l**********e
发帖数: 336 | 1 一个高斯分布的随机数Z，a是一个给定实数且a>0，要求E(Z|Z>a)比较紧的上界和下届
。可以假定Z是0均值， 方差1。
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我的想法是E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z|z>a) * z ) dz，其中p(z|z>a) = p(
z) / P(z>a)，
所以E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z) * z ) dz / P(Z>a)。这样的话分子部分应
该有解析解直接算出来。分母部分 P(Z>a)是一个标准的高斯的概率积分，求这个部分
的上下界就好了。那这个有什么比较常用的紧的上下界呢？
--------
或者除了这个做法，有什么其他的方法吗？比如直接去逼近E(Z|Z>a)？
--------
谢谢！！！ |
l**********e
发帖数: 336 | 2 up~~many thanks:-)
p(
【在 l**********e 的大作中提到】
: 一个高斯分布的随机数Z，a是一个给定实数且a>0，要求E(Z|Z>a)比较紧的上界和下届
: 。可以假定Z是0均值， 方差1。
: -------
: 我的想法是E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z|z>a) * z ) dz，其中p(z|z>a) = p(
: z) / P(z>a)，
: 所以E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z) * z ) dz / P(Z>a)。这样的话分子部分应
: 该有解析解直接算出来。分母部分 P(Z>a)是一个标准的高斯的概率积分，求这个部分
: 的上下界就好了。那这个有什么比较常用的紧的上下界呢？
: --------
: 或者除了这个做法，有什么其他的方法吗？比如直接去逼近E(Z|Z>a)？
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s*********y
发帖数: 284 | 3 I am not sure why you need an upper and lower bound, since it
has a closed form solution. Check out Inverse Mills ratio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Mills_ratio
p(
【在 l**********e 的大作中提到】
: 一个高斯分布的随机数Z，a是一个给定实数且a>0，要求E(Z|Z>a)比较紧的上界和下届
: 。可以假定Z是0均值， 方差1。
: -------
: 我的想法是E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z|z>a) * z ) dz，其中p(z|z>a) = p(
: z) / P(z>a)，
: 所以E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} ( p(z) * z ) dz / P(Z>a)。这样的话分子部分应
: 该有解析解直接算出来。分母部分 P(Z>a)是一个标准的高斯的概率积分，求这个部分
: 的上下界就好了。那这个有什么比较常用的紧的上下界呢？
: --------
: 或者除了这个做法，有什么其他的方法吗？比如直接去逼近E(Z|Z>a)？
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l**********e
发帖数: 336 | 4 thank you so much~~Inverse Mills ratio这个概念没有听说过，去看看
btw，Inverse Mills ratio给出的这个解里面，还是带有normal的c.d.f函数，这个部
分还是算没有closed-form？～～
是不是如果要给一定bound E(Z|Z>a)，到最后其实还是回避不开bound高斯的c.d.f呢？
【在 s*********y 的大作中提到】
: I am not sure why you need an upper and lower bound, since it
: has a closed form solution. Check out Inverse Mills ratio:
: http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Mills_ratio
:
: p(
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s*********y
发帖数: 284 | 5 Yes, google "bound normal cdf" and you should find relavent
things, or you can bound it by yourself by things like Markov, Chernoff ineq
uality etc.
【在 l**********e 的大作中提到】
: thank you so much~~Inverse Mills ratio这个概念没有听说过，去看看
: btw，Inverse Mills ratio给出的这个解里面，还是带有normal的c.d.f函数，这个部
: 分还是算没有closed-form？～～
: 是不是如果要给一定bound E(Z|Z>a)，到最后其实还是回避不开bound高斯的c.d.f呢？
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l**********e
发帖数: 336 | 6 many thanks!:-)
刚才尝试下用我此前的思路去求解下界，就是E(Z|Z>a) = \int_{a}^{\inf} p(z)z dz
/ P(Z>a),分子就是(1/sqrt(2*pi)) * exp(-a^2/2)，对于分母，用了一个比较easy的
上界，就是(1/sqrt(2*pi))*(1/a) * exp(-a^2/2)，结果就是E(Z|Z>a) > a
看来我这用的分母的这个bound太普通了，还需要更好一些的bound～～
ineq
【在 s*********y 的大作中提到】
: Yes, google "bound normal cdf" and you should find relavent
: things, or you can bound it by yourself by things like Markov, Chernoff ineq
: uality etc.
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p*****k
发帖数: 318 | |
l**********e
发帖数: 336 | 8 many thanks！
看来还是要用到normal的c.d.f / erf函数的 tight bound
这个要是不是记住bound的形式，一时半会的推导似乎太难了～～～
【在 p*****k 的大作中提到】
: see if this helps:
: http://www.mitbbs.com/article_t/Quant/31229189.html
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y***s
发帖数: 23 | 9 (1/a -1/a^3 ) (2\pi)^{-1/2} exp( -a^2/2) \leq
\Pr( N(0,1)>a)
\leq (1/a) (2\pi)^{-1/2} exp( -a^2/2)
So the upper bound is 1/(1/a -1/a^3)= a^3/(a^2 -1) ;
the low bound as in lovelyminie is a. |
