t******l
发帖数: 10908 | 1 就用你举例的 “液体在逻辑上可以无限分割” 来说明 monkey's sensory
illusion and cognitive delusion 好了。
“液体在逻辑上可以无限分割” 是基于 “空间在逻辑上可以无限分割”。
而 “空间在逻辑上可以无限分割” 实际上就是 Dedekind cut。而 Dedekind cut 其
背后的 Dedekind continuous 是人为假设的 continuous。
之所以说是该 continuous 是人为的假设，是因为 Dedekind cut 的 cut algorithm (
pivot inserting algorithm -- 该 pivot 这里是一个 irrational number) 本质上是
一个 undecidable problem（类比于 compare identical of any two real numbers
的 problem）。。。而 Dedekind 假设这个 undecidable problem can always get a
decisive answer，也就是人为假设一个 no... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 2 进一步说，前面这个实数定义中的 “数轴上的点”，或者其隐含的 “geometric
measurable”，其背后是 the completeness & continuous of real numbers。
而 the completeness & continuous of real numbers，其背后是 derive real
numbers from Cauchy sequences, 或者是 derive real numbers from Dedekind cuts。
无限不循环小数的说法，更接近于 derive real numbers from Cauchy sequences。。
。这里比较有欺骗性的是，Cauchy sequences 似乎能不依赖于 space-time 而在虚无
中存在。。。但我觉得希尔伯特教的问题是，Cauchy sequences 里的 infinite close
，跟
Dedekind cuts 的 Dedekind continuous，难道不是一回事？一样也得依赖于 space-
time 而存在不是？
：xiaoju 在上面... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 3 然后这时 dedekind cut 兴高采烈地跑过来说："我 dedekind 在数轴上随便胡乱 cut
，于是..."。。。香浓直接回一句："尼玛！我不跟猴子说人话"。
然后这时 cantor diagonal argument 兴高采烈地跑过来说："我 cantor 在无限长序
列上来个 permutation，于是..."。。。香浓又直接回一句："尼玛！我还是不跟猴子
说人话"。
... ...
<待续> |
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s***h
发帖数: 487 | 4 你给的 wiki 上面有 computable Dedekind cut 这个词，还给了黑体。这个不是数学
问题，也不是英文问题，这个是人肉 regex 。。。
: 没有说无限循环小数不是computable,是说pi之类是computable.
: 你别把不相干的名词扯进来了。从来就没有computable dedekind cut这个东东
。
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s***h
发帖数: 487 | 5 Dedekind cut 或者 Cauchy's sequence 是构造，any 构造。
实数完备性本身不是构造，而是说 at ANY time, SNY Dedekind cut 或者 ANY Cauchy
's
sequence 的构造，ALWAYS give valid return 。
如果说 the fabric of mathematics cosmos，那这个 always give valid return at
any time，就是 the invisible fabric 。
: 实数的完备性，这是一个构造，我觉得没啥问题。
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发帖数: 1 | 6 没看懂你在说什么
cauchy列和dedekind分割是两种等价的定义方法
两者完全没有区别
不知道你在这里扯什么
非要捧一个打一个是什么意思？
这套早就是定论了，都不知道你在质疑什么
从集合论出发，构造自然数，整数，有理数
然后从有理数构造实数
两种方法：
1.用cauchy列
2.用dedekind分割
然后可以证明两种方法等价
所以这里随便选一个用就可以了
然后有了实数，你就可以定义10进制表达法
以及相应的运算法则
之后就可以讨论0.999...和1的问题了
你说哪步有问题？
老在那里质疑cauchy列有毛意义？
: 扯淡
: 你们咋定义实数根号2的？
: ——所有负数、0以及平方不大于2的正有理数的集合
: 你不要胡搅蛮缠，说实数1就是自然数1的自身重复无限列了
: 我早就说过康托在玩赖
: 大家的争议焦点本来在Cauchy数列最终能不能达到它所逼进的极限值
: 结果你们祖师爷非常“艺术的”定义那个极限值就是Cauchy数列自身
: 其它数学家：“你去哪里？”
: 康托：“我在路上。”
: 这不... 阅读全帖 |
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发帖数: 1 | 7 实数1就是(L,U)，其中L={x\in Q: x<1}，U={x\in Q: x>1}
这不就是玩赖吗？
你大可以说S(n) = 9*10^(-1) ... 9*10^(-n)
是属于L的元素且可以大于其中的任意元素
于是{S(n)}等价于L，所以等于“实数”1
------------------------------------------
没看懂哪里玩赖
你下面的证明根本是错的
用分割，计算集合的时候不能用等价，必须相等
不过如果用dedekind分割证明这个问题也可以
不过首先得用dedekind分割给出0.999...的定义
然后证明0.999...的两个集合和1的两个集合分别相等
你上面的“证明”稍微修正一下可以做成对的
: 实数1就是(L,U)，其中L={x\in Q: x1}
: 这不就是玩赖吗？
: 你大可以说S(n) = 9*10^(-1) ... 9*10^(-n)
: 是属于L的元素且可以大于其中的任意元素
: 于是{S(n)}等价于L，所以等于“实数”1
: 这还不是耍赖问答——
: “你到哪里了？... 阅读全帖 |
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a**a
发帖数: 416 | 8 发信人: ukim (X人), 信区: Science
标 题: Heroes in My Heart (16)
发信站: BBS 水木清华站 (Sun Apr 21 11:33:19 2002)
Gottingen的传说
继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事
