h****8
发帖数: 49 | 1 中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，即说式中数列包含N的一切n，显
然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y > N的一切数
——重大病句！关键是最起码数学常识：代表N内数的y可>式中数列的一切n。
可见如[1]所述y= n+1>n=1，2，3，…的定义域D（D各元n都有对应数y= n+1∈N）之外
必至少还有一自然数n使其后继n+1不∈N。
代数，就是用字母代表数。“任何实数x”与“x=任何实数”都表示x可取任何（一切）
实数，任何实数都可由此x代表。
y=y（x）
数，不论y能取多少个数。例如y = x-1＜x 中的x就可取任何正数。同样，若说代数式y
>x中的x代表任何实数，那就是说此式所代表的内容之一：有实数y>任何实数——重大
病句。
当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的，从而只会鹦鹉学舌根
本不能学懂数学。
有傻瓜相机也有傻瓜数学：据语文常识，实数公（定）理“对于任何一个实数x都有对
应实数y =x+1>x”非常明确地表 |
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n********g
发帖数: 6504 | 2 不用加减乘除如何描述实数？
From: 哆嗒数学网 哆嗒数学网 Today
本文编译自 @downwardsLST 的推特账号
编译作者，Math001
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有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结
构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除
之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大
小。
自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点
，于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了，这样整数就诞生了。
但是，这样的集合有太多的缝隙，每两个连续的整数间都有缝隙。
我们需要填补这些缝隙，于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是，我
们这样要求，要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素：这个性质叫做(序)稠密性。
看吧：有理数就是稠密的。但是，有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要
求“完备性”：每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质，填补那
些洞的数叫做无理数。
但是，... 阅读全帖 |
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h****8
发帖数: 49 | 3 中学几百年重大错误：y =x+1的定义域含一切实数
——推翻数学公理
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
如[1]所述：“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句：有自然数y <任何
（所有）自然数n。同样“对于任何一个自然数n都有自然数y= n+1>n”——自然数公理
也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说
y= n+1>n =1，2，3，…，…（y∈正整数集N）
中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，即说式中数列包含N的一切n，显
然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y > N的一切数
——重大病句！关键是最起码数学常识：代表N内数的y可>式中数列的一切n。
可见如[1]所述y= n+1>n=1，2，3，…的定义域D（D各元n都有对应数y= n+1∈N）之外
必至少还有一自然数n使其后继n+1不∈N。
代数，就是用字母代表数。“任何实数x”与“x=任何实数”都表示x可取任何（一切）
实数，任何实数都可由此x代表。
y=y（x） |
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l*****8
发帖数: 16949 | 4 这是个很有趣的问题。Tarski的系统我也是第一次听说。刚才做了点research,大概原
因如下：
第一，Tarski的关于实数的公理系统是个二阶逻辑系统，歌德儿定理不适用。
第二，自然数系统虽然是实数的一个子集，但自然数本身的性质并不比实数简单，很多
地方甚至更复杂。比如很多素数的性质，在实数里根本不是问题。因为自然数有整除问
题，实数域则没有这个问题。 |
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C***C
发帖数: 216 | 5 ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys4.dxiong.com)(www.xinyusi.info)(xys2.dropin.org)
◇◇
南京航空航天大学申报一级学科博士点使用不实数据的问题
作者：赵文强
全国博士点、硕士点一级学科授予权的申报工作目前正在“低调”地开展，
各单位的申报材料正值公示期。前几年徐州医学院在这类申报中使用不实数据，
被有关学者检举揭发，在新语丝上发表了系列评论，引起了巨大的反响。因为这
一原因，这次申报工作国务院学位办相当低调：将申报名额直接分配到各省各学
校（你们自己弄去吧，出问题也不关我事）；通过设置用户名和密码使得网上公
示材料一般人看不到（最好别给我搞事）；学位办网站上不设检举联系方式（我
不想听到任何不和谐声音）。可以看出，新语丝长期坚持的反学术腐败工作对国
务院学位办在这项工作上带来了很大的影响。然而，目前的局面仍然没有得到本
质性的改观，各单位使用不实数据的现象仍然广泛存在。以下仅以南京航空航天
大学数学系的申报材料（见附件一）为例，让大家看看他们是如何使用不实数据
伪造材料的。
根据国务院“申报博士学位授权一级学科点最低要求”的规定 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 6 原题那里有错？原题说的是实数，楼主自己想了个有理数的例子。
如果你记得实数的(cut)定义的话这个定理证明及其简单。这个实数就是这个集合里所
有实数的交集。换句话说，就是比这个集合里所有数都小的有理数组成的集合。 |
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l*3
发帖数: 2279 | 7 哥德尔不完备性定理及其一众衍生的定理我不懂. 但是我大概知道说的是什么意思.
