c*******t
发帖数: 953 | 1 发数学版没人回，就我一个人自说自唱。发这里了。
【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: coldlight (荧惑), 信区: Mathematics
标 题: 问几个线性空间特征值的问题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 17 00:57:54 2012, 美东)
（以欧几里德空间为例，线性算子就是从左方向“向量”乘过来的矩阵）
1. 每个矩阵都有特征值吗？
2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值？
3. 三维空间的旋转算子是不是只有一个特征值/特征向量（旋转轴）？
4. 三维空间的镜像算子是不是（一般）有两个特征值？一个特征值对应的特征向量是法线向量，另外一个对应反射平面（平面里面有两个相互垂直的特征向量）？如果这两个特征值相等，会不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来好像如此，但是直观看好像又不是？
5. 三维空间的坐标方向的拉伸/压缩算子，是不是（一般）有三个特征值，各自对应一个坐标轴？如果这三个特征值相等，那么空间中任何一个向量都是特征向量？
6. 一个线性算子是不是一定可以分解成上面这些算子的组合？
特征值问... 阅读全帖 |
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c*******t
发帖数: 953 | 2 （以欧几里德空间为例，线性算子就是从左方向“向量”乘过来的矩阵）
1. 每个矩阵都有特征值吗？
2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值？
3. 三维空间的旋转算子是不是只有一个特征值/特征向量（旋转轴）？
4. 三维空间的镜像算子是不是（一般）有两个特征值？一个特征值对应的特征向量是
法线向量，另外一个对应反射平面（平面里面有两个相互垂直的特征向量）？如果这两
个特征值相等，会不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来
好像如此，但是直观看好像又不是？
5. 三维空间的坐标方向的拉伸/压缩算子，是不是（一般）有三个特征值，各自对应一
个坐标轴？如果这三个特征值相等，那么空间中任何一个向量都是特征向量？
6. 一个线性算子是不是一定可以分解成上面这些算子的组合？
特征值问题我没有学精通，主要是原来头脑里面没有图像，只有书上学来的记住的东西
。现在想搞搞明白，建立些直观感觉。 |
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h*******e
发帖数: 351 | 3 请问已知两个矩阵的最大特征值或者最大特征值的上限, 那么如何确定这两个矩阵的乘积
的最大特征值或者最大特征值的上限呢? 是否直接相乘就可以了? |
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d****i
发帖数: 4809 | 4 【 以下文字转载自 Computation 讨论区 】
发信人: domini (none), 信区: Computation
标 题: Matlab中计算特征值如何保持原始特征值顺序不变？
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 15 11:41:16 2008)
假设一个对称正定矩阵
A=[2.3 0.5 1.6;
0.5 6.8 -0.56;
1.6 -0.56 1.55]
具有正的特征值，我用[Q,D]=eig(A)计算后得到：
D=0.196577515624112 0 0
0 3.56779043908682
0
0 0 6.
88563204528907
Q=-0.618399824240682 -0.781744640246 |
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l*******g
发帖数: 17 | 5 假设A是一个LxL正定实对称矩阵，并且已知A的特征值(a1,a2,...,aL)，那么A的对角线
元素(d1,d2,...,dL)应该满足什么条件？
当然对角线元素必须为正，他们的和必须等于特征值的和，除此之外还有别的条件么？
反过来说，是不是任取一组正的(d1,d2,..,dL)，只要他们的和等于特征值的和，都存在
一个正定实对称矩阵A，使得diag(A)=(d1,...,dL),并且A的特征值是(a1,a2,...,aL)？
Thx! |
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p**o
发帖数: 3409 | 6 A是一个real symmetric matrix, 非负对角阵D是A的degree matrix
(i.e. D = diag[d_i], where d_i=\sum_j |a_{ij}| )
记 A' = D^{-1/2} A D^{-1/2}，显然也是一个对称阵
请问如何证明A'的最大特征值是1 ？
PS1. 我已经构造出一个x_0使得 A'x_0 = x_0，也就是说1是A'的一个特征值，
但不知道怎么证明它是最大特征值……
PS2. 根据Rayleigh-Ritz定理，最大特征值等于 max_{x^T x=1} x^T A' x
也就是说我只需要证x^T A'x <= 1 for all unit vector x
有高人能提供一些思路么？
先谢过～～ |
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w******n
发帖数: 430 | 7 这个问题实在太傻了,但是我确实证不出来.
x,y都是n*1阶向量,问题是x*y'的特征值是多少.