13．
E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的
应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。
Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分
方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.……”
14．
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，
Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind
狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。
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e*******n
发帖数: 4912 | 9 1.在这个系列里我打算写一些我在各种文章和书中看到的八卦
希望能博大家一笑
有一次littlewood问hardy,为什么他每次到一个旅馆就会把镜子用毛巾盖起来?
回答是:因为他长得太丑了
2.Hadamard,Jacques去意大利Bologna开1928年国际数学家大会,期间要坐火车去一个地
方
车厢里有很多人在聊天,他觉得十分累,就出了道困难的数学题,众人思考这道题,
车厢里马上安静下来了,于是Hadamard就可以睡觉了
3.Bourbaki是一个法国数学家的集体代名词
Bourbaki的第一篇文章发表在comptes Rendus(法国科学院的一个杂志)上
在1949年Journal of symbolic logic上的一篇文章
"Foundations of mathematics for the working mathematican"
中,Bourbaki教授的地址是University of Nancago
一个杜撰的地址,分别是Nancy和Chicago(weil在那里)前后组合
1940年,Boas,Ralph(MR的主编)曾经在Encyclopa... 阅读全帖 |
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C**o
发帖数: 10373 | 10 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: OverCloud (天马行空), 信区: Military
标 题: Re: 一个直线上是不是除了有理数无理数就没别的了？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Dec 6 21:53:34 2012, 美东)
实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝... 阅读全帖 |
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N*******d
发帖数: 5641 | 11 http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
Let R denote the set of all real numbers. Then:
The set R is a field, meaning that addition and multiplication are defined
and have the usual properties.
The field R is ordered, meaning that there is a total order ≥ such that,
for all real numbers x, y and z:
if x ≥ y then x + z ≥ y + z;
if x ≥ 0 and y ≥ 0 then xy ≥ 0.
The order is Dedekind-complete; that is, every non-empty subset S of R with
an upper bound in R has a least upper bound (also called supre... 阅读全帖 |
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O*******d
发帖数: 20343 | 12 实数连续性的奥秘
整数由小到大的变化是跳跃式的．从1跳到2，跨过了许多分数．有理数从1变到2，中间
似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白．其实有理数从
l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如．
有理数再添上无理数，凑成全体实数．我们说，实数是可以连续变化的．说变量x
从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数．
在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴．数轴上的每个
点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数可以连续变化，就是说
点可以在数轴上连续地运动．
如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？
设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀一定会砍在某个点上，即
砍中了一个实数．如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了．
设数轴是从点A处被砍断的．这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就
在右半截上．这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没
有．
从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，
总... 阅读全帖 |
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w*******e
发帖数: 15912 | 13 http://www.douban.com/group/topic/26091824/
Huang Yu passed away in a car accident on Dec 24th. He lived in Kearny, NJ.
It happened at around 4 am when he was on his way to work to deliver
newspapers. He had a flat tire on Route 22. He was replacing his flat tire
when another driver, apparently with DWI, struck him from behind.
It's said he left with no money, less than $100 in the bank.