哥德尔说: 如果你承认 "自然数" 这个概念 (某种无穷可列的概念), 那么你的体系必
定不完备.
但是我又看到有人说了, "实数体系" 和 "复数体系" 的完备性, 是可以证明的.
我想问一下, 如果我有这么一个体系, 他承认 "自然数", 并且承认 "幂集" ( 于是 "
实数" 作为 "自然数" 的幂集出现), 这种体系会不会一定是有矛盾的?
我感觉我这猜想靠谱呀.
你看现在我其实在说这么一件事情:
1. 如果你只讨论形式逻辑和 "有限" 的概念, 那你的体系是相容的和完备的.
2. 如果你在你的讨论中加入 "自然数" 的概念, 那你体系必然不完备, 且不能自证其
相容性.
我现在就想说:
3. 如果你进一步承认 "幂集", (从而承认 "实数" 的概念), 那你体系必然是有矛盾的
.
---------
懂数学的给看看, 我这个 "3" 靠谱不? 谢谢...! |
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J*******4
发帖数: 110 | 8 对，我的意思就是这个。是不是定理里说的是即使作为实数集子集的有理数集，虽然没
有有理数的下确界，但是是有实数的下确界的？
如果这样理解的话，好像又跟定理中的陈述：then S has a greatest lower bound.
“矛盾”？俺就是对这个感到困惑。 :( |
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J*******4
发帖数: 110 | 9 我知道了，楼上各位的意思是不是说，虽然，根号2不是有理数，但是是实数。所以，
即使以根号2为下界的有理数集合没有下确界，但是这个有理数集合作为实数集的子集
，是有下确界的，并且这个下确界就是根号2？ |
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l*3
发帖数: 2279 | 10 我楼上说的也不严谨.
有时候你承认 "实数" 的合法性, 但是不承认实数的子集 "自然数" 的合法性的话, 那
体系也是没问题的 (貌似有人证明了).
关键的问题就是只要你承认 "自然数全体" 作为一个 "集合" 的合法性, 以及 "递归"
的概念, 那就会出现很大的问题.
