d*n
发帖数: 137 | 1 待解方程
D_t f(x,v,t)-c v D_x f(x,v,t) - a sin(x) D_v f(x,v,t)=0
(1)
初条件f(x,v,0)=f0(v) (2)
方程(1)有稳太解但f0(v)不是稳探狻
z这里的D_t, D_x, D_v是微分算子１硎驹t,,x,v求导。
求解过程
第一步
f(x,v,t)=Exp[t c v D_x+ t a sin(x)D_v]f0(v)
第
使用公式Exp[A+B]=Exp[A]Exp[B]Exp[[B,A]/2]
f(x,v,t)=Exp[t a sin(x)D_v]Exp[t c v D_x]
Exp[[t c v D_x,t a sin(x)D_v]/2]f0(v)
=Exp[t a sin(x)D_v]Exp[t c v D_x]
Exp[t^2 a c/2 (-sin(x)D_x+cos(x)vD_v) ]f0(v)
第三步
再次使用公式Exp[A+B]=Exp[A]Exp[B]Exp[[ | y***u
发帖数: 25 | 2 这道题很难得出解， 原因在 $sin(x)$, 我试着用characteristic line method to
solve it. 发现需要解一个微分方程：
y''[x]=cos[y]
但这个方程的解好像不能用初等函数表达。
你所用的方法我不清楚，但问题同样来自于 $sin[x]$，我刚才试着证明了
一下，
Exp[A+B]=Exp[A]Exp[B]Exp[[B,A]/2]
只有当 [A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0 时才成立。在你的计算中，正是 $sin[x]$ 使得这个条
件
不成立， 所以你的结果有误。
【在 d*n 的大作中提到】
: 待解方程
: D_t f(x,v,t)-c v D_x f(x,v,t) - a sin(x) D_v f(x,v,t)=0
: (1)
: 初条件f(x,v,0)=f0(v) (2)
: 方程(1)有稳太解但f0(v)不是稳探狻
: z这里的D_t, D_x, D_v是微分算子１硎驹t,,x,v求导。
: 求解过程
: 第一步
: f(x,v,t)=Exp[t c v D_x+ t a sin(x)D_v]f0(v)
: 第
| B***y
发帖数: 83 | 3
found
用特征线法(characteristic method )求解，令 q = (x, v) 为位置变量，p = (y, u)
为
动量变量，(momentum variable), 那么原方程
f_t - c v f_x - a sin(x) f_v = 0
是标准的Hamilton-Jacobi 方程。(reference: Partial Differential Equations, by
Lawrance C
Evans, 1994.)
所以有这样的对应 y = f_x, u = f_v, 而 Hamilton 函数 H(q, p) = - cvy - a
sin(x)u,
特征线轨迹由Hamilton 方程
d q d p d f
--- = H_p, --- = - H_q, ---- = H_p p - H 给出。写出具体形式为
d t d t d t
x' = -cv, v' = -a sin(x), (
【在 d*n 的大作中提到】
: 待解方程
: D_t f(x,v,t)-c v D_x f(x,v,t) - a sin(x) D_v f(x,v,t)=0
: (1)
: 初条件f(x,v,0)=f0(v) (2)
: 方程(1)有稳太解但f0(v)不是稳探狻
: z这里的D_t, D_x, D_v是微分算子１硎驹t,,x,v求导。
: 求解过程
: 第一步
: f(x,v,t)=Exp[t c v D_x+ t a sin(x)D_v]f0(v)
: 第
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