x*****i
发帖数: 287 | 1 How to show that when T > t,
max_{0 <= u <= T} w(u) - max_{0 <= u <= t} w(u)
is independent of F(t).
Of course, it should be 0 or max_{t <= u <= T} w(u).
But the second value is still depend on the previous value,
isn't it?
I am a little confused, and thanks a lot for explanation :) |
L**********u
发帖数: 194 | 2 Here is a heuristic explanation. Share with you. If there is some mistake,
please tell me.
Since W(u) is a Brownian motion,
{W(u)}_{t\in[t,T]} is independent of F(t).
On the other hand, max_{t <= u <= T} w(u) is "constant" with respect to F(t)
, denoted by f.
Therefore,
max_{0<= u <= T} w(u)-max_{0 <= u <= t} w(u)=
max_{u\in[t,T]}{(W(u)-f)^+} is independent of F(t). |
x*****i
发帖数: 287 | 3 "On the other hand, max_{t <= u <= T} w(u) is "constant" with respect to F(t
), denoted by f. "
should be "max_{0 <= u <= t} w(u)"?
Actually I am thinking why we could consider "max_{0 <= u <= t} w(u)" as a
constant wrt F(t).
It should be a function, alright? |
L**********u
发帖数: 194 | 4 en ,我从你的贴里考的，考错地方了。，:-)
(t
【在 x*****i 的大作中提到】
: "On the other hand, max_{t <= u <= T} w(u) is "constant" with respect to F(t
: ), denoted by f. "
: should be "max_{0 <= u <= t} w(u)"?
: Actually I am thinking why we could consider "max_{0 <= u <= t} w(u)" as a
: constant wrt F(t).
: It should be a function, alright?
|
L**********u
发帖数: 194 | 5 max_{0 <= u <= t} w(u)
关于F（t）是“constant” 很简单，因为这是F（t）是最大的sigma-algebra, 且
W（u） is F(t)-measurable for all u\in [0,t].
这就是简单的filtration的定义而已。
(t
【在 x*****i 的大作中提到】
: "On the other hand, max_{t <= u <= T} w(u) is "constant" with respect to F(t
: ), denoted by f. "
: should be "max_{0 <= u <= t} w(u)"?
: Actually I am thinking why we could consider "max_{0 <= u <= t} w(u)" as a
: constant wrt F(t).
: It should be a function, alright?
|
x*****i
发帖数: 287 | |
c**********s
发帖数: 295 | 7 lz, are you sure they are independent? |
L**********u
发帖数: 194 | |
L**********u
发帖数: 194 | |
c**********s
发帖数: 295 | 10 okay maybe I do not understand the question.
here is my understanding, w is a brownian motion, we are saying the max of w
from 0 to T minus the max of w from 0 to t does not depend on w from 0 to t
. is this the question?
say we have two scenarios, in both cases max_{0
the w(t) in scenario 1 is much smaller than that of scenario 2, are you
telling me the probability of max_{t
(u) are the same in these two scenarios? |
|
|
L**********u
发帖数: 194 | 11 没有看明白你说的问题。
w
t
}w
【在 c**********s 的大作中提到】
: okay maybe I do not understand the question.
: here is my understanding, w is a brownian motion, we are saying the max of w
: from 0 to T minus the max of w from 0 to t does not depend on w from 0 to t
: . is this the question?
: say we have two scenarios, in both cases max_{0: the w(t) in scenario 1 is much smaller than that of scenario 2, are you
: telling me the probability of max_{t: (u) are the same in these two scenarios?
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Q***5
发帖数: 994 | 12 W(u)- W(t) is independent of F(t), for u>t; W(u) is not.
Back to the original question, the conclusion is not right.
Let M(t) = max_{0<=u<=t} W(u), then the distribution of M(T)-M(t) depends on
M(t) and W(t).
Actually, using the standard reflection principle, you can derive the
following:
Prob(M(T)-M(t) = 0) = 1- 2 Prob ( X >= M(t)-W(t) ), where X is normal with
mean 0 and variance T-t
Prob(M(T)-M(t) >= a) = 2 Prob( X >= M(t)-W(t)+a), for a>0
t)
【在 L**********u 的大作中提到】
: Here is a heuristic explanation. Share with you. If there is some mistake,
: please tell me.
: Since W(u) is a Brownian motion,
: {W(u)}_{t\in[t,T]} is independent of F(t).
: On the other hand, max_{t <= u <= T} w(u) is "constant" with respect to F(t)
: , denoted by f.