也就是说如果你承认有这么一列东西 0, 1, 2, 3, ... 可以一直列下去, 并且他们可
以搁到一起组成一个集合, 那就会有很大的漏洞在里面. |
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n****y
发帖数: 777 | 11 中国古代文化，就是文科，靠感觉，不严密。
整数还好，但是有理数中国人就搞不出来了，无理数更是无从谈起。
西方很早就发现了无理数和有理数。
没有实数体系，微积分无从谈起。 |
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发帖数: 1 | 12 我记得以前有人学过。
有人定义过整数的基数（阿列夫0）和实数的基数（c）之间的关系/等式吗。
昨晚做梦梦到一个证明。不知道有没有价值。 |
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b*******8
发帖数: 37364 | 13 实数比有理数“多的多”
0到1区间上的有理数全“挪”到一块，长度还是0 |
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d**********r
发帖数: 24123 | 15 这道题怎么解？
给定任何一个正实数ε，证明除了有限个正整数以外的所有正整数v，任何有v个顶点且
有大于等于(1+ε)v条边的图包含两个不同的等长简单回路。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 16 谢谢。这篇讲的不错。
上次那个代数定义方法我忘了有没有上下确界的假设，我记得好像没有。那个是从有限
代数运算都方法定义的，好像不涉及无穷。
这么点要求就够了吗？那我需要的实数加减乘除的性质从哪里来啊？我觉得不够。
所谓在一个公理体系下不可判定，这个我理解不确。我的初等理解就是它不和公理体系
矛盾。嗯，这是必要条件。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 证明，任何一个正实数a，都存在一个正整数k>1，使得ka的小数部分小于1/k。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 18 这个问题我是在考虑复变函数的周期性时想到的。但是也没有直接的关系。
复变函数的周期性有两个问题，我列在这里，看看谁有简单的办法说明一下。
1，一个解析函数，非常数，最多只能有两个不同方向的周期。
2，一个复数到实数的连续函数，在定义域的任何方向上都不是常数，那么它也只能有
最多两个不同方向的周期。
第一个是肯定结论，第二个我不确定。
2k |
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T*******x
发帖数: 8565 | 19 嗯，你这个问题的表述是：
对于任意实数a，对于任意正整数k，都存在一个正整数n<=k，使得na距离最近的整数的
距离小于1/k。
对啊。和我的问题看起来只差一点点啊，条件上还互有强弱，改一改能证明我的问题吗？
done
ma |
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发帖数: 1 | 20 你老婆伺候党委书记的时候，能改一改姿势么？
盹盹盹
：嗯，你这个问题的表述是：
：对于任意实数a，对于任意正整数k，都存在一个正整数n<=k，使得na距离最近的
整数的距离小于1/k。
：对啊。和我的问题看起来只差一点点啊，条件上还互有强弱，改一改能证明我的问题
吗？
：☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.11 |
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Z******a
发帖数: 1178 | 21 真的，你们不懂现代数学。想懂现代数学，请从实数理论开始，也不难，就10个公理。
奠定了微积分的基础。然后你们才能体会到，数学不是计算。否则你们总是感觉数学就
是计算，就是一些技巧。搞个毛啊！
数学其实就是训练人严密的逻辑思维，一切都有假设和定义加上严密的逻辑推导。你们
倒好，数学变成了做题目做计算。 |
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p*****e
发帖数: 310 | 22 【 以下文字转载自 Computation 讨论区 】
发信人: pinacle (大石头), 信区: Computation
标 题: 计算复数和实数的cpu时间问题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Jul 31 04:31:10 2008), 转信
同样的算法，只是一个是double和double的加减乘除，另一个是complex和com
plex的加减乘除，最后看CPU时间complex那个只是多了20%的时间，请问这是为
什么？
是不是跟什么CPU寄存器级并行计算的关系？在哪里可以找到资料？ |
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g******s
发帖数: 733 | 23 在fortran语言中,单精度实数是4-byte(字节?),为什么整型也是4-byte呢?从byte位数到
数据范围有什么计算公式吗?
先谢了! |
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h****8
发帖数: 49 | 24 中学几百年重大错误：y =x+1的定义域含一切实数
——推翻数学公理
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
如[1]所述：“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句：有自然数y <任何
（所有）自然数n。同样“对于任何一个自然数n都有自然数y= n+1>n”——自然数公理
也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说
y= n+1>n =1，2，3，…，…（y∈正整数集N）
中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，即说式中数列包含N的一切n，显
然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍%B |
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A*******r
发帖数: 768 | 25 您收博士生嗎？
偶有個朋友忒想學高級的 數學
中学几百年重大错误：y =x+1的定义域含一切实数
——推翻数学公理
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
如[1]所述：“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句：有自然数y <任何
（所有）自然数n。同样“对于任何一个自然数n都有自然数y= n+1>n”——自然数公理
也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说
y= n+1>n =1，2，3，…，…（y∈正整数集N）
中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，即说式中数列包含N的一切n，显
然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍%B |
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J*******4
发帖数: 110 | 26 最近在学习数学分析的过程中遇到一个问题，求教版上的各位前辈，在此先行谢过！
有定理如下：If S is a subset of R (real number set) that is bounded below,
then S has a greatest lower bound.