怀念黄渝
作者:曾思欣
黄渝是1989年底来到Johns Hopkins的，我是1990年10月来的，他比我高一个年级，我们
虽然不久就认识，但成为很熟的朋友大概是在一两年后了。同在数学系的时候，我和他办
过讨论班，还... 阅读全帖 |
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l*****9
发帖数: 9501 | 14 【 以下文字转载自 Returnee 讨论区 】
发信人: lqm1989 (Jeremy Lin), 信区: Returnee
标 题: 黄渝还是俗了，压根儿不该来美国，来了也该尽快回国 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 22 11:46:51 2013, 美东)
发信人: lqm1989 (Jeremy Lin), 信区: Mathematics
标 题: 黄渝还是俗了，压根儿不该来美国，来了也该尽快回国
发信站: BBS 未名空间站 (Wed May 22 11:15:48 2013, 美东)
以他的水平，只要不怕穷，在国内应该可以出成果
黄渝是彻底的无产无妻，1米8多的帅哥
发信人: bobpop(bobo), 信区: STPC
标 题: 讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历
发信站: 瀚海星云 (2008年12月18日03:10:42 星期四), 站内信件 WWWPOST
讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历06-12-17 18:28 发表于：
《皖
军同盟》 分类：未分类
http://www.tellnet.com... 阅读全帖 |
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b********n
发帖数: 38600 | 15 来自: Mosbichttp://ncatlab.org 2011-12-25 18:15:56
Huang Yu passed away in a car accident on Dec 24th. He lived in Kearny, NJ.
I
t happened at around 4 am when he was on his way to work to deliver
newspaper
s. He had a flat tire on Route 22. He was replacing his flat tire when
anothe
r driver, apparently with DWI, struck him from behind.
It's said he left with no money, less than $100 in the bank.
怀念黄渝
作者:曾思欣
黄渝是1989年底来到Johns Hopkins的，我是1990年10月来的，他比我高一个年级，我
们
虽然不久就认识，但成为很熟的朋友大概是在一两年后了。同在数学系的时候，... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 16 这个比较复杂，我个人觉得只有 countable 的 "无限" 才是在马工信息学上面有实在
意义的，uncountable 其实是 cantor diagonal argument 和 dedekind cut 在信息学
上面根本是错误的。导致实数集 R 本身在信息学上面是错误的。。。具体我这么说：
从信息学角度说，"无限" 本身，比如 "无限的sequence / expression" 啥的，完全是
可以存在并且有意义的。但有个前提条件，也就是其所包含的信息量是有限的。。。单
个符号或者sequence或者expression，如果包含无限的信息量，在信息学上面是没有意
义的。
<下贴待续>
[0 |
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t******l
发帖数: 10908 | 17 然后回到那个实数集 R 的 cantor diagonal argument 或者 dedekind cut。。。说到
这里的时候，从香浓信息学的角度，我很想骂那俩是沙比。
我骂人的原因，是实数的最初直观定义是数轴上的点。。。或者说，几何问题里最终能
量个长度的数。。。当然有数学系小姐曾经问过那数列问题咋整？。。。欧几里德说了
，你丫是文科毕业的嘛？所有数学问题都能够表达成几何问题，要不然咋说数学是空间
的艺术涅？
但是香浓给了一个修饰语说，你们说的其实是数轴上携带信息的点。。。也就是该实数
的信息量既不能为零，也不能为无穷大。。。当然这是废话，信息量为零是京片子出租
车司机侃大山。。。信息量无穷大的话，大家都不能回家吃晚饭了，undecidable 这个
实数点在数轴上的哪里。
当然又有傻冒跳出来问，sqrt(2) 这种无限不循环小数难道不是信息量无穷大？。。。
香浓都懒的回答，直接扔下一句 "尼玛" 立马走人不跟猴子说人话。
<待续> |
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t******l
发帖数: 10908 | 18 绝大部分实用理论所依赖的实数集，本质上是 "单个数的信息量不能为无穷大的实数子
