l*******a
发帖数: 12 | 1 碰到一个不等式的证明，已经证了1个多月了，还是做不出来，希望大牛们帮看一下。
Y is a positive bounded random variable. Prove that
E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
where E is the expectation with respect to Y.
我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立，但就是证不
出来对任意分布都成立。
Any hint is appreciated!! |
a******n
发帖数: 11246 | 2 我怎么觉得不太对的。。。
e^{-Y}可以和f(Y)一起作为新的pdf，所以等价于证明
E{Y^2}/EY - EY <= 1
也就是 Var(Y) <= EY。
只要Var(Y)不等于0，总能找到足够大的a，使得Var(aY) > E(aY)的。
【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明，已经证了1个多月了，还是做不出来，希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立，但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!
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l*******a
发帖数: 12 | 3 不是的，如果把e^{-Y}和f(Y)一起作为新的pdf,当a足够大时，e^{-aY}也足够小，所以
Var(aY) 和 E(aY)都趋近于0了。
【在 a******n 的大作中提到】
: 我怎么觉得不太对的。。。
: e^{-Y}可以和f(Y)一起作为新的pdf，所以等价于证明
: E{Y^2}/EY - EY <= 1
: 也就是 Var(Y) <= EY。
: 只要Var(Y)不等于0，总能找到足够大的a，使得Var(aY) > E(aY)的。
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t****r
发帖数: 702 | 4 how come log-normal is bounded?
【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明，已经证了1个多月了，还是做不出来，希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立，但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!
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t****r
发帖数: 702 | 5 well, I spent some time on it, hope it will give you some thoughts.
Let f(t)=E(e^{tY}), the moment generating function of Y. Then define
g(t)=log(f(t)), which becomes the cumulant generating function of Y. Since Y
is bounded and positive, we can show that g(t) is well defined for any t
and is strictly convex and strictly increasing in t. (you may google
property of the cumulant generating function).
Your statement is equivalent to show g''(t)<= g'(t) when t=-1. But I don't
have time to look into that.
Maybe this not the way to do it, may be it is :)
Hope this helps.
【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明，已经证了1个多月了，还是做不出来，希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立，但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!
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a******n
发帖数: 11246 | 6 都趋向于0不说明什么啊。你似乎是把我两步混在一起了。
我第一步是把Y的pdf转换为e^{-Y}*f{Y}。
详细点就是let g{Y}=e^{-Y}*f{Y} /∫e^{-Y}*f{Y}dY
then g{Y} is a valid pdf and
原来的E{Y^2 e{-Y}}(expectation with respect to pdf f)
等于现在的E{Y^2}(expectation wrt g)。
同样其余几个表达式变为EY和1。
所以其实就是要证明 E{Y^2}/EY - EY <= 1。
这时候的Y pdf是g，同样是positive and bounded.
但我觉得这是不对的。
【在 l*******a 的大作中提到】
: 不是的，如果把e^{-Y}和f(Y)一起作为新的pdf,当a足够大时，e^{-aY}也足够小，所以
: Var(aY) 和 E(aY)都趋近于0了。
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a******n
发帖数: 11246 | 7 我随便举个很简单的例子好了。
E{Y^2}/EY - EY <= 1，等价于Var(Y)<=EY。
让Y这样：p(Y=1)=1/2 , p(Y=5)=1/2。这时候EY=3, varY=4。
这个pmf相当于上面提到的g，如果要转换为f，那么
f正比于g/E^{-Y}。
所以变换后的pmf是p(Y=1)=k/2 *e^{-1}, p{Y=5}=k/2 *e^{-5}
这里k就是一个系数使得上面pmf是一个valid pmf。
这时候原来的不等式就是不对的。
所以
【在 a******n 的大作中提到】
: 都趋向于0不说明什么啊。你似乎是把我两步混在一起了。
: 我第一步是把Y的pdf转换为e^{-Y}*f{Y}。
: 详细点就是let g{Y}=e^{-Y}*f{Y} /∫e^{-Y}*f{Y}dY
: then g{Y} is a valid pdf and
: 原来的E{Y^2 e{-Y}}(expectation with respect to pdf f)
: 等于现在的E{Y^2}(expectation wrt g)。
: 同样其余几个表达式变为EY和1。
: 所以其实就是要证明 E{Y^2}/EY - EY <= 1。
: 这时候的Y pdf是g，同样是positive and bounded.
: 但我觉得这是不对的。
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l*******a
发帖数: 12 | 8 非常感谢你的解答，对我的理解很有帮助。
这个问题是从一个survival analysis的问题来的. 如果Y是bernoulli, 它代表的其实
是exposure。由于考虑问题的角度不一样，我没有考虑过odds ratio 很大的情况.
很感谢你给出的反例，我可以define一些constraint使得要证的不等式满足。
如果Y是continuous，你能想到一些凡例吗？
万分感谢！
【在 a******n 的大作中提到】
: 我随便举个很简单的例子好了。
: E{Y^2}/EY - EY <= 1，等价于Var(Y)<=EY。
: 让Y这样：p(Y=1)=1/2 , p(Y=5)=1/2。这时候EY=3, varY=4。
: 这个pmf相当于上面提到的g，如果要转换为f，那么
: f正比于g/E^{-Y}。
: 所以变换后的pmf是p(Y=1)=k/2 *e^{-1}, p{Y=5}=k/2 *e^{-5}
: 这里k就是一个系数使得上面pmf是一个valid pmf。
: 这时候原来的不等式就是不对的。
:
: 所以
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l*******a
发帖数: 12 | 9 什么是holder公式？是不是反了呀？我用Cauchy-Schwarz 不等式，分子大于0。 |
q*****q
发帖数: 158 | 10 举个简单的例子看看吧。比如 两点分布 P(Y = 1) = P(Y = 2) = 0.5， 算算看看咯。
【在 l*******a 的大作中提到】
: 什么是holder公式？是不是反了呀？我用Cauchy-Schwarz 不等式，分子大于0。
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a******n
发帖数: 11246 | 11 朋友我都说得那么明显了。。。。
你要连续的一样容易啊。
Y1=Uniform(0,a)。算出Var和E（和a有关）
这样对某个a来说，Var(Y1)>E(Y1)。
然后Y的pdf就是Y1的pdf除以e^{-Y}。在这里就是
f(Y)=1/a / e^{-Y}。
【在 l*******a 的大作中提到】
: 非常感谢你的解答，对我的理解很有帮助。
: 这个问题是从一个survival analysis的问题来的. 如果Y是bernoulli, 它代表的其实
: 是exposure。由于考虑问题的角度不一样，我没有考虑过odds ratio 很大的情况.
: 很感谢你给出的反例，我可以define一些constraint使得要证的不等式满足。
: 如果Y是continuous，你能想到一些凡例吗？
: 万分感谢！
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a******n
发帖数: 11246 | 12 还是要严谨一点的...大于和小于完全就是两回事。
用holder inequality可以证明大于0，其实这是显然的，
就好比证明一个变量的variance大于0 -,=
下。
证不
【在 q*****q 的大作中提到】
: 举个简单的例子看看吧。比如 两点分布 P(Y = 1) = P(Y = 2) = 0.5， 算算看看咯。
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q*****q
发帖数: 158 | 13 不好意思不好意思。就在脑子里过了大概想了一下，没认真看。丢人了~~~
【在 a******n 的大作中提到】
: 还是要严谨一点的...大于和小于完全就是两回事。
: 用holder inequality可以证明大于0，其实这是显然的，
: 就好比证明一个变量的variance大于0 -,=
:
: 下。
: 证不
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