量和角动
量的一个线性组合是守恒的。
还有助教谈到几个经常被中国学生问到的问题“角速度怎么能算矢量呢？它不是转圈的
嘛，向量应该是直的”面积什么时候都成矢量了？中学的时候可是一直把他当标量的”
一致连续和连续到底有什么区别啊，一致收敛和收敛呢？” 难以摆脱中学逻辑的阴影
，思维高等不起来，是中国学生普遍存在，亟待解决的缺陷
学了实变函数之后，中国学生仍然天真的认为求导和积分互为逆运算，仍然信奉“先积
后导全抵消”。 在国内学了一年线性代数（这还算好的，有的只学了半年），竟然不
知道对称阵可以正交对角化（这种学生在国内的线性代数考试中可能拿了90多分，国内
只考个算行列式，特征值特征向量什么的，当然水）。当课上涉及这些内容时，面露惊
讶神色，张大嘴做见上帝状的，只有中国学生。
再举一个揭中国学生伤疤的：中国学生对 “场”非常没概念，对“梯度，旋度，散度
”的了解只停留在定义式上，应用尤其不熟练。中国学生虽然中学的代数运算技巧、三
角变换技巧非常高深，让老外瞠目结舌，但上了 大学之后对那些蕴含着大智慧的高等
工具却有强烈排斥倾向。除了基本的微积分运算之外，中国学生的数理思维能力还停留
在中学巅峰时期的水平，甚至还差些。
中国学生认为柯西不等式是不显然的，是一种技巧，是少数人的专利，有畏惧心里，更
遑论 holder和minkovski不等式。工科学生99%不知道柯西不等式，剩下的1%中又有99%
不会用。而国外教学大纲是按照高屋建瓴的线性空间思维建立的，无论柯西，holder还
是minkovski不等式，根本就是“三角形两边之和大于第三边”那样显然直观。
OK，不举具体例子了，太多了。一说凸函数，随便交换极限次序之类的笑话，80%都是
中国学生整出来的。以后谈谈体制问题。
又忍不住了，再举一个例子：
上面说的那些东西，不是我首先发现的，以前也有不少人抱怨过，包括国内某些教授。
他们的回应就是加强数学基础课的教学，把工科的“高等数学”改成“工科数学分析”
。数学分析好啊 ，有大智慧的，但这时咱们的“山寨文化” 又起作了：谁让你名字前
面挂了“工科”二字，于是数学分析比高等数学优越的内容一删再删，最后变成了和高
数没什么区别的东东，除了名字挂着个数分。
我们批量生产的人才，自称学过数分，连柯西收敛准则都不知道，分不清逐点收敛和一
致收敛，自称学过傅里叶分析却只会套公式而不知道三角函数系的正交性，把助教都快
整疯了。她眼中的中国留学生从来就不以数学水平著称，法国人和匈牙利人才是。
所以我们必须反思：为什么中国的中学生比老外的中学生数学物理都强，而且不止一星
半点，到了大学却不仅被迎头赶上，还被远远超越？是什么造成了我们对高等思维、高
等工具的排斥感？
我们的中学教育到底靠什么领先：
我们通过题海战术，让学生反复练习初等数学中一些较为非主流的，近代数学毫不感兴
趣的技能（比如初中几何的辅助线，三角形全等，高中的三角函数代数变换，降幂扩角
，倍半角公式，怎么样又勾起大家的痛苦回忆了吧）。而国外会强调一些空间知识，比
如把长度的概念拓展成“模”，初步引入其他空间的三角不等式之类，略显抽象，但在
我们看来毫无用处，因为这些东西不能帮我们算出椭圆或者抛物线的方程，而高考就靠
这些。多记忆一些结论之后，乍一看起来我们的中学生比老外要多一些“形式运算”的
数学技能。但这些技能在高考后会被迅速忘却，这方面的优势没了，抽象思维能力的劣
势还在，“形式运算”的习惯还在，于是“随便交换极限次序”之类的笑话便不足为奇
了。
同时，中国中学的教育只展示了数学最丑陋的一面，而不是优美的一面。无尽的题海使
学生厌倦或者恐惧。进入大学之后由于没有了高三那样的压力，学生逃避或抵触高等思
维、高等工具已成必然。而反观国外，已有概念在新的空间的推广，前后的相似之处，
联系和区别，更能体现数学的本质，告诉学生数学是优美的。中学数学技巧无论如何高
深，终究也只能解决简单问题。
【在 s*****e 的大作中提到】
: 概率与统计当然是数学了。。。 呵呵
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r**m