: Therefore,
: max_{0<= u <= T} w(u)-max_{0 <= u <= t} w(u)=
: max_{u\in[t,T]}{(W(u)-f)^+} is independent of F(t).
|
L**********u
发帖数: 194 | 13 与君共同探讨， 你写都没有错。
但是怎么说明与F(t) 无关呢？
我的直觉告诉我
W(u)- W(t) is independent of F(t), for u>t; so is W(u).
我给一个证明的sketch：
我们要证的是：给定实数轴上any 闭区间I，
P{W（u）\in I |F（t）}=P{W(u)\in I}.
1,将W（u）写成W（u）=[W（u）-W（t）]+W（t）；
2， 由于W（u）-W（t）与F（t）无关，故 W（u）-W（t）+const 也与F（t）无关。
3，Approximating measurable function W(t) by simple functions, using 2,
我们可以证明W（u）-W（t）+simple function 与F（t）。
4，由于全空间的测度有限（概率空间）， 对于step 3可以取极限，取极限后还成立。
Done！
running the same machine, we can prove that the orignal problem is true.
这是我的直觉告诉我的。 抱歉，我没有把详细的证明写出来。与君共同探讨。
on
【在 Q***5 的大作中提到】
: W(u)- W(t) is independent of F(t), for u>t; W(u) is not.
: Back to the original question, the conclusion is not right.
: Let M(t) = max_{0<=u<=t} W(u), then the distribution of M(T)-M(t) depends on
: M(t) and W(t).
: Actually, using the standard reflection principle, you can derive the
: following:
: Prob(M(T)-M(t) = 0) = 1- 2 Prob ( X >= M(t)-W(t) ), where X is normal with
: mean 0 and variance T-t
: Prob(M(T)-M(t) >= a) = 2 Prob( X >= M(t)-W(t)+a), for a>0
:
|
Q***5
发帖数: 994 | 14 Are you saying that you prove that W(t) is independent of F(t)?
【在 L**********u 的大作中提到】
: 与君共同探讨， 你写都没有错。
: 但是怎么说明与F(t) 无关呢？
: 我的直觉告诉我
: W(u)- W(t) is independent of F(t), for u>t; so is W(u).
: 我给一个证明的sketch：
: 我们要证的是：给定实数轴上any 闭区间I，
: P{W（u）\in I |F（t）}=P{W(u)\in I}.
: 1,将W（u）写成W（u）=[W（u）-W（t）]+W（t）；
: 2， 由于W（u）-W（t）与F（t）无关，故 W（u）-W（t）+const 也与F（t）无关。
: 3，Approximating measurable function W(t) by simple functions, using 2,
|
L**********u
发帖数: 194 | 15 恩，lz的问题可以同样解决。
【在 Q***5 的大作中提到】
: Are you saying that you prove that W(t) is independent of F(t)?
|
r**a
发帖数: 536 | 16 你这里要证明的是下面的东西吗？
For an arbitrary Borel set I\in\R, let A={\omega\in\Omega | W_u(\omega)\in I
} and B=A\cap F_t, where \Omega is the measure space. U want to show that P
(A)=P(B), don't u?
如果是的话，我不认为这是对的。粗略的原因如下：根据filtration的定义，F(t)是使
得W_t可测的最小的sigma代数。如果上面的statement对的话，那么意味着F(u)=F(t)。
【在 L**********u 的大作中提到】
: 与君共同探讨， 你写都没有错。
: 但是怎么说明与F(t) 无关呢？
: 我的直觉告诉我
: W(u)- W(t) is independent of F(t), for u>t; so is W(u).
: 我给一个证明的sketch：
: 我们要证的是：给定实数轴上any 闭区间I，
: P{W（u）\in I |F（t）}=P{W(u)\in I}.
: 1,将W（u）写成W（u）=[W（u）-W（t）]+W（t）；
: 2， 由于W（u）-W（t）与F（t）无关，故 W（u）-W（t）+const 也与F（t）无关。
: 3，Approximating measurable function W(t) by simple functions, using 2,
|
L**********u
发帖数: 194 | 17 谁说filtration是最小的使得W（t）可测的sigma代数？
只有有W（t）generates的filtration才是。
这是两码事情。
^_^
I
P
F(u)=F(t)。
【在 r**a 的大作中提到】
: 你这里要证明的是下面的东西吗？
: For an arbitrary Borel set I\in\R, let A={\omega\in\Omega | W_u(\omega)\in I
: } and B=A\cap F_t, where \Omega is the measure space. U want to show that P
: (A)=P(B), don't u?