我的问题是，如果有一个集合：S = {x belongs to rational number set: x > Sqrt(
2)}，显然，这个集合应该是实数集的一个子集，但是这个集合显然没有最大下界（下
确界）。请问如何理解这个“矛盾”？ |
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A*******r
发帖数: 768 | 27 参照定义，
你犯的错误是变更了你讨论的对象
你在讨论实数上的集合而不是有理上的集合 |
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J*******4
发帖数: 110 | 28 I see, 课本里有一个例题是证明集合S={x belongs to Q: x^2 < 2} does not have a
least upper bound (in Q)，所以说，还是要有一个前提，就是讨论那个集合所在的
“环境”。当它只是有理数集的子集时，就像上面这个例题一样，它是没有下确界的，
但是如果它是作为实数集的一个子集的时候，它就是有下确界的。这样的理解正确吗？ |
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a***g
发帖数: 2761 | 29 其实你那个题出错了
感觉
因为如果只看有理数就不会有无理数的定义
也就不知道根号2的存在
如果要让根号2出现就要给出无理数的定义
那么在实数上考虑又出现你上面的问题 |
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B***r
发帖数: 77 | 30 a and b are constants.
c is a positive real constant.正的实数。
[a+bx+BigO(x^2)]^c 可以写成 x的级数表达式吗？
就是说
[a+bx+BigO(x^2)]^c=f(a,b,c)+g(a,b,c)x^{h(a,b,c)}+ ...? 各级的coefficent和级
数可以explicitly 表达出来吗？
或者需要分条件讨论？取决于c的值？我想要知道这个级数 up to the order of x. 高于x量级的
term的coefficent不需要知道
哪位大侠知道吗？
或者哪里可以找到这个reference?或者数学软件可以知道？
谢谢！ |
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f*****l
发帖数: 80 | 31 问题求助:
有15x3实数矩阵，需找到和最大的、且行号不重复的15个数，每列限5个。
求算法。
多谢了! |
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l*3
发帖数: 2279 | 32 我是看维基百科上说 <塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的一階公理化
系统> |
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j********x
发帖数: 2330 | 33 哥德尔的意思是不存在“完备”系统可以囊括所有一切系统吧
将问题局限到一定范围之内，系统本身是可以完备的，但是无法适用于系统之外；就比
如自然数无法用来描述实数。。。 |
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t******n
发帖数: 2939 | 34 ☆─────────────────────────────────────☆
btphy (btphy) 于 (Sat May 25 03:19:10 2013, 美东) 提到:
版上弱智真多，这么简单的问题都搞不清楚。证明如下。
exp(2i pi e)=(exp(2i pi) )^e=1^e=1
==> 2i pi e=ln(1)=0
==> pi e=0
证毕。
★ 发自iPhone App: ChineseWeb 7.7
☆─────────────────────────────────────☆
feverpitch (狂热) 于 (Sat May 25 05:42:46 2013, 美东) 提到:
这个问题很难啊
☆─────────────────────────────────────☆
heathen (The real folk blues) 于 (Sat May 25 05:57:11 2013, 美东) 提到:
不难。刚才搞错了，LZ的公式“正确”。不过还可以更简单。
exp(2*i*pi)=1 ==> 2*i*pi=ln(1... 阅读全帖 |
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C**o
发帖数: 10373 | 35 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: OverCloud (天马行空), 信区: Military
标 题: Re: 一个直线上是不是除了有理数无理数就没别的了？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Dec 6 21:53:34 2012, 美东)
实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝... 阅读全帖 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 36 实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了．
设数轴是从点A处被砍断的．这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就
在右半截上．这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没
有．
从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，
总... 阅读全帖 |
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H******i
发帖数: 4704 | 37 MIT牛人解说数学体系（推荐~）来源： 彭成的日志
数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。
集合论：现代数学的共同基础现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基
础——集合论——因为 它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最
基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，
是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些
别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于 这些都不会陌生。
不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom
of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出
一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常 的公理却能
演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个
部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。正
因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对... 阅读全帖 |
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q*****g
发帖数: 1568 | 38
嘿嘿, 主要是我当时没时间说清楚这个例子到底表明什么, 所以你给我绕
进去了. VV就看出来了我到底想说什么, 呵呵.
