s*s
发帖数: 100 | 1 学校里有那种本科生有奖答题的活动，出几道数学题征集答案。虽然我不是本科生也不
做数学，但也经常用里面的题练练脑子。昨天看到一题想了一整天没想出来，疑似是一
道高中竞赛程度的初等数论题。实在束手无策，请牛人指点：
若(m+1)^3-m^3=n^2，其中m，n是正整数，则存在正整数k，满足n=k^2+(k+1)^2。
我通过分析知道上面命题等效于下面命题（个人感觉这个思路是不对的）：
若3m(m+1)=4p(p+1)，（m,p是正整数），则存在k使得p=k(k+1)。
另外我用数值模拟知道这个方程的整数解是非常稀疏的，开始的五组解：
m=7,k=2
m=104,k=9
m=1455,k=35
m=20272,k=132
m=282395,k=494
多谢多谢 | i******t
发帖数: 370 | 2 这个不难。
(2n+1)(2n-1)=4n^2-1=3(2m+1)^2
1) if p 是2m+1的奇素数因子，则p不能同时整除2n+1,2n-1，否则p|(2n+1)-(2n-1)=2
。因此2n-1中p的最高次幂必为偶数。2n-1=(2k+1)^2, 2n+1=3(2s+1)^2 or 2n-1=3(2k+
1)^2, 2n+1=(2s+1)^2。前者就是n=k^2+(k+1)^2
2) 2n-1=3(2k+1)^2不可能成立，否则n=-1(mod 3)，2n+1=-1(mod 3)。然而(2s+1)^2=0
or 1(mod 3)
证毕。
【在 s*s 的大作中提到】
: 学校里有那种本科生有奖答题的活动，出几道数学题征集答案。虽然我不是本科生也不
: 做数学，但也经常用里面的题练练脑子。昨天看到一题想了一整天没想出来，疑似是一
: 道高中竞赛程度的初等数论题。实在束手无策，请牛人指点：
: 若(m+1)^3-m^3=n^2，其中m，n是正整数，则存在正整数k，满足n=k^2+(k+1)^2。
: 我通过分析知道上面命题等效于下面命题（个人感觉这个思路是不对的）：
: 若3m(m+1)=4p(p+1)，（m,p是正整数），则存在k使得p=k(k+1)。
: 另外我用数值模拟知道这个方程的整数解是非常稀疏的，开始的五组解：
: m=7,k=2
: m=104,k=9
: m=1455,k=35
| s*s
发帖数: 100 | 3 不服不行，我想到了凑完全平方但是没能继续下去。非常感谢！ | b*******8
发帖数: 37364 | |
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