我想rank(x*y')=1,应该只有一个非零特征值那就是x'*y,即两个向量的内积.
其他特征值都是0.但是我不知道我想的对不对更不知道怎么证,我同学也没证出来.
真是还不如本科时候了,请各位高人提点一下,谢谢了! |
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d**e
发帖数: 2420 | 8 多半是敲错了，A=2B。
然后A的特征值是B的2倍，不是反例。
我手算了一下，对于2阶方阵，原帖中结论是对的。
对于一般的情况，我们知道A的主特征值大于或等于B的。
这里我假设了A，B都是正的矩阵，想知道，是否有A的主特征值严格大于B的。
谁知道，务请回复一下，十分感谢。 |
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c*******h
发帖数: 1096 | 9 特征值是特征多项式的根，多项式的跟对多项式的系数来说是连续的，所以特征值
是连续的。
求特征向量本质上就是对矩阵 A-aI 做两次高斯消元，剩下对角线和最右边一列。
其过程基本是就是加减乘除，所以能够看出来应该是连续的。当然特征向量有符号和
子空间的问题，尤其是特征值如果是重根的时候，所以得对“特征向量”的概念做点
约束。 |
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z*******9
发帖数: 167 | 10 你的结论应该是错的。
举个反例
A =
1.0753 2.6961 -2.6924
2.6961 0.6375 -0.9651
-2.6924 -0.9651 7.1568
>> d = sum(A);Dh = diag(1./sqrt(d));eig(Dh*A*Dh)
ans =
3.5358
-1.2248
1.0000
不过如果A是非负矩阵，那么结论是对的。
你可以先证明：
L=D-A是半正定，且最小的特征值是0。(L is called Laplacian matrix)
半正定是因为 x'Lx = 0.5*\sum_{ij} A_{ij} (x_i-x_j)^2 >=0,
0是特征值是因为 Le=0, where e is column vector with all ones.
易知
D^{-1/2}LD^{-1/2}和L拥有相同的惯性系数，即都是半正定且最小特征值为0
而
D^{-1/2}LD^{-1/2} = I-D^{-1/2} A D^{-1/2},
所以D^{-1/2} A D^{-1/2} |
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d*****u
发帖数: 17243 | 11 对称阵的trace等于特征值之和
对角线都是１的话，说明特征值之和都是n
你的题具体是什么样的呢？
我猜是让你推测特征值之和 |
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h*******r
发帖数: 909 | 12 1. 神是否可知。
首先，让我们澄清一个事实。那就是通过对各大宗教的深入比较，我们能
够发现一个关于"实在"的划界。在界的一边，是"实在、终极或神性本
身"；另一边则是："人所概念化或能经验到的实在"。老子的铭言"道
可道，非常道"明确的指出了那个终极实在的不可知性。基督教神学家也
指出过，人们不能知道"本质的上帝"，而只能知道"启示的上帝"。印
度佛教则通过区分"无属性的梵"和"有属性的梵"（"自在天"）来严
格的划分真正的"无"和那个宇宙的创造者。这里，我们明确的闻到了康
德"物自体"和"现象"的划界的味道。
因此，此题答案是：有可知的"神"，有不可知的"无"。
特征值在上面论述中给出一个划界：
在界的一边，是"实在、终极或神性本身"；另一边则是："人所概念化或能经验到的实在"
。
我想这个划界本身应该能够回答smile的疑惑了。请问：特征值是如何知道那个人所不能
经验到的实在的呢？
比如，无数的基督徒用这样的方法来解释神：就像一阵狂风不可能把一堆零件拼装成飞机
一样，比飞机复杂无数倍的自然界，不可能是自然形成的，而必然是由某个神秘存在造成
的。我不准备否认这种观点，因为我同意这种 |
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d****i
发帖数: 4809 | 13 假设一个对称正定矩阵
A=[2.3 0.5 1.6;
0.5 6.8 -0.56;
1.6 -0.56 1.55]
具有正的特征值，我用[Q,D]=eig(A)计算后得到：
D=0.196577515624112 0 0
0 3.56779043908682
0
0 0 6.