我在脑子里的模型是实数.
存在先验的实数吗?
古典主义者们认为, 是的. 因为实数根本上是直线上的点(一一对应, 在数学
上是不加区分的), 而直线是个先验的"存在".
一直到Dedekin等近代数学家建立起近代实数公理体系之前, 整个数学就是
这样建立在先验存在的直线/实数体系上的.
positivism者们则认为实数的存在性本身是个形而上学的命题. 我们可以谈
实数的性质/规律(实数的公理体系+逻辑公理体系下的"真命题集合"), 但是
应该回避存在性本身. 与之相对应的, 就是近代实数公理体系, 实数被定义
为有理数在Cauchy收敛意义下的等价类, 而有理数则被定义为整数在除法意义
下的等价类, 整数又是建立在自然数的基础上的, 自然数本身呢, 来自于
集合在其Cardinal number意义下的等价类, 而我们最终只需要一个集合----
空集, 和康托的一些集合论公理就可以演绎出所有的实数理论----实数的性质.
这就是我要的类比. 到底存在一个绝对的真理 |
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s*******e
发帖数: 1389 | 39 围棋算法多少还能理解，人工智能就难多了。转载一篇文章：
基于神经网络的人机对抗人工智能系统
作者：Harreke
摘要
人工智能是一门科学名称。自电子计算机发明后不久，人工智能学科即宣布创立，其目
的就是要模拟人类的智力活动机制来改进计算机的软件硬件构成，使他们掌握一种或多
种人的智能，以便在各种领域内有效替代人的脑力劳动，特别是解决用传统软硬件方法
难以解决的问题，如模式识别，复杂的控制行为或对海量的数据进行实时评估等。
所谓人工智能，就是由人工建立的硬件或软件系统的智能，是无生命系统的智能。智能
是人类智力活动的能力，是一个抽象的概念。一个软件或硬件系统是否有智能，只能根
据它所表现出来的行为是否和人类某些行为相类似来做判断。
人工智能在计算机上的实现，有两种不同的方式。一种是采用传统的编程技术，使系统
呈现智能的效果，而不考虑所用方法是否与人或生物机体所用的方法相同。这种方法称
为工程学方法，它的编程方式虽然简单，智能效果显著，可是算法和程序一旦固定下来
，智能就很难再进一步提高。另一种是模拟法，它不仅要看智能效果，还要求实现方法
和人类或生物机体所用的方法相同或类似。人工神经网... 阅读全帖 |
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c***s
发帖数: 70028 | 40 最近看到一个资料，推荐给大家。不多解释和评论，不是说这个好，也不是说这个对，只是希望大家看看。
如今号称史上最严的调控政策和那个时候相比，还真不算什么?那个时候的调控政策也是包含了货币政策、房产税和交易税、行政干预等方面，特别是限价政策那个时候也有，直接规定区域的房价和租赁价格。
1930年国民政府颁布《土地法》，规定了严厉的城市土地增值税梯级征收税率：
1、土地增值之实数为其原地价数额百分之五十或百分之五十一以内者，征收其数额百分之二十;
2、土地增值之实数为其原地价数额百分之五十以上者，就其未超过百分之五十部分。依前款规定征收百分之二十，就其超过百分之五十一部分，征收其数额百分之四十;
3、土地增值之实数为其原地价数额百分之一百者，除照前款规定征收外，就其超过百分之百部分征收百分之六十;
4、土地增值之实数为其原地价数额百分之二百者，除照前款规定征收外，就其超过百分之二百部分征收百分之八十;
5、土地增值之实数为其原地价数额百分之三百者，除照前款规定征收外，就其超过百分之三百部分完全征收。
1946年的《土地法》条文，进行了必要的调整，略有放松。
1、土地增值之实数为其原地价数额百... 阅读全帖 |