发帖数: 1825 | 46 丘成桐：中国学生基础比美国学生扎实是自我麻醉
不知从什么时候开始，这些观点被普遍认同：中国学生的数理化成绩要比同龄的美国孩
子好，中国学生基础知识要扎实得多，只是创新能力差一些。
11月5日，国际数学大师丘成桐对这种观点毫不客气地泼了瓢冷水：“这都是多少年来
可怕的自我麻醉！我不认为中国学生的基础知识学得有多好！”
丘成桐是在北京接受本报记者专访时道出此言的，此前，他在微软亚洲研究院举办的“
21世纪的计算”论坛上做了演讲，北京高校有2500多名爱好计算的学生聆听了他的演讲。
丘是被公认为是近1/4世纪里最有影响的数学家之一，他在29岁时就攻克几何学上的难
题“卡比拉猜想”，轰动国际数学界，因此在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲
尔兹奖。他迄今惟一获得该奖的华人。
“美国最好的学生真是好得不得了。”丘成桐说，应该这样比较，不管是美国，还是中
国，能进他所就职的哈佛大学的学生都应该是这两个国家最好的学生。而两类最优秀的
人相比，美国学生的基础知识绝对不会逊色于中国学生，相反是要强很多。
教育界和社会上还有这种说法，认为中国的中小学生要比美国的学生数理化知识学得多
，比如，在某个年龄段，中国孩子加、减、乘、除的混合运算已经学得滚瓜烂熟，但美
国孩子加减法还做得磕磕绊绊。
“这也是错的，在美国比较好的中小学校里，中国学生念的功课，他们也都是要学的，
而且学得很灵活，绝对不是像中国那样填鸭式地教。一些好的学校，十一、十二年级学
生的微积分已经做得非常漂亮，但听说国内不是所有的高中生都学微积分。”
丘成桐在很多场合都举过这几个例子，几个来自国内一顶尖大学的学生找到丘先生，求
教一个几何方面的问题。丘成桐感到很奇怪，他们问的是一个微分几何方面的古典问题
，是学生们在读本科时就应该掌握的数学知识：“还能说中国学生比国外学生学得好吗
？” |
d*****0
发帖数: 68029 | 47 我国考研很多专业都不考高数的。。。
【在 s*****e 的大作中提到】
: 概率与统计当然是数学了。。。 呵呵
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R***a
发帖数: 41892 | 48 我就是认为积分和求导互为逆运算的
【在 r**m 的大作中提到】
: 俺咋觉得这是美帝的阴谋呢：
: 转个老老老老老老老老老老贴
: -----------------------------------------------
: 都说中国学生数理基础NB，呵呵，中国只是中学数理比较好，到了大学就甭提了。
: 中外工科高等教育有巨大差异，尤其体现在数理基础课上。
: 国内而言，首先是数学工具对中学思维的极端迁就。
: 中国工科教材除了基本的微积分运算之外，像中学生一样喜欢用标量式，喜欢只考虑大
: 小，忽略方向，甚至还出现过 “略去负号不写，只考虑大小”这样的语句，尽量避免
: 使用矢量式。而欧美的力学课程中一开始就使用大量的矩阵理论和线性空间知识，强迫
: 学生以比较抽象的思维从比较高的视点看问题，摒弃中学思维中的部分陋习 。
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h****a
发帖数: 1098 | 49 到美国的博士阶段的学习，最大收获是自学能力的提高。
自学能力的基础是数学。数学底子不错，学啥都快。
这个自学能力很重要，工作里很有用。工作里的事经常和你学的没关系，要靠自学。
但是，我们中学里不讲究这个，讲的是做题技巧。 |
e***s
发帖数: 1397 | 50 一学期的叫微积分，两学期的叫高数，三学期的叫数学分析。
【在 C****c 的大作中提到】
: 乃的是微积分吗？还是数学分析..
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