l*******s
发帖数: 7316 | |
f*****n
发帖数: 12752 | |
l*******s
发帖数: 7316 | 3 不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
三个函数我都给出来了。
哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
【在 f*****n 的大作中提到】
: 题目看不懂
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P****i
发帖数: 1362 | 4 你生猜出来的？
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
:三个函数我都给出来了。
:哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。 |
l*******s
发帖数: 7316 | 5 我推导加猜出来的
【在 P****i 的大作中提到】
: 你生猜出来的？
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :不至于吧，就是让找到所有满足条件的实函数。
: :三个函数我都给出来了。
: :哪位高手来给个严格的证明：没有其他函数满足要求。
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l*******s
发帖数: 7316 | 6 educated guess
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我推导加猜出来的
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l*******s
发帖数: 7316 | 7 我来抛砖引玉，给出我的推导和猜测
【在 l*******s 的大作中提到】
: educated guess
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l*******s
发帖数: 7316 | 8 f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
let y=0
f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
From (2), let x=0
f(f(0)^2)=0 (3)
f(0) can be either zero or non-zero
Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
Claim: if f(a)=0, then a=1,
Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
from (1), if x+y=xy, then f(f(x)f(y))=0
So f(f(x)f(x/(x-1))=0 for all x ≠ 1
let x=a, f(f(a)f(a/(a-1))=f(0)=0,
contradition to f(0) ≠ 0
So f(0)^2 must be 1, and f(0) is either 1 or -1.
Case B1: f(0)=1 (4)
from (2), f(f(x))=1-f(x) (5)
From (1), let y=1,
1+f(x+1)=f(x)
f(x+1)=f(x)-1
f(x+N)=f(x)-N for any integer N (6)
continue to:
f(x)=f(1-f(x)) (7)
from (7), guess
f(x)=1-x (8)
Case B2: f(0)=-1
f(x)=x-1
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我来抛砖引玉，给出我的推导和猜测
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l*******s
发帖数: 7316 | 9 从（7）到（8）， 还需要证明：
For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
谁有简单直接的的证明？
以前的某个版主可能会。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
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d********f
发帖数: 43471 | 10 没戏，这种排他性证明一般不是靠巧劲，你需要别的工具
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
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l****y
发帖数: 4773 | |
d********f
发帖数: 43471 | 12 你还真信这是奥数真题？
【在 l****y 的大作中提到】
: imo official 应该有答案
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l****y
发帖数: 4773 | 13 看了一眼，没说f连续，应该是中等数学，函数方程题
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
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l*******s
发帖数: 7316 | 14 2017年奥数第2题
【在 d********f 的大作中提到】
: 你还真信这是奥数真题？
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l*******s
发帖数: 7316 | 15 给个证明在这里，不很简单，欢迎讨论
http://www.mitbbs.com/article0/Joke/33892009_0.html
【在 l*******s 的大作中提到】
: 从（7）到（8）， 还需要证明：
: For any x and y, if f(x)=f(y), then x=y.
: 谁有简单直接的的证明？
: 以前的某个版主可能会。
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r****z
发帖数: 12020 | 16 想起马蹄丝了，多聪明大方的女孩。
你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
该是 f(0) 而不是 0 吧？
回头有空再接着读。
【在 l*******s 的大作中提到】
: f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: let y=0
: f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: From (2), let x=0
: f(f(0)^2)=0 (3)
: f(0) can be either zero or non-zero
: Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
: Case B: f(0) ≠ 0, then f(0)^2 must be 1.
: Claim: if f(a)=0, then a=1,
: Assume: there is a ≠ 1 such f(a)=0
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l*******s
发帖数: 7316 | 17 一回事，因为Case A，f（0）=0
【在 r****z 的大作中提到】
: 想起马蹄丝了，多聪明大方的女孩。
: 你这个我只能翻写到纸上才能读，只来得及写出第一段看了一下，最后一行 => 之前应
: 该是 f(0) 而不是 0 吧？
: 回头有空再接着读。
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x******h
发帖数: 838 | 18 博导啥都能怀疑哈。狗狗一下应该有答案的……
【在 l*******s 的大作中提到】
: 2017年奥数第2题
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P****i
发帖数: 1362 | 19 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
后面都多余的
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
:let y=0
:f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
:From (2), let x=0
:f(f(0)^2)=0 (3)
:f(0) can be either zero or non-zero
:Case A: f(0)=0, from (2), f(0*f(x))+f(x)=0 => f(x)=0
:Case B: f(0) NotEqual 0, then f(0)^2 must be 1.