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发帖数: 1 | 41 在定义实数之前，首先需要定义整数，然后是自然数，然后是实数。
--------------------------------------------------
小错：先定义自然数
不能先定义实数，再定义自然数，再定义整数。
我这个“证明”压根没有实数（包括超越数的集合）在里面。所以我说0.999... =1和
极限（及无穷）没有关系。
---------------------------------------------------
这就是问题，你可以声称没有实数，但是你仍然需要定义10进制表达法（也就是小数表
达）
注意，按照自然数整数有理数的顺序定义数（皮亚诺公理定义自然数，等价类构造整数
，等价类构造分数），有理数只有分数表达，没有小数表达
所以这时你必须定义小数表达是什么
你把你10进制表达的定义写出来
我看你用不用极限
: 我明白你说的。但你这个提法是本末倒置。
: 在定义实数之前，首先需要定义整数，然后是自然数，然后是实数。
: 不能先定义实数，再定义自然数，再定义整数。
: 我这个“证明”压根没有实数（包括超越数的集合）在里面。所... 阅读全帖 |
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t**********k
发帖数: 511 | 42
读维特根斯坦（数学和逻辑）
这一篇会有一些难度，我认为自己的这一个系列是写给那些想了解语言哲学的人看的，
尽量浅出。已经知道的人用不着看，我以为自己缺乏深入的本钱。
西方哲学和神学从来都和数学有密切的联系，以后会进一步谈到，在这一点上和中国哲
学走的路似乎有所不同。这个里面有一个很重要的关联，数学是一个很严密的东西，结
论会有普遍性。比如说，芙蓉姐姐美不美，难得定论；而1+1=2，没有人去怀疑。所以
说，我们要想自己的语言严密而可靠，就得往数学那一边靠。
当人们认识到逻辑比数学是一个更根本的东西时，自然就想语言也得要用逻辑来彻底的
整一下，看看哪些东西是合乎逻辑的，我认为这是语言哲学的最重要的根源。所以说，
想理解语言哲学不懂一些逻辑就是笑话了。
其实撇开这一点，了解弗雷格是怎么样从逻辑构造出数还是很有些意思的，知道那些最
重要的思想是怎么一回事，考察人的智力活动能够到达一个什么样的高度，怎么都会是
很吸引人的。而且逻辑是不要什么预备知识的，很多中国人在美国迅速转行做了码工就
是证明，相对... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 43 突然发现一个很神奇的事情:
1^e是不是等于1?
在复平面上看来, f(z)=1^z是一个多值函数, 1^e的值是一个数集.
但倘若我们就死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 那么会发生什么呢?
根据我的坑 http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html,
若我们真的这么死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 在更广泛的体系 (即复数域) 下,
我们会导出 e只能是整数.
神奇的地方在于: 我们先不要去过多关注e本身是个什么东西 (就是说不要去想e=2.
718281828...这类事情), 把e看做一个普通的符号, 为了体现我的观点, 不妨就先把e
换成a好了, a就是一个普通的符号a, 我们不关心a的性质,
那么我们得到了这么一句话:
(在我们承认复数域存在前提下) 对于符号a来说, 如果强行要求 1^a=1, 那么a只能是
整数!
a甚至不能是任意一个实数.
