y****t 发帖数: 17 | 1 A是正整数集合的子集,A的密率大于0.5.
则A包含一个无穷项的等差数列。
我的一个猜想,不知成立与否。如果0.5不可以,能否把0.5改成一个稍大的数(这个数
当然小于1),
使得猜想为真?比如说,A的密率大于0.99,则A包含一个无穷项的等差数列。
然后确定出这个最小的数...........
密率的定义在 http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density | Q***5 发帖数: 994 | 2 Counter example:
Consider the sequence x(n): if n is between 2^(k-1) and 2^k, define x(n)= 2^
(k-1)
Then 密率 is 1, and you can not find a 无穷项的等差数列 | y****t 发帖数: 17 | 3 正整数集合的子集, 如果密率是1,则这个子集就是正整数集。
楼上给出的是一个几何级数,2^(k-1), 密率是0,不是1
我们对 密率的定义的理解有不同........... | Q***5 发帖数: 994 | 4 Sorry,My misunderstandig.
Consider the following:
In all the natual numbers, between 1-10, remove 10
between 11-100, remove 91,92,...100
between 101-1000, remove 991,992,..., 1000
....
You will end up with a counter example: the 密率>0.5, yet there are gaps
that are larger than any specific number, so no 无穷项的等差数列 will
survive.
You can use the same method to construct counter examples for any 密率<1
【在 y****t 的大作中提到】 : 正整数集合的子集, 如果密率是1,则这个子集就是正整数集。 : 楼上给出的是一个几何级数,2^(k-1), 密率是0,不是1 : 我们对 密率的定义的理解有不同...........
| y****t 发帖数: 17 | 5 a_1 < a_2 < a_3 < ......
是一自然数列, 且存在M > 0, 使得 a_{i+1} - a_i < M,对所有的自然数 i 成立,
则该序列包含有无限长的等差数列。
感谢楼上! 现在希望这个结论是正确的,而且不至于太简单就证明出来。 | Q***5 发帖数: 994 | 6 Do you still assume density to be close enough to 1? If not here is a simple
counter example:
a_1 to a_10, increases by 2
a_10 to a_100 increases by 3
a_100 to a_1000 incrases by 2
a_1000 to a_10000 increases by 3
...
【在 y****t 的大作中提到】 : a_1 < a_2 < a_3 < ...... : 是一自然数列, 且存在M > 0, 使得 a_{i+1} - a_i < M,对所有的自然数 i 成立, : 则该序列包含有无限长的等差数列。 : 感谢楼上! 现在希望这个结论是正确的,而且不至于太简单就证明出来。
| y****t 发帖数: 17 | 7 存在公差6的无限等差数列。
simple
【在 Q***5 的大作中提到】 : Do you still assume density to be close enough to 1? If not here is a simple : counter example: : a_1 to a_10, increases by 2 : a_10 to a_100 increases by 3 : a_100 to a_1000 incrases by 2 : a_1000 to a_10000 increases by 3 : ...
| Q***5 发帖数: 994 | 8 How about this:
we arrange the sequence in such a way:
3k of 2-increments followed by 2k+1 3-incrments
for k = 1,2,....
【在 y****t 的大作中提到】 : 存在公差6的无限等差数列。 : : simple
| Q***5 发帖数: 994 | 9 You can construct such a sequence so that the density is close to 1, but the
increments are either 1 or 2.
For example:
Start from x1= 1
The first 101 increments are all 1: 2,..., 102
Followed by 1 2-increments: 104 (all even)
Then, 1001 1-increments, 105,... 1105
followed by 2 2-increments: 1107, 1109 (all odd)
Then 10001 1-increments
followed by 3 2-increments: (all even)
Then 100001 1-increments
followed by 4 2-increments (all odd)
....
The idea is to make the 2-increment blocks to be
【在 Q***5 的大作中提到】 : How about this: : we arrange the sequence in such a way: : 3k of 2-increments followed by 2k+1 3-incrments : for k = 1,2,....
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