Joke版 - 问几个线性空间特征值的问题 (转载)(全靠学术版了) |
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c*******t
发帖数: 953 | 1 发数学版没人回，就我一个人自说自唱。发这里了。
【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: coldlight (荧惑), 信区: Mathematics
标 题: 问几个线性空间特征值的问题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 17 00:57:54 2012, 美东)
（以欧几里德空间为例，线性算子就是从左方向“向量”乘过来的矩阵）
1. 每个矩阵都有特征值吗？
2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值？
3. 三维空间的旋转算子是不是只有一个特征值/特征向量（旋转轴）？
4. 三维空间的镜像算子是不是（一般）有两个特征值？一个特征值对应的特征向量是法线向量，另外一个对应反射平面（平面里面有两个相互垂直的特征向量）？如果这两个特征值相等，会不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来好像如此，但是直观看好像又不是？
5. 三维空间的坐标方向的拉伸/压缩算子，是不是（一般）有三个特征值，各自对应一个坐标轴？如果这三个特征值相等，那么空间中任何一个向量都是特征向量？
6. 一个线性算子是不是一定可以分解成上面这些算子的组合？
特征值问题我没有学精通，主要是原来头脑里面没有图像，只有书上学来的记住的东西。现在想搞搞明白，建立些直观感觉。
(updates:) 关于第4问，我又想了想。三维空间中有镜像算子（平面镜），也有直线镜像算子。对这个直线镜像算子来说，似乎也是有两个特征值，一个对应于这个直线，另一个对应于 法平面，这个法平面里面可以有两个相互垂直的特征向量。如果这两个特征值相等，会>不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来好像如此，但是直观看>好像又不是？
我又想了想，如果线性算子是连续的（这个连续是我自己定义的，就是说相邻的向量被 算>子作用后的像也相邻），这个特征向量的事情，是不是相当于泛函分析里面的地图不动点定理？把球面看成是地图，算子作用后的像为另外一个地图，这两个地图重合在一起，在哪些条件下有不动点？有几个不动点？
我去查了不动点定理和Brouwer定理，我现在觉得根据这定理，和我对线性算子连续性的假>设，我的第一问对奇维数空间是正确的（奇维数空间内偶维数的球面）：“奇数维非singulard的矩阵都有至少一个特征值”。 对singular的我还没想好，可能可以不存在非0的特征值>。
Brouwer定理见这个链接：
http://www.scipark.net/2011/10/不动点原理—几个直观的例子 | l*****o
发帖数: 19235 | 2 不带这么挖坑的。
数学，要严谨，所以，问对问题非常重要，你这不设前提的乱问，找一本高等数学的教程读读先才是正理。
回答你第一个问题："任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值" | c*******t
发帖数: 953 | 3
教程读读先才是正理。
我学过了简明的线性代数，没有学深。时间长了也忘记了不少。你说的是奇数次（不是
虚数次？）矩阵存在至少一个特征值？我想就是我后面update的Brouwer定理的结论。
【在 l*****o 的大作中提到】
: 不带这么挖坑的。
: 数学，要严谨，所以，问对问题非常重要，你这不设前提的乱问，找一本高等数学的教程读读先才是正理。
: 回答你第一个问题："任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值"
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