集"。。。一个最明显的例子就是高中解析几何，虽然号称实数集合，但实际题目里所
有的坐标点（cut），都是有限信息量的 cut。。。永远不会出现随便一来的无限信息
量的 Dedekind 闭着眼睛胡乱 cut。。。而这保证所有几何测量都守恒，而理论上不会
出现 Costco 开西瓜悖论 Banach–Tarski paradox。
所以香浓实际上只用来理论数学家实数集的子集，虽然也口口声声说是实数集。。。费
加罗的理发师悖论说，这就是人类语言的二义性。
: 又是你瞎编的概念。香农啥时候否认过实数。他的信息论就是建基在实数上的。
如果不
: 是香农妖，的确无限可能。
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t******l
发帖数: 10908 | 19 我之所以要 "单个数的信息量不能为无穷大的实数"，或者 "能表达成
有限自动蹦蹦机的有限信息量“，本质上是我无法接受 Costco 开西瓜悖论
Banach–Tarski paradox 讥讽漫画里面的那句 "I told you don't use
axiom of choice!"。。。因为我不能接受在决定用不用 axiom of choice 之前
，先开车去希尔伯特查经班转一圈。。。而且希尔伯特查经班也有时候公说公有理娘说
娘有力的，没有一个统一的规则说这 axiom of choice 到底许用不许用。。。
: 绝大部分实用理论所依赖的实数集，本质上是 "单个数的信息量不
能为无穷大的
实数子
: 集"。。。一个最明显的例子就是高中解析几何，虽然号称实数集合
，但实际题
目里所
: 有的坐标点（cut），都是有限信息量的 cut。。。永远不会出现随便一
来的无
限信息
: 量的 Dedekind 闭着眼睛胡乱 cut。。。而这保证所有几何测量都守恒， |
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t******l
发帖数: 10908 | 20 说到这里，我还是很敬仰 cantor 的数学功底的。。。像 dedekind cut 那种 “随便
给他娘的来一刀”。或者 cauchy sequence 那种 “虎躯突然三震就射了”，尼玛不管
是小姐还是震动棒连影子都没看见。。。这种在 cantor diagonal argument 面前，尼
玛就是数学民科没跑。
cantor 是一个严谨的数学工作者。。。cantor 说，既然我们可以在有限的序列长度上
做 permutation with repetition，那我们为啥不可以在无限长度的序列上面做
permutation with repetition 呢？这样不就能囊括所有的不管是有理数还是无理数简
称是实数了？。。。听起来好像确实有道理，但我屌丝还是不知道拉斯维加斯是不是接
无限长序列的角子老虎机的单子就是了。
<待续>
N |
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t******l
发帖数: 10908 | 21 但 cantor 的第一个问题，是没有刷过 leetcode，没有注意到可计算性以及香浓有限
信息量的情况。。。（当然，cantor 也可能早就知道，但是作为高维生物玩弄一下低
维生物，所以 cantor 故意不说）。
这样这个 permutation (with repetition) on infinite length sequence，直接生生
造出了许许多多以前从来没看到过的“不可计算数”，原因是那种数的香浓信息量无穷
大。。。（顺便说一句，sqrt(2) 是可计算数，虽然是无限不循环小数，因为其携带的
信息量不是无穷大，或者说有有限长度的生成规则产生，即使序列长度是无穷长且没有
肉眼直接看得见循环 pattern，这不等于没有理论上的 pattern。。。当然这又要回到
哥德巴赫猜想，是不是所有的 pattern 都基于同余循环的问题）。
这种不可计算数多如牛毛的程度，到不管是 dedekind cut 随便来一刀，还是 cauchy
sequence 随处震三下，其结果是数学上严格精确的 100% 的概率出现的是不可计算数
，数学上严格精确的 0% 的概率出现的是可计算数... 阅读全帖 |
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b***y
发帖数: 14281 | 22 可以证明sqrt(2)不能写成a/b的形式，但是不能“证明”sqrt(2)存在。凭什么说一定
存在一个实数x^2=2？
这个问题其实是很难的，直到19世纪才明确下来，答案是不能证明，只能把它作为一个
公理引入。但是这个公理又怎样描述呢？因为你不能穷举所有的无理数，而无理数里还
有很多非跟号数，甚至是非代数数，请问你怎么定义“所有的无理数”这个范畴？不能
光凭想象说“一条直线上的数都是实数”就完了，因为你“看不到”这些数啊。
所以这个问题其实是很深奥的。最后确立的等价性公理有：
1. 一切柯希数列都收敛
2. 闭区间套定理
3. 单调有界原理
4. dedekind收敛性
5. 威尔斯特拉斯据点定理
其他还有一些不太常用的等价命题。学过数学分析的人知道，非数学专业的同学一般不
知道。光知道一个证明sqrt(2)不是有理数就以为是证明了无理数的存在，其实还早着
呢。
了。 |
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y*j