88563204528907
Q=-0.618399824240682 -0.78174464024621 -0.0803553036545658
0.112779123314768 0.0129112653881752 -0.
993536193890504
0.777729083115352 |
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m*********d
发帖数: 58 | 15 A矩阵是n乘n的对称实数矩阵，其中元素已知，则可以求出它的特征值和特征向量。
现有B也是n乘n已知的 正实数对角矩阵，那么B*A的特征值和特征向量 应该和 A与B的特
征值和特征向量 之间 有什么关系。
郁闷啊，这个问题弄了好几天了也没弄明白
xdjms 谁能帮忙看一眼？无限感激 |
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c*****a
发帖数: 49 | 16 请教一个随机矩阵的特征值分布问题，请大大们出手，指点一二
有一个方阵，非对角线上的元素全部是iid的circular symmetric (proper) complex
Gaussian, CN(0,1). 对角线上的元素也是iid， 但不是CN(0,1)的。
请问这种矩阵的特征值有什么分布吗？
多谢！！！ |
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D*****a
发帖数: 29 | 17 假设有这样一个动态方程：
dx1/dt=a11x1 + a12x2
dx2/dt=a21x1 + a22x2
那么我用MATLAB很快就能算出矩阵[a11 a12;a21 a22]的特征值lambda1, lambda2来
我的问题是怎么判别哪个特征值是与x1有关的，哪个是与x2关联的？
请指教，谢谢 |
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m*********d
发帖数: 58 | 18 A矩阵是n乘n的对称实数矩阵，其中元素已知，则可以求出它的特征值和特征向量。
现有B也是n乘n已知的 正实数对角矩阵，那么B*A的特征值和特征向量 应该和 A与B的特
征值和特征向量 之间 有什么关系。
郁闷啊，这个问题弄了好几天了也没弄明白
xdjms 谁能帮忙看一眼？无限感激 |
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t******y
发帖数: 147 | 19 已知两个对称矩阵A,B，且 A－B 为半正定
A的特征值为 a_1......a_n，降序排列
B的特征值为 b_1......b_n，降序排列
那么下面的不等式是否成立
a_i>=b_i |
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l*******g
发帖数: 17 | 20 假设A是一已知实正定对称矩阵，特征值是 (a1,a2,...,an)
令B = DAD，其中D是任意实正定对角阵，B的特征值是(b1,b2,...,bn)
问 f(D)=max(bi)/min(bi) 的最小值是多少，或者有个bound也可以
多谢多谢！ |
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O********9
发帖数: 59 | 21 请教板上各位高人一个问题：
假设有两个矩阵A和B，A是M×N的，B是N×M的。AB(A乘以B)和BA的非零特征值/奇异值
是不是有一一对应的关系？我自己在Matlab里随意生成矩阵A,B,结论都是肯定的。
如果这个命题是正确的，那么由他可以导出：
1.AA^T （A乘以A的转置） 和 A^TA 的非零特征值一一对应
2.tr（AB）=tr（BA）（tr就是矩阵对角线元素的加和）
3.如果A，B都是方阵，det（AB）=det（BA）（det就是矩阵的行列式）
这三个推论都可以证明是正确的。
我想问的是，有谁知道原命题是怎么证明的？或者那本书里有证明？先谢谢了 |
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O********9
发帖数: 59 | 22 在"Matrix Algebra From a Statistician's Perspective David A. Harville
Springer"第546页有这个定理的证明。他是通过AB和BA的特征多项式证明的。设A是M×
N的矩阵，设B是N×M的矩阵。设AB的特征多项式是p(s)，BA的特征多项式是q(s)
p(s)=|sI-AB|=s^M |I-s^{-1}AB|
q(s)=|sI-BA|=s^N |I-s^{-1}BA|=s^N |I-s^{-1}AB|
不妨设M>N。有p(s)=s^{M-N}q(s)。所以AB和BA的非零特征值一一对应。AB仅比BA多M-N
个零特征值。 |
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d**e
发帖数: 2420 | 23 M=[0,B;C,0]
其中B，C是nxn square matrices.
