l*********g 发帖数: 1729 | 1 中学的时候,老师教过我们证明根号2是无理数,只是提到了圆周率pai是无理数,我自
己试着证明了一下,发现不会证明。这里有人有提示么?
或者是pai的平房,3次方,任意整数次方,任意(非零)有理数方是否都是无理数?如
何证明?
这可以作为一个好的课题供我消磨时间吗? |
w**e 发帖数: 19 | 2 请参阅人教版初一教材《数学》七年级下册《实数》,我儿子九岁时就懂7。 |
s******g 发帖数: 321 | 3 真是无知者无畏。
【在 w**e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 请参阅人教版初一教材《数学》七年级下册《实数》,我儿子九岁时就懂7。
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t**i 发帖数: 511 | 4 如果pi不是无理数, 可以写作pi=a/b, a, b 都是整数, 好像可以化一个正几边形非圆
【在 l*********g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 中学的时候,老师教过我们证明根号2是无理数,只是提到了圆周率pai是无理数,我自 : 己试着证明了一下,发现不会证明。这里有人有提示么? : 或者是pai的平房,3次方,任意整数次方,任意(非零)有理数方是否都是无理数?如 : 何证明? : 这可以作为一个好的课题供我消磨时间吗?
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s******g 发帖数: 321 | 5 No, pi无理数的证明还是比较复杂, 有难度的。
非圆
【在 t**i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 如果pi不是无理数, 可以写作pi=a/b, a, b 都是整数, 好像可以化一个正几边形非圆
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b******3 发帖数: 4385 | 6 用级数
【在 s******g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : No, pi无理数的证明还是比较复杂, 有难度的。 : : 非圆
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s******g 发帖数: 321 | 7 e 是用级数, pi 有没有简单的级数证明我还真不知道了。
贴个链接吧。
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
【在 b******3 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 用级数
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x******4 发帖数: 266 | |
d**********i 发帖数: 4877 | 9 关于18世纪你知道有二个在数学世界上鼎鼎有名的超越数。一个是圆周率3.1415...。
另一个是自然对数的底--- e/2.7181....。在这里要回答你的问题的确很难。 先来个
超越数证明假设 z满足 整数系数方程: F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+....anx^n=0, (an≠0)
,但不满足更低次数的方程,这时就称z为n次代数数。 例如:√2 是一个2次代数数。
因为它满足 x^2 -2=0 ,但不满足一次方程。 2^(1/3)是一个3次代数数.... 而任何一
个 n>1 次代数数,都不可能是有理数, 因为有理数 必定满足 Qx-P=0 这个一次方程
。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 : P1/Q1, P2/Q2 ..
.... 使得 Pr/Qr → z . 柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z, 这样一个逼近,精
度必定达不到 1/(Qr)^(n+1), 即: | z - Pr/Qr |> 1/(Qr)^(n+1) -------(1) (1)
就是柳维尔定理 下面先来说明如何应用这个定理来 构造超越数。 取 Z =a1 10^-(1!)
+a210^-(2!) +..+ am10^-(m!) +a(m+1)10^-(m+1)!.. =0.
a1a2000a300000000000000000a4000....... 可以看清楚的图片:
其中ai 是1到9的任意整数,若在Z的展式中只取到am 10^-(m!)这一项,记为:Zm, Zm
为一有理数。 那么 |Z - Zm|<10* 10^-(m+1)! ------(2) 假设 Z是n次代数数, 则
在公式 (1)柳维尔定理中 令Zm= Pr/Qr= Pr/10^(m!) 则根据(1)得出: |Z -Zm|> 1/
10^[(n+1)m!] -----(3) (3)和(2) 就可以推出:(n+1)m! > (m+1)! -1 对于充分大的m
恒立。 然而 这个不等式 对于大于n 的 m 是不成立的。这就得出矛盾 所以Z 是超越
数。 关于现在用的是反证法假设∏是有理数,则∏=a/b,(a,b为自然数) 令f(x)=(x
^n)[(a-bx)^n]/(n!) 若000以上两式相乘得: 0当n充分大时,,在[0,∏]区间上的积
分有 0又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导
数) 由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在
x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(∏)也都是整数。 又因为 d[F'(x)sinx-F(x)
conx]/dx =F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx =F"(x)sinx+F(x)sinx =f(x)
sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为∏,下限为0) =
F(∏)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾
。所以∏不是有理数,又它是实数,故∏是无理数。
【在 l*********g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 中学的时候,老师教过我们证明根号2是无理数,只是提到了圆周率pai是无理数,我自 : 己试着证明了一下,发现不会证明。这里有人有提示么? : 或者是pai的平房,3次方,任意整数次方,任意(非零)有理数方是否都是无理数?如 : 何证明? : 这可以作为一个好的课题供我消磨时间吗?
