s**c
发帖数: 1247 | 1 A,B n*n，symmetric, AB=BA,A的eigenvalue的multiplicity都是1
求证：A,B能simultaneously diagonalized
i.e. 存在orthogonal的矩阵P，A=PDP',B=PEP',D,E是diagonal的矩阵
3x |
c*******h
发帖数: 1096 | 2 A对称，所以存在正交阵P将A对角化，也就是A=PDP'，D是对角阵。
假设B=PFP'。由AB=BA得DF=FD。
矩阵DF的第ij个元素是d_ii*f_ij，矩阵FD的第ij个元素是d_jj*f_ij。
所以f_ij=0如果i不等于j，即F是对角阵。
其实这个命题是充要的，而且A、B不必对称（当然要将P转置变成P逆）。
前两天刚好有个朋友跟我提了这个定理，
我说这下好了，很多人问什么情况下AB=BA，充要条件就在这。
【在 s**c 的大作中提到】
: A,B n*n，symmetric, AB=BA,A的eigenvalue的multiplicity都是1
: 求证：A,B能simultaneously diagonalized
: i.e. 存在orthogonal的矩阵P，A=PDP',B=PEP',D,E是diagonal的矩阵
: 3x
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s**c
发帖数: 1247 | 3 非常感谢
是充要条件，不过反方向的证明很简单
【在 c*******h 的大作中提到】
: A对称，所以存在正交阵P将A对角化，也就是A=PDP'，D是对角阵。
: 假设B=PFP'。由AB=BA得DF=FD。
: 矩阵DF的第ij个元素是d_ii*f_ij，矩阵FD的第ij个元素是d_jj*f_ij。
: 所以f_ij=0如果i不等于j，即F是对角阵。
: 其实这个命题是充要的，而且A、B不必对称（当然要将P转置变成P逆）。
: 前两天刚好有个朋友跟我提了这个定理，
: 我说这下好了，很多人问什么情况下AB=BA，充要条件就在这。
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i********e
发帖数: 31 | 4 "A and B can be simultaneously diagonalized"
is sufficient for "A and B commute" but
not necessary.
Note that the original problem in this post
requires that A has "distinct" eigenvalues!
One of the necessary conditions is
that A and B have at least one common eigenvector.
【在 c*******h 的大作中提到】
: A对称，所以存在正交阵P将A对角化，也就是A=PDP'，D是对角阵。
: 假设B=PFP'。由AB=BA得DF=FD。
: 矩阵DF的第ij个元素是d_ii*f_ij，矩阵FD的第ij个元素是d_jj*f_ij。
: 所以f_ij=0如果i不等于j，即F是对角阵。
: 其实这个命题是充要的，而且A、B不必对称（当然要将P转置变成P逆）。
: 前两天刚好有个朋友跟我提了这个定理，
: 我说这下好了，很多人问什么情况下AB=BA，充要条件就在这。
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c*******h
发帖数: 1096 | 5 特征多项式有重根也无所谓，还是可以证的
定理的准确表述是：如果A和B都能够对角化，那么AB=BA当且仅当A和B可以
simultaneously diagonalize.
【在 i********e 的大作中提到】
: "A and B can be simultaneously diagonalized"
: is sufficient for "A and B commute" but
: not necessary.
: Note that the original problem in this post
: requires that A has "distinct" eigenvalues!
: One of the necessary conditions is
: that A and B have at least one common eigenvector.
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i********e
发帖数: 31 | 6
That's right. "If both A and B are diagonalizable". It is quite a
strong condition.
【在 c*******h 的大作中提到】
: 特征多项式有重根也无所谓，还是可以证的
: 定理的准确表述是：如果A和B都能够对角化，那么AB=BA当且仅当A和B可以
: simultaneously diagonalize.
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c*******h
发帖数: 1096 | 7 compared with simultaneously diagonalization, this condition is nothing..
【在 i********e 的大作中提到】
:
: That's right. "If both A and B are diagonalizable". It is quite a
: strong condition.
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i********e
发帖数: 31 | 8
Interesting. Without this "nothing" condition,
how can you reach that "simultaneously diagonalization"?
【在 c*******h 的大作中提到】
: compared with simultaneously diagonalization, this condition is nothing..
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s**c
发帖数: 1247 | 9 特征值没有重根是为了证明简单点
有重根也是充要条件
【在 i********e 的大作中提到】
:
: Interesting. Without this "nothing" condition,
: how can you reach that "simultaneously diagonalization"?
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i********e
发帖数: 31 | 10
Only when both are diagonalizable.
For example, let A be identity matrix and B be any defective matrix.
【在 s**c 的大作中提到】
: 特征值没有重根是为了证明简单点
: 有重根也是充要条件
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