发帖数: 3139 | 23 古希腊人根本就没有想到实数的完备性问题，怎么就倒挂了。
：可以证明sqrt(2)不能写成a/b的形式，但是不能“证明”sqrt(2)存在。凭什么说一定
：存在一个实数x^2=2？
：这个问题其实是很难的，直到19世纪才明确下来，答案是不能证明，只能把它作为一
个公理引入。但是这个公理又怎样描述呢？因为你不能穷举所有的无理数，而无理数里
还有很多非跟号数，甚至是非代数数，请问你怎么定义“所有的无理数”这个范畴？不
能光凭想象说“一条直线上的数都是实数”就完了，因为你“看不到”这些数啊。
：所以这个问题其实是很深奥的。最后确立的等价性公理有：
：1. 一切柯希数列都收敛
：2. 闭区间套定理
：3. 单调有界原理
：4. dedekind收敛性
：5. 威尔斯特拉斯据点定理
：其他还有一些不太常用的等价命题。学过数学分析的人知道，非数学专业的同学一般
不知道。光知道一个证明sqrt(2)不是有理数就以为是证明了无理数的存在，其实还早着
：.......... |
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s***h
发帖数: 487 | 24 泛函分析，到偏微分方程，到数值模拟，都不需要现代测度论啊。
就好比牛顿搞出微积分的时候，完全不需要 ZFC 公理集合论 或者 实数集 Dedekind
定义他妈的给我随便砍一刀。。。 公理集合论完全是纯数学家想要 self-evident 让
数学脱离物理和智慧生命而独立存在，而搞出来的。
但数学就像美女女伴，你一直不去草她的话，她没法 self-evident 会到处给你找茬
。。。 但你一旦决定天天草她，她忽然似乎暂时 self-evident 了，突然不让你草了
。。。 然后你决定算了吧，遵守美女意愿，自己打上一个月的打手枪算了 。。。 然
后这数学又不 self-evident 了 。。。 不是一般的闹心 。。。 |
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t**x
发帖数: 20965 | 25 有帮助的就有冷嘲热讽的， 国内不是没有帮助他啊。 丁石孙那么邀请， 他在美国最
冷的时候北大可是给了他温暖， 说不定没有一份温暖， 他早就死在了美国。 看看这
个就没有那么幸运了
应该说张益唐也算是lucky的
他很有才华，还能逆境中坚持。
但是这个世界上也有很多像他一样有才华，也坚持的人，最后却没能开出花，结出果来
下面这位也是数学的留学生，大概和张益唐算是同龄人
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Huang Yu passed away in a car accident on Dec 24th. He lived in Kearny, NJ.
It happened at around 4 am when he was on his way to work to deliver
newspaper s. He had a flat tire on Route 22. He was replacing his flat t... 阅读全帖 |
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t**x
发帖数: 20965 | 26 又极个别可能亏钱的， 但总体上清华北大的， 国家端着供着， 一点不欠这些人的。
张益唐， 找不到工作， 北大校长丁石孙邀请他回北大工作。。。
蒋国兵（？）， 清华加拿大跳桥的， 第一次回国， 据说清华副教授， 自己又跑出来
， 到帝国主义国家找死。。。
别的例子我就不举了。 浙大似乎跳楼一个， 清华北大我还真没有见国家亏欠多少。。
清华颜出国， 开始怀念清华食堂， 早有人预料她会怀念国内拿到手软的科研经费。。
。 北美的确工资高， 可是也不能给她一个人开高工资， 别的清华教授喝西北风， 是
不是。。
别人抱怨可以， 但是张益唐这个岁数的， 没有比中国共产党更尊重他们的了。 都是
赌气， 牛逼， 不顺心的时候如果不是运气好得象张益唐，基本都烂到沟里了。
应该说张益唐也算是lucky的
他很有才华，还能逆境中坚持。
但是这个世界上也有很多像他一样有才华，也坚持的人，最后却没能开出花，结出果来
下面这位也是数学的留学生，大概和张益唐算是同龄人
---------------------------------------------------------------------------... 阅读全帖 |
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b****a
发帖数: 4465 | 27 Huang Yu passed away in a car accident on Dec 24th. He lived in Kearny, NJ.
It happened at around 4 am when he was on his way to work to deliver
newspapers. He had a flat tire on Route 22. He was replacing his flat tire
when another driver, apparently with DWI, struck him from behind.
It's said he left with no money, less than $100 in the bank.