: 如果是的话，我不认为这是对的。粗略的原因如下：根据filtration的定义，F(t)是使
: 得W_t可测的最小的sigma代数。如果上面的statement对的话，那么意味着F(u)=F(t)。
|
L**********u
发帖数: 194 | 18 谁说filtration是使得W（t）可测的最小sigma-algebra?
只有当filtration F（t）由W（t）生成的时候，这种特殊的filtration才是最小的。
两个概念，哥们不要混淆了哟，:-) |
r**a
发帖数: 536 | 19
这个怎么of course出来地？ 看一下shreve II 314页，这个等于0 or max_{t <= u <=
T} w(u)-max_{0 <= u <= t} w(u).
BTW, I do not think this is independent of F(t).If this were true, then
according to the eq. above eq. 7.4.22 in shreve's book, we may conclude that
max_{0 <= u <= t} {w(u)-w(t)} is independent of F(t). I do not think this
is the truth.
【在 x*****i 的大作中提到】
: How to show that when T > t,
: max_{0 <= u <= T} w(u) - max_{0 <= u <= t} w(u)
: is independent of F(t).
: Of course, it should be 0 or max_{t <= u <= T} w(u).
: But the second value is still depend on the previous value,
: isn't it?
: I am a little confused, and thanks a lot for explanation :)
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L**********u
发帖数: 194 | 20 对呀，就是要证明条件概率和正常的无条件概率一样，
这是independent的定义呀。
不要说borel集了，怪吓人的。
我们假定的borel sigma-代数。其中的任何borel集都可以用开区间或者闭区间经过可
数次的交并差的运算得到，所以考虑其中在一个闭区间成立就ok了。
I
P
【在 r**a 的大作中提到】
: 你这里要证明的是下面的东西吗？
: For an arbitrary Borel set I\in\R, let A={\omega\in\Omega | W_u(\omega)\in I
: } and B=A\cap F_t, where \Omega is the measure space. U want to show that P
: (A)=P(B), don't u?
: 如果是的话，我不认为这是对的。粗略的原因如下：根据filtration的定义，F(t)是使
: 得W_t可测的最小的sigma代数。如果上面的statement对的话，那么意味着F(u)=F(t)。
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r**a
发帖数: 536 | 21 晕，难道这里的filtrabtion不是W(t)生产的？如果不是那你F(t)到底咋给的。
【在 L**********u 的大作中提到】
: 谁说filtration是使得W（t）可测的最小sigma-algebra?
: 只有当filtration F（t）由W（t）生成的时候，这种特殊的filtration才是最小的。
: 两个概念，哥们不要混淆了哟，:-)
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L**********u
发帖数: 194 | 22 lz 这种表述问题的错误就没有必要深究了。哈哈
<=
that
【在 r**a 的大作中提到】
: 晕，难道这里的filtrabtion不是W(t)生产的？如果不是那你F(t)到底咋给的。
|
r**a
发帖数: 536 | 23 你说说你的filtration是啥？如果它大的吓人的话，那么你的结论我相信是对的。但是
这个filtration一般就是取那个最小的sigma代数吧。或者换句话说，你的结论在
filtration是那个最小sigma代数的时候不成立，这个你同意不？
【在 L**********u 的大作中提到】
: 对呀，就是要证明条件概率和正常的无条件概率一样，
: 这是independent的定义呀。
: 不要说borel集了，怪吓人的。
: 我们假定的borel sigma-代数。其中的任何borel集都可以用开区间或者闭区间经过可
: 数次的交并差的运算得到，所以考虑其中在一个闭区间成立就ok了。
:
: I
: P
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L**********u
发帖数: 194 | 24 我更晕，你在装糊涂还是真糊涂。
这可是很重要的东西。
Girsanov定理种filtration是任意的都可以，
但是martingale 表示定理中filtration必须要是由W（t）生成的。
【在 r**a 的大作中提到】
: 晕，难道这里的filtrabtion不是W(t)生产的？如果不是那你F(t)到底咋给的。
|
r**a
发帖数: 536 | 25 你说的我当然知道了。问题是你要证明的那个结论里面的F(t)是啥？我问你，如果我就
取成最小的那个，那么你仍然认为你想证明的那个结果对吗？
【在 L**********u 的大作中提到】
: 我更晕，你在装糊涂还是真糊涂。
: 这可是很重要的东西。
: Girsanov定理种filtration是任意的都可以，
: 但是martingale 表示定理中filtration必须要是由W（t）生成的。
|
L**********u
发帖数: 194 | 26 为什么？
【在 r**a 的大作中提到】
: 你说说你的filtration是啥？如果它大的吓人的话，那么你的结论我相信是对的。但是
: 这个filtration一般就是取那个最小的sigma代数吧。或者换句话说，你的结论在
: filtration是那个最小sigma代数的时候不成立，这个你同意不？
|
L**********u
发帖数: 194 | 27 就是一个filtration呀，然后brownian motion is adapted to it.