0--nxn zero matrix
那么M的特征值有什么与B，C有关的表达式吗？
头痛的一个问题，非常感谢。
另外，关于特征值理论有什么好书推荐一下。 |
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s*****s
发帖数: 1559 | 24 考虑 M^2=[BC,0;0,CB] 的特征指就是 BC 或者 CB 的特征值。
M 的特征值就是它的方根。 |
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p****t
发帖数: 28 | 25 在数学中，大家一般用什么软件求解符号矩阵的特征值和特征向量？
我现在想求一个8×8的矩阵，含有3个参数，特征值和向量。 谢谢！ |
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p****t
发帖数: 28 | 26 在数学中，大家一般用什么软件求解符号矩阵的特征值和特征向量？
我现在想求一个8×8的矩阵，含有3个参数，特征值和向量。 谢谢！ |
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l***z
发帖数: 58 | 27 这几天遇到一个很头大没思路的数学问题
有两个矩阵对称的方阵 A=[aij] B=[bij],都是已知矩阵
C=[cij]是这两个矩阵的entrywise product cij=aij*bij
如何从A和B的特征值推断出C的特征值
请问有没有什么牛人高人能帮我想想，我数学基础差，想得快崩溃了。。。。。。 |
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c*******t
发帖数: 953 | 28 关于第4问，我又想了想。三维空间中有镜像算子（平面镜），也有直线镜像算子。对
这个直线镜像算子来说，似乎也是有两个特征值，一个对应于这个直线，另一个对应于
法平面，这个法平面里面可以有两个相互垂直的特征向量。如果这两个特征值相等，会
不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来好像如此，但是直
观看好像又不是？ |
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c*******t
发帖数: 953 | 29 我去查了不动点定理，我现在觉得根据不动点定理，和我对线性算子连续性的假设，我
的第一问对3维以及三维以上是成立的：“三维以及三维以上非singulard的矩阵都有至
少一个特征值”。对singular的我还没想好，可能可以不存在非0的特征值。 |
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a*****i
发帖数: 192 | 30 两个矩阵有相同的特征值，那么矩阵的和的特征值是2倍还是就是相同的？
这两个矩阵在同一向量空间。
谢谢！ |
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a*****i
发帖数: 192 | 31 两个矩阵有相同的特征值，那么矩阵的和的特征值是2倍还是就是相同的？
这两个矩阵在同一向量空间。
谢谢！ |
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i****k
发帖数: 668 | 32 楼主默念，原来特征值是两个矩阵特征值的和.... |
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f**********r
发帖数: 2137 | 33 非square matrix也可以有特征值么？
N=M就好办啊，A=PDP^(-1), P是特征向量组成的矩阵，D是特征值的对角阵 |
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b***k
发帖数: 2673 | 34 ☆─────────────────────────────────────☆
millionwood (不死鸟也快穷死了～～) 于 (Mon Apr 7 01:51:06 2008) 提到:
A矩阵是n乘n的对称实数矩阵，其中元素已知，则可以求出它的特征值和特征向量。
现有B也是n乘n已知的 正实数对角矩阵，那么B*A的特征值和特征向量 应该和 A与B的特
征值和特征向量 之间 有什么关系。
郁闷啊，这个问题弄了好几天了也没弄明白
xdjms 谁能帮忙看一眼？无限感激
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neodreamer (aladdin) 于 (Mon Apr 7 10:25:26 2008) 提到:
我觉得没什么特殊关系吧，除非两个矩阵可以同时被对角化
的特
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chtoucas (王秭和龚洙) 于 (Mon Apr 7 11:36:25 2008) 提到:
A 和 B 可以同时被对角化，
条件是一个实对称，一个正定就可 |
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l*****o
发帖数: 19235 | 35 不带这么挖坑的。