怀念黄渝
作者:曾思欣
黄渝是1989年底来到Johns Hopkins的，我是1990年10月来的，他比我高一个年级，我
们
虽然不久就认识，但成为很熟的朋友大概是在一两年后了。同在数学系的时候，我和他
办
过讨论班，还试图合作做过问题(很可惜没有结果)。2000年他搬到纽约后，更是我们家
的
常客，我... 阅读全帖 |
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s***h
发帖数: 487 | 28 我看了 formal definition，应该没有记错，无限循环小数是 computable。因为按
formal 定义不需要一定是十进制 decimal。
或者说，computable Dedekind cut。
: 查了一下，记错了，computable number 应该是有限小数。
: Decidable number 应该是 definable number，但这个有可能是各个地方术语不
一致。
: 前文讨论的代数数，不知道是指 algebraic number 还是 arithmetical
definable
: number。
: |
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发帖数: 1 | 29 没有说无限循环小数不是computable,是说pi之类是computable.
你别把不相干的名词扯进来了。从来就没有computable dedekind cut这个东东。 |
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发帖数: 1 | 30 Ok,这个是我miss了。我以前搞的方向和这个接近，wiki是给你看的，里面的内容我基
本都知道，根本没仔细读。这个方向基本没人用computable dedekind cut这个词，都
直接用computable real number或者computable number. 不过这个不影响定义。里面
的定义就是我说的。
给你个简单的科普吧：按数集的包含关系，从小到大是：
自然数<整数<有理数<实代数数<可计算实数<实数。
分得再细点，可计算实数也可以有复制的结构。比如多项式可计算实数，NP可计算实数
，等等。不可计算实数也可以有很复杂的结构。
按你的说法，可计算实数其实就是有理数而已。根本不用脱裤子放屁再加一个可计算数
的概念。 |
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s***h
发帖数: 487 | 31 实数连续性完备性公理的背后，还隐含着数学体系是基于 “存在型” 哲学学派，也就
是一起实数在一开始均已经存在，无论是 Dedekind cut 还是 Cauchy's sequence，里
面的 "any" 算子永远给出 valid return value, in any time 。。。 或者说 time
本身不存在。
: 大伙儿现在动辄讲时空，把 fabric of cosmos 等价于时空。但实际上时空并不
直接可
: 观察，回到欧几里德的沙滩，欧几里德也只看到托勒密四点共圆，而不知道四点
共圆后
: 面看不见的黎曼张量。
: 而推妈版动辄叫嚣时空，大部分也就是萧规曹随。
: 从这个角度看，what if 这个 fabric of cosmos 不是实数连续性完备性的时空
，而是
: 一只躲在幕布后面的图林机？
: 连续性
|
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s***h
发帖数: 487 | 32 我这里面涉及了 time 。数学家们可以争议 time 以及 arrow of time 是物理学概念
，数学家可以超然。但这里面有一个巨大的问题： causality 。
: 实数连续性完备性公理的背后，还隐含着数学体系是基于 “存在型” 哲学学派
，也就
: 是一起实数在一开始均已经存在，无论是 Dedekind cut 还是 Cauchy's
sequence，里
: 面的 "any" 算子永远给出 valid return value, in any time 。。。 或者说
time
: 本身不存在。
: 直接可
: 共圆后
: ，而是
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发帖数: 1 | 33 首先你这个定义是错的
cantor定义的实数使用cauchy列定义的
一个实数是一个cauchy列的等价类
【定义：cauchy列】
【定义：cauchy列上的等价关系】
这俩懒的写了
实数1就是cauchy列(1,1,1,...)所在的那个等价类
这里cauchy列里的那些1都是有理数1，所以这个定义完全没有问题
你想说的应该是 dedekind 分割
一个实数是一个pair(L,U)
这里L和U为两个满足某些条件的有理数集【一共8条性质】
实数1就是(L,U)，其中L={x\in Q: x<1}，U={x\in Q: x>1}
注意括号里面的1是有理数1，所以这个定义是没有问题的
严格定义写出来了，你想怎样？
ps：
感觉需要再给你补充点知识，免得你又信口胡说
自然数1的定义：｛空集｝，包含空集为元素的集合
整数1的定义：
先定义(a,b)，其中a和b都是自然数
然后定义一个等价关系【懒的写了】
整数1就是（1，0）所在的那个等价类
有理数1的定义：
先定义（a，b），其中a和b都是整数，但是b不能是0
然后定义一个等价关系【懒得写了】
有理数1就是（1，1）所在的那个等价类
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n***y
发帖数: 2730 | 34 给民科们普及一下实数是怎么定义的。大多数现代数学教科书把实数集定义为具有某些
特征的有理数子集的等价类。一般普遍采用的方法为两种：
第一种方法定义有理数集合的柯西子集的等价类。这个定义的主要优点是容易和极限建
立直观的关系，对于学过数学分析基础的学生比较容易理解。缺点是定义稍微有点长。
第二种方法定义为有上届有理数子集的等价类。这个定义的优点是简洁，大多数实分析
以上的数学教课书中，在一开始的准备章节用这种定义将实数一带而过。当然对于实分
析基础差的学生可能理解困难一些。
最后提一下Dedekind Partition，如果我没记错的话，这是最初的一个对实数的严格定
义。现代欧美实分析教科书好像用的不多了，主要是有点繁琐。
数学基础好的学生可以容易地在这些定义之间构造同构双射。
民科还是先去念点数学书再来瞎逼逼。 |