:Claim: if f(a)=0, then a=1,
:Assume: there is a NotEqual 1 such f(a)=0
:.......... |
l*******s
发帖数: 7316 | 20 你在跟我一开始做的一样。
这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
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l*******s
发帖数: 7316 | 21 公式（5）已经得到跟你一样的结论了。
可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
就不完整。
【在 P****i 的大作中提到】
: 第一步对的，第二步换元u=f(0)*f(x)就行了
: f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 后面都多余的
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) (1)
: :let y=0
: :f(f(0)f(x))+f(x)=f(0) (2)
: :From (2), let x=0
: :f(f(0)^2)=0 (3)
: :f(0) can be either zero or non-zero
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l*******s
发帖数: 7316 | 22 所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 公式（5）已经得到跟你一样的结论了。
: 可是不证明 对任意 u， 都存在x, 使得 u=f(x).
: 就不完整。
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l*******s
发帖数: 7316 | 23 “不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。”
这句可能不对，但我还没发现更好的方法，
不用证明injectivity，就能得到完整的解的。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 你在跟我一开始做的一样。
: 这只能说明如果 u=f(0)*f(x)，then f(u) = a - u/a，( a = f(0) )
: 怎么能证明对 任何一个u， 都存在x, 使得 u=f(0)*f(x).
: 不证明 if f(x)=f(y), then x=y, 是得不到完整的解的。
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l*******s
发帖数: 7316 | |
P****i
发帖数: 1362 | 25 推导过程中可能缩小了定义域，解是必要非充分的，所以最多只有这三个
[在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
:所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。 |
z*********e
发帖数: 10149 | 26 想了一个解抛砖引玉，还有点问题，
if f is differentiable
f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
then
f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
all y
from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
- f(y)/C = - Cy + D
f(y) = C^2 y - D, C = -1/f(0)
take this back to f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy), which holds for all x, y,
gets
C = +/- 1, D = 1
f(y) = y - 1 |
l*******s
发帖数: 7316 | 27 只有这3个函数的结论是对的。
但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
)。
而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
【在 P****i 的大作中提到】
: 推导过程中可能缩小了定义域，解是必要非充分的，所以最多只有这三个
: [在 llaalways (熊大) 的大作中提到：]
: :所以这题得到3个函数并不难，难的是证明只有这3个函数。
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l*******s
发帖数: 7316 | 28 首先不能假设发f(x)连续可导。
【在 z*********e 的大作中提到】
: 想了一个解抛砖引玉，还有点问题，
: if f is differentiable
: f(f(0)f(y)) + f(y) = f(0) for all y
: then
: f(f(0)f(x)) - f(f(0)f(y)) = -(f(x)-f(y)) for all x, y
: d f(f(0).f(y)) / dy * f(0) * f'(y) = - f'(y)
: so f(0) = 0 or f'(y) = 0 for all y, or d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1 for
: all y
: from f(0) = 0 or f'(y) = 0 => f(x) = 0 for all x
: from d f(f(0).f(y)) / dy *f(0) = -1, let C = -1/f(0)
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l*******s
发帖数: 7316 | 29 一个简单的例子
当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
(0
【在 l*******s 的大作中提到】
: 只有这3个函数的结论是对的。
: 但你的方法很明显只是： 如果x是在函数值的域里，1-x和 x-1 是代求的函数。
: 如果存在函数的值的域，不覆盖整个实数域，那这个函数可能不满足 f(x)=f(0)-x/f(0
: )。
: 而你有没有证明x不可能出现在函数值的域外，所以不完整。
: 我的解，花了很大功夫，就是要证明x不可能出现在函数值的域外。
: 证明的方法就是先证明没有任何两个不同的自变量可以有相同函数值。
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l*******s
发帖数: 7316 | 30 你可以说floor(x)-1不满足原等式。
但你不能排除所有满足你的导出等式的函数除x-1外都不满足原等式
【在 l*******s 的大作中提到】
: 一个简单的例子
: 当f(0)=-1 时， f(x)=floor(x)-1， 也满足 f(f(x))=f(x)-1。
: 这是解的域是所有整数，而自变量的域是所有实数。
:
: (0
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l*******s
发帖数: 7316 | |