数学，要严谨，所以，问对问题非常重要，你这不设前提的乱问，找一本高等数学的教程读读先才是正理。
回答你第一个问题："任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值" |
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c*******t
发帖数: 953 | 36
教程读读先才是正理。
我学过了简明的线性代数，没有学深。时间长了也忘记了不少。你说的是奇数次（不是
虚数次？）矩阵存在至少一个特征值？我想就是我后面update的Brouwer定理的结论。 |
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H****h
发帖数: 1037 | 37 你首先要理解特征值的重数的定义。如果不计算重数，你说的命题不成立。 |
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l*8
发帖数: 37 | 39 nod， 是和特征向量关联
特征值是和模态关联的,不是和变量关联的. |
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R*********r
发帖数: 1855 | 40 Det(A^(-1)B-λI)=Det(B-λA)/Det(A)=0
Det(B-λA)=0
这种形状的矩阵行列式没有什么一般公式，更不用说求特征值了，如果矩阵元都是数值
就用数值解法好了。 |
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t******y
发帖数: 147 | 41 已知列向量 alpha，beta
和常数 a，b
矩阵 A=a*alpha*alpha'+b*beta*beta'
求矩阵 A的特征值 |
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k*******g
发帖数: 263 | 42 如何证明矩阵x的Hessein Matrix的最大特征值是一个对于x的连续函数？
多谢！ |
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c*******h
发帖数: 1096 | 43
特征值，没啥关系。奇异值，也没啥关系
对
对
错 |
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O********9
发帖数: 59 | 44 谢谢费心回答问题啊。我觉得这个思路挺好的。我知道如果A，B都是方阵，并且其中之
一是非奇异的，那么AB相似于BA，两者有相同的特征值。但我没想到对于奇异的情况，
可以加一个小的扰动使他变为非奇异的。不过你有更严格的证明吗？
BA |
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d**e
发帖数: 2420 | 46 我的问题，可以再加些限制：
考虑A为正矩阵，且strictly diagonally dominant of its row entries, 那么当
对角线上的元素增加时，主特征值是否严格增大。 |
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G********n
发帖数: 615 | 47 如果有一族光滑的对称矩阵，
它们的特征值和特征向量是连续的吗？
是可微的吗？
多谢~~ |
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g****t
发帖数: 31659 | 48 隐函数定理本来就是个判断local连续或者可微的定理.
如果要找global性质.当然不行了.
如果要看多项式防城对系数的全局性变化,我记得是很难的事情.
如果系数是单参数决定的.可以画根轨迹.
多参数的,那就没办法了.
隐函数定理只对simple eigenvalue有用
对多重特征值就不行了 |
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z*******9
发帖数: 167 | 49 当a_ij = 0的时候，a_ij x_i xj = |a_ij| |x_i| |xj|
我列出的条件是充分而不必要。
关于那个定理的描述不够严格，应该把
条件rank( sign(A)) = 1 改为：
存在B使得：
B_{ij} = A_{ij}, when A_{ij} \neq 0,
且rank(sign(B)) = 1.
所以你如果找到一个反例，A全不为零，rank(A)>1,
Ap=D^(-1/2)*A*D^(-1/2)的最大特征值为1，那我的结论和
推导是错的。在我来看，那就见鬼了。
在你的例子里，只要
B =
1 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
rank(B)=1,且A和B的非零元素都相等，所以Ap的最大特征还是为1。 |
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c*******h
发帖数: 1096 | 50 maple
做好心里准备，算出来的特征值三屏都显示不完，特征向量也是 |
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