【在 r**a 的大作中提到】
: 你说的我当然知道了。问题是你要证明的那个结论里面的F(t)是啥？我问你，如果我就
: 取成最小的那个，那么你仍然认为你想证明的那个结果对吗？
|
r**a
发帖数: 536 | 28 ok, that's ok. Now lets pick up the natual filtration generated by W(t)
itself. 然后你重新读读我的第一个帖子，不知道你是否同意里面的结论。
【在 L**********u 的大作中提到】
: 就是一个filtration呀，然后brownian motion is adapted to it.
|
L**********u
发帖数: 194 | 29 B=A\cup F_t 是B并上F（t）的意思？
如果是，做何解？
且为什么要证明你说的
P（A）=P（B）
这个东西？
I
P
【在 r**a 的大作中提到】
: 你这里要证明的是下面的东西吗？
: For an arbitrary Borel set I\in\R, let A={\omega\in\Omega | W_u(\omega)\in I
: } and B=A\cap F_t, where \Omega is the measure space. U want to show that P
: (A)=P(B), don't u?
: 如果是的话，我不认为这是对的。粗略的原因如下：根据filtration的定义，F(t)是使
: 得W_t可测的最小的sigma代数。如果上面的statement对的话，那么意味着F(u)=F(t)。
|
r**a
发帖数: 536 | 30 sorry, it should be \cap 交集
【在 L**********u 的大作中提到】
: B=A\cup F_t 是B并上F（t）的意思？
: 如果是，做何解？
: 且为什么要证明你说的
: P（A）=P（B）
: 这个东西？
:
: I
: P
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L**********u
发帖数: 194 | 31 ok, 交问题出在什么地方？
【在 r**a 的大作中提到】
: sorry, it should be \cap 交集
|
r**a
发帖数: 536 | 32 从面积的角度来说，A的面积已经等于A\cap F_t的面积了。你觉得这个合理吗？
【在 L**********u 的大作中提到】
: ok, 交问题出在什么地方？
|
L**********u
发帖数: 194 | 33 有什么不合理的，F（t）包含在F（u）中因为u>t |
L**********u
发帖数: 194 | 34 F(t)把整个空间化分得比F（u）粗一点，能从你的面积论断里得到毛病吗？ |
L**********u
发帖数: 194 | |
r**a
发帖数: 536 | 36 但是F_u里面的集合有些不再F_t里呀。我就取这样的一个集合A。那么现在你把sigma代
数取成F_t的话，那么这个集合根本不可测呀。也就是说A\cap F_t=\empty。难道我错
了？
【在 L**********u 的大作中提到】
: F(t)把整个空间化分得比F（u）粗一点，能从你的面积论断里得到毛病吗？
|
r**a
发帖数: 536 | 37 刚回了一个，突然发现你的新回帖。不太自信又查了一下：）
【在 L**********u 的大作中提到】
: 你回贴了吗？
|
L**********u
发帖数: 194 | 38 你为什么要求A包含在F（t）？
【在 r**a 的大作中提到】
: 但是F_u里面的集合有些不再F_t里呀。我就取这样的一个集合A。那么现在你把sigma代
: 数取成F_t的话，那么这个集合根本不可测呀。也就是说A\cap F_t=\empty。难道我错
: 了？
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r**a
发帖数: 536 | 39 我没有要求A包含在F_t中。我的意思是任取一个A\in F_u，那么有可能这个A并不在F_t
里面。如果此时我就取这样的A的话，你如何证明A在F_u下的测度等于A在F_t下的测度
？我的结论是A在F_t下不可测，所以A在F_u下的测度不等于A在F_t下的测度。这个结论
有错吗？
【在 L**********u 的大作中提到】
: 你为什么要求A包含在F（t）？
|
L**********u
发帖数: 194 | 40 我现在不能和你探讨了，我要下线回家了。明天再说 |
|
|
r**a
发帖数: 536 | 41 ok, no problem. Good night.