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发帖数: 1 | 35 如果用dedekind cut构建实数域，确界原理是可以直接证明的。
徐森林的数学分析里有一章专门讲这些实数域等价的命题。 |
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s**********t
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发信人: lqm1989 (Jeremy Lin), 信区: Returnee
标 题: 黄渝还是俗了，压根儿不该来美国，来了也该尽快回国 (转载)
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以他的水平，只要不怕穷，在国内应该可以出成果
黄渝是彻底的无产无妻，1米8多的帅哥
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标 题: 讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历
发信站: 瀚海星云 (2008年12月18日03:10:42 星期四), 站内信件 WWWPOST
讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历06-12-17 18:28 发表于：
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D*V
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l******r
发帖数: 18699 | 38 我的梦想就是进入下面这个名单。我相信我能做到。和你一起共勉。
1.A.N.Kolmogorov ---为概率论建立了公理体系的俄罗斯人。
2.H.Poincare -----H.庞加莱人类历史上最后一位全才科学家。
3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。
4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。
5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。
6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？
7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。
8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。
9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。
10.Alxsandrff ---
11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，被同行认为精神病勒贝格。
12.Shafarevich ----
13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒。
14.Dedekind ------著名的戴德金分割－实数理论。
15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 AMC8 原则上是八年级的数学，俺娃无法独立做下来，俺是用 AMC8 作为
工具来教娃代数和几何，因为看数学书比较枯燥。
不过去年教娃基本的数学概念，我主要是用 MOEMS 的。（除了实数完备性
/连续性的概念，因为 MOEMS 里，离散问题比较多）。
不过普通娃确实要教。。。我没教好实数完备性的概念，昨晚我发现娃在实数
完备性/连续性的概念上漏洞很大。。。但无论是 Dedekind cut 的概念，还是
Cauchy sequence 的概念，或者无限不循环小数逼近的概念，都不是普通娃能
理解的（其实俺觉得俺大人也不太行）。
俺昨晚最后用了个糊弄的办法，这么解释：任何从 number line 上某点，能
做图到二维空间（不限尺规，不过小学里尺规就差不多了），然后出来又弄回到
（cut 回去）number line 上的点，都要存在有对应的 real number。。。
这就是娃版 completeness 的感觉。。。
我上面这个逻辑上很不严谨，其实是先验 intuitively 承认了 completeness of
2-D Euclidean space （R2 complet... 阅读全帖 |
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l*****e
发帖数: 2447 | 40 dedekind cut。。。你在这边上的大学？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 41 当然假设也是逻辑的一种，就看你咋假设。
古人云：“窃钩者猪，窃国者猴”，说的就是这个道理。
所以 希尔伯特 / cantor / Dedekind 这些都是数学上称霸一方的诸侯也没错。。。虽
然这些跟班上数学不及格的一样，解题时都是屁股决定脑袋。。。但美女们都说无数遍
了，这世上最终都是屁股蛋的形状决定人生命运，虽然是个人就有只屁股。 |
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l*****9
发帖数: 9501 | 42 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
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标 题: 讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历
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讣闻1例:怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历06-12-17 18:28 发表于：
《皖
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http://www.tellnet.com.cn/articleview/2005-1-11/article_view_5239.htm
怀念黄渝——一位科大数学怪才在美国的经历 发布日期：2005-1-11 19:35:36 发