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d**********i 发帖数: 4877 | 10 好难,我没读懂
0)
。
..
!)
【在 d**********i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 关于18世纪你知道有二个在数学世界上鼎鼎有名的超越数。一个是圆周率3.1415...。 : 另一个是自然对数的底--- e/2.7181....。在这里要回答你的问题的确很难。 先来个 : 超越数证明假设 z满足 整数系数方程: F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+....anx^n=0, (an≠0) : ,但不满足更低次数的方程,这时就称z为n次代数数。 例如:√2 是一个2次代数数。 : 因为它满足 x^2 -2=0 ,但不满足一次方程。 2^(1/3)是一个3次代数数.... 而任何一 : 个 n>1 次代数数,都不可能是有理数, 因为有理数 必定满足 Qx-P=0 这个一次方程 : 。 而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 : P1/Q1, P2/Q2 .. : .... 使得 Pr/Qr → z . 柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z, 这样一个逼近,精 : 度必定达不到 1/(Qr)^(n+1), 即: | z - Pr/Qr |> 1/(Qr)^(n+1) -------(1) (1) : 就是柳维尔定理 下面先来说明如何应用这个定理来 构造超越数。 取 Z =a1 10^-(1!)
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m***n 发帖数: 12188 | 11 有很多种证明方法,有的“复杂"(使用了现代数学手段)。有的简明直接,比如用初
等几何。如果派不是无理数,那圆就不是圆,而是多边形。
多边形走向无限,那就是圆;有理数走向无限(有限循环到无限循环),那就是无理数。 |
O****X 发帖数: 24292 | |
S*******s 发帖数: 13043 | 13 你在胡说什么?无限循环小数是有理数
数。
【在 m***n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 有很多种证明方法,有的“复杂"(使用了现代数学手段)。有的简明直接,比如用初 : 等几何。如果派不是无理数,那圆就不是圆,而是多边形。 : 多边形走向无限,那就是圆;有理数走向无限(有限循环到无限循环),那就是无理数。
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k*******r 发帖数: 16963 | 14 pai不仅是无理数,还是超越数吧?不是学数学的普通人99%应该不会证。 |
s******g 发帖数: 321 | 15 100%
【在 k*******r 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : pai不仅是无理数,还是超越数吧?不是学数学的普通人99%应该不会证。
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w********r 发帖数: 14958 | 16 会不会证有什么用?
你开车上班需要知道轮胎气压多少,变速器变速比吗?
【在 s******g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 100%
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t*******r 发帖数: 22634 | 17 属实
【在 s******g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 100%
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t*******r 发帖数: 22634 | 18 不会证明没事,看不懂证明对某些工作还是不行的。。。
【在 w********r 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 会不会证有什么用? : 你开车上班需要知道轮胎气压多少,变速器变速比吗?
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t*******r 发帖数: 22634 | 19 伊是语文问题,看上下文,伊的意思是循环周期无限。。。
不过大部分正多边形的周长(相对对角线或对边距离)已经是无力数了,不过是
algebraic irrational,而 pi 是 transcendental。。。(应该是这样,希望俺没估
计错)。。。
【在 S*******s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你在胡说什么?无限循环小数是有理数 : : 数。
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t*******r 发帖数: 22634 | 20 这个是不容易懂,这个还证明了是 transcendental irrational。。。
【在 d**********i 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 好难,我没读懂 : : 0) : 。 : .. : !)
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t*******r 发帖数: 22634 | |
m***n 发帖数: 12188 | 22 谢。
疏忽了。
加个字:“从有限位循环到无限位循环”,就不会有歧义了。
【在 t*******r 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 伊是语文问题,看上下文,伊的意思是循环周期无限。。。 : 不过大部分正多边形的周长(相对对角线或对边距离)已经是无力数了,不过是 : algebraic irrational,而 pi 是 transcendental。。。(应该是这样,希望俺没估 : 计错)。。。
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