这个非常有意思, 我尚且不知道这句话说明了什么... 这句话似乎暗示着 "如果我们讨
论的空间变大, 那么原本无矛盾的 "定义", 甚至有可能变错"
... 阅读全帖 |
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发帖数: 1 | 44 量子力学的不确定性、波函数坍缩，什么意识问题，光速不变问题及光速极限速度问题
，其实一点都不神秘。可以很容易用人话解释清楚。说不清楚的人，无论其头衔再高，
教授做了多少年，其实自己也云山雾罩。特别是缺乏数学的思维。
首先科普一下算术。就是数手指头，自然数。然后人类就发明了分数，分数（有理数）
其实也是一种自然数。然后人类发现了无理数，也就是不可以用分数形式表示的数。然
后最后就是超越数，如pi和e。这无理数存在说明一种大于自然数的集合存在，人类称
之为实数。实数之上还有无穷无尽的层次，不过目前为止物理只用到这两个层次。
人类目前只能数手指头，也就是自然数。任何所谓的科学研究，最后得出的就是一个整
数的结果。人类其实仍不具备真正的实数计算能力。这里的实数指的是无限不循环小数
的真正的实数。所有的所谓哥德尔不完备定理，图灵不可判定性问题都源自于此，在自
然数范围内，很多问题是无自然数解的。例子如无理数。其实哥德尔和图灵就是把古代
数学发现用时髦现代语言又写了一次。
量子问题的根本或潜力就在于它是一个实数。人理解不了实数。因此要通过“观察”将
这个实数转换为一个整数，如0/1，猫死了还是活着... 阅读全帖 |
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d****g
发帖数: 7460 | 45 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: jfsrjjoz (花雨星河), 信区: Military
标 题: 用人话解释意识、量子现象和光速问题
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 31 13:19:36 2017, 美东)
量子力学的不确定性、波函数坍缩，什么意识问题，光速不变问题及光速极限速度问题
，其实一点都不神秘。可以很容易用人话解释清楚。说不清楚的人，无论其头衔再高，
教授做了多少年，其实自己也云山雾罩。特别是缺乏数学的思维。
首先科普一下算术。就是数手指头，自然数。然后人类就发明了分数，分数（有理数）
其实也是一种自然数。然后人类发现了无理数，也就是不可以用分数形式表示的数。然
后最后就是超越数，如pi和e。这无理数存在说明一种大于自然数的集合存在，人类称
之为实数。实数之上还有无穷无尽的层次，不过目前为止物理只用到这两个层次。
人类目前只能数手指头，也就是自然数。任何所谓的科学研究，最后得出的就是一个整
数的结果。人类其实仍不具备真正的实数计算能力。这里的实数指的是无限不循环小数
的真正的实数。所有的所谓哥德尔不完备定理，图灵不可判定性问... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 绝大部分实用理论所依赖的实数集，本质上是 "单个数的信息量不能为无穷大的实数子
集"。。。一个最明显的例子就是高中解析几何，虽然号称实数集合，但实际题目里所
有的坐标点（cut），都是有限信息量的 cut。。。永远不会出现随便一来的无限信息
量的 Dedekind 闭着眼睛胡乱 cut。。。而这保证所有几何测量都守恒，而理论上不会
出现 Costco 开西瓜悖论 Banach–Tarski paradox。
所以香浓实际上只用来理论数学家实数集的子集，虽然也口口声声说是实数集。。。费
加罗的理发师悖论说，这就是人类语言的二义性。
: 又是你瞎编的概念。香农啥时候否认过实数。他的信息论就是建基在实数上的。
如果不
: 是香农妖，的确无限可能。
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b***y
发帖数: 14281 | 47 当然是倒挂，因为这是一个明显又极端重要的逻辑问题。一旦证明了根号二不是有理数
，那么如果你拥有象毕达哥拉斯这样的数学素养的话，就一定立刻会想到那这个数是什