布
者：[bobo] 来源：[本站] 浏览：[ 106] 评论：[ 0]
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b*s
发帖数: 82482 | 43 我也来一个书单：
Homer – Iliad; Odyssey
The Old Testament
Aeschylus – Tragedies
Sophocles – Tragedies
Herodotus – Histories
Euripides – Tragedies
Thucydides – History of the Peloponnesian War
Hippocrates – Medical Writings
Aristophanes – Comedies
Plato – Dialogues
Aristotle – Works
Epicurus – "Letter to Herodotus"; "Letter to Menoecus"
Euclid – Elements
Archimedes – Works
Apollonius – Conics
Cicero – Works (esp. Orations; On Friendship; On Old Age; Republic; Laws;
Tusculan Disputations; Offices)
Lucreti... 阅读全帖 |
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x******a
发帖数: 6336 | 44 俄国人排的，Noether这个假男人排这么高？
1,A.N.Kolmogorov
2,H.Poincare
3,D.Hilbert
4,A.E,Nother
5,von Neumann
6,H.weyl
7,A.Weil
8,I.M.Gelfand
9,Wiener
10,Alxsandrff
11,Ledesque
12,Shafarevich
13,V.I.Arnold
14,Dedekind
15,Markov
16,Klein
17,E.Artin
18,Jordan
19,Siegel
20,Sobolev
21,J.P.Serre
22,Gorthenideck
23,Whiteny
24,E.Cartan
25,Thom
26,Milnor
27,Hadamand
28,Godel
29,Landau
30,Hecke
31,陈省身
32,Zermelo
33,Puntrijagin
34,H.Cartan
35,Hopf
36,小平邦彦
37,Cantor
38,Chxxxxley
39,Pic... 阅读全帖 |
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s**e
发帖数: 1498 | 46 差不多得了，用dedekind的定义很容易证了。。 |
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s**e
发帖数: 1498 | 47 无穷公理定义了自然数集的存在，没有它，zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
这里，定义无穷是没有必要的。自然数集存在了，并有它的一切性质，包括了所谓无穷。
你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷，无外乎在朴素集合论里，无穷
集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗？
但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？ |
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l*3
发帖数: 2279 | 48 引用------
但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
-----结束引用
不一定.
你看看这个集合符合无穷公理里面说的归纳集的性质吗?:
{0,2,4,6,8,...}
所有偶数放在一起组成的集合就不是归纳集, 但仍旧是无穷集.
所以无穷集当然是需要定义的. 无穷公理本身并不陈述无穷集的定义, 只是承认归纳集
存在的合法性.
归纳集都是无穷集, 无穷集不一定都是归纳集.
素数集同样也不是归纳集.
你这叫学过公理集合论? 学过也是一知半解... 还不如我这没学过的.
引用-----
还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？
-------结束引用
戴德金的定义确实可以直接验证出来, 但是戴德金的这个定义叙述并不简单, 而且即便
你把 "可以和自己的某个真子集等势的集合" 称为无穷集合, 那你首先也得说明 "有穷
集合不能和自己的任意一个真子集等势", 否则这个定义就和常理不符, 没有意义. 而
"有穷集合不能和自己的任意一个真子集等势" 这一点, 并不是 "显然" 的.
事实上, 我学的朴素集合论里就是通过证明以... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 49 ☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Fri May 24 08:41:56 2013, 美东) 提到:
我们假设不知道什么叫素数，我们对正整数集合进行如下的定义来定义素数。（这是从
链接上取下来的，也是I63的定义）
(1) 1不是素数 (base case)
(2) a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。
我曾经多次指出，这个定义在用素数定义素数，是不正确的。但看到很多的反驳如下。
1不是素数, 我们考察2，发现小于2的素数集合为空集，于是2为素数。以此再往下递归
，得出所有素数的定义。我想昨天深入讨论此内容的人，都不会反对我的总结吧。关于
"小于2的素数集合为空集"推出"2为素数"，因我的不慎，还做出过郑重道歉。
好，我们仿造这种递归定义，来定义偶数。
我们假设不知道什么叫偶数，我们对非负整数集合进行如下的定义来定义偶数。
(1) 0不是偶数 (base case)
(2) a是偶数当且仅当a与任何小于它的偶数之差为2的倍数。
我从base case开始。0不是偶数。我们考察... 阅读全帖 |
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