么？还有多少这样的数？是不是所有无理数都是根号数还是有其他类型的？实数究竟包
括哪些？究竟应该怎么定义实数域？简单说就是实数到底是个什么东西？如果说连实数
究竟是什么都思考不清楚的话还谈什么严谨的数学研究？所以这是个非常重要的基础性
问题。
如果毕氏不知道有象根号二这样不能写成分数形式的数，那他不会想到这些问题也情有
可原，但都把这个事情给证出来了，却不产生疑惑是不合理的。事实上欧洲数学家在知
道了无理数的“存在”之后立刻就被这个问题所困扰，各种观点论战持续了两百年时间
，很多大牛投入了大量的精力去研究这个问题，催生出了数学分析和很多新领域，比如
拓扑学。
但是没有任何资料显示毕达哥拉斯学派曾经为实数是什么而烦恼过。这无非是因为15，
16世纪的数学家们正为这个事情撕逼，吵来吵去没有定论，让人不知道该如何去编段子
，而等到一切尘埃落定之后又已经太晚了。
BTW，现在我们通常称这个问题为实数的完备性问题，是因为这个问题是从柯西数列的
... 阅读全帖 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 48 我给你个概念吧。三言两语可以说清楚个大概：
1， 首先从一个实数函数出发：我们知道1／1＋1／2＋1／3＋1／4...这个级数不收敛
等于无穷，然而分母上的数给一个大于1的指数，这个级数就收敛了，等于一个有限的
数。任何一个大于1的实数做指数，都能得到一个收敛的数，这就定义了一个实数函数
，定义域为大于1的实数。
2，这个实数函数可以扩展为一个复数函数：这个复数函数的定义域是整个复数域，并
且在自变量是大于1的实数时，其函数值恰好是那个实数函数的值，所以这是一个函数
扩展。这个复数函数叫zeta 函数。
3，复数函数取值为复数，但是它也有零点，也就是函数值为零的地方。李曼猜想认为
这个函数取值为零的地方，全部是实部为1／2的复数。这就是黎曼猜想。
：买买提有知道的没？知道的科普一下。 |
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发帖数: 1 | 49 Ok,这个是我miss了。我以前搞的方向和这个接近，wiki是给你看的，里面的内容我基
本都知道，根本没仔细读。这个方向基本没人用computable dedekind cut这个词，都
直接用computable real number或者computable number. 不过这个不影响定义。里面
的定义就是我说的。
给你个简单的科普吧：按数集的包含关系，从小到大是：
自然数<整数<有理数<实代数数<可计算实数<实数。
分得再细点，可计算实数也可以有复制的结构。比如多项式可计算实数，NP可计算实数
，等等。不可计算实数也可以有很复杂的结构。
按你的说法，可计算实数其实就是有理数而已。根本不用脱裤子放屁再加一个可计算数
的概念。 |
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s***h
发帖数: 487 | 50 你这个贴没看到本质问题。这个本质问题就是实数集上的 Axiom of choice，我这不是
开无轨电车，我这么解释。
你上面已经提到了 映射。 你这里的拓扑映射就是实数集合上面的 bijection 。整个
拓扑学就是硬射函数是连续函数， continuous transformation function。
但你不管是怎样的硬射函数，看起来多么 definable，你最终要走到两个实数集之间的
硬射，也就是定义域实数集和值域实数集之间的硬射。
而两个实数集之间的硬射，归根到底就是 axiom of choice 。 而实数集之间的 axiom
of choice ，是没有 definable 的（图灵机刹得住车的）choice function。这就带
来了到底是硬射美胸系花，还是硬射美腿系花，这样的硬射选择困难，因为 choice
function is non-definable（图灵机刹不住车，硬而不射），而最终让数学成为哲学
，或者说，美学。
哥们侃问题要侃本质 。。。
: 复球面无穷远点开集的定义，一句话就定义完了。但是其意义要慢慢展开
，因为
包含的
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