【在 L**********u 的大作中提到】
: 我现在不能和你探讨了，我要下线回家了。明天再说
|
r**a
发帖数: 536 | 42 昨天好像我对于conditional probability的定义理解的不准确。我查了一下wiki，这
玩意用conditional expectation of the indicator function来定义的。这样的话，
independent of F_t的话(就是说P(A)=P(A|F_t))会有下面的结论：对于任意F_u中的集
合A和F_t中的集合B，我们有P(A)P(B)=P(A\cap B).
上面这个结论在我们探讨的题目中不应该是对的，我可以取B such that A\cap B=\empty, but P(A) and P
(B) are not vanishing. It is against "P(A)P(B)=P(A\cap B)". So "P(A)P(B)=P(A\cap B)" should not be true in this case.
【在 L**********u 的大作中提到】
: 我现在不能和你探讨了，我要下线回家了。明天再说
|
L**********u
发帖数: 194 | 43 again,
你的这种理解还是不对。^_^
你不妨用你的理解来解释一下
W(u)-W(t) is independent of F(t) if u>t.
empty, but P(A) and P
(A\cap B)" should not be true in this case.
【在 r**a 的大作中提到】
: 昨天好像我对于conditional probability的定义理解的不准确。我查了一下wiki，这
: 玩意用conditional expectation of the indicator function来定义的。这样的话，
: independent of F_t的话(就是说P(A)=P(A|F_t))会有下面的结论：对于任意F_u中的集
: 合A和F_t中的集合B，我们有P(A)P(B)=P(A\cap B).
: 上面这个结论在我们探讨的题目中不应该是对的，我可以取B such that A\cap B=\empty, but P(A) and P
: (B) are not vanishing. It is against "P(A)P(B)=P(A\cap B)". So "P(A)P(B)=P(A\cap B)" should not be true in this case.
|
r**a
发帖数: 536 | 44 恩，我那个表述还是有问题。不过我先来回答你的这个问题“W(u)-W(t) is
independent of F(t) if u>t”
我们令X_u(\omega)=W_u(\omega)-W_t(\omega). 那么此时A\in F_u的选取需要使得X_u
可测，也就是说要同时满足W_u可测和W_t可测，那么实际上需要A\in F_t\subset F_u.
这样E(1_A|F_t)=1_A itself. So now \int_B E(1_A|F_t) dP(\omega)=\int_B 1_A
dP(\omega)=P(A\cap B) =\int_B P(1_A)(\omega) dP(\omega), where P(1_A)=E(1_A|
F_u)(\omega) is a constant function of \omega\in A. Further, since A\in F_t
, so we can conclude that E(1_A|F_u)(\omega)=E(1_A|F_t)(\omega)
关于你最原始的问题“W(u) is independent of F(t)"。我的理解如下：
这个问题等价于要证明E(1_A|F_u)(\omega)=E(1_A|F_t)(\omega）, where A is an
arbitrary set in F_u, and \omega\in A. 我的理解是 F_t\subset F_u, so I
choose a special A \in F_u but not in F_t. Thus E(1_A|F_u) is defined on the
whole A, but E(1_A|F_t) can't be defined on the whole A since A is not
measurable now under F_t.
【在 L**********u 的大作中提到】
: again,
: 你的这种理解还是不对。^_^
: 你不妨用你的理解来解释一下
: W(u)-W(t) is independent of F(t) if u>t.
:
: empty, but P(A) and P
: (A\cap B)" should not be true in this case.
|
L**********u
发帖数: 194 | 45 X=W(u)-W(t)是一个F(u)-可测的随机变量。
我认为你的解释太牵强。
_u
u.
A|
_t
【在 r**a 的大作中提到】
: 恩，我那个表述还是有问题。不过我先来回答你的这个问题“W(u)-W(t) is
: independent of F(t) if u>t”
: 我们令X_u(\omega)=W_u(\omega)-W_t(\omega). 那么此时A\in F_u的选取需要使得X_u
: 可测，也就是说要同时满足W_u可测和W_t可测，那么实际上需要A\in F_t\subset F_u.
: 这样E(1_A|F_t)=1_A itself. So now \int_B E(1_A|F_t) dP(\omega)=\int_B 1_A
: dP(\omega)=P(A\cap B) =\int_B P(1_A)(\omega) dP(\omega), where P(1_A)=E(1_A|
: F_u)(\omega) is a constant function of \omega\in A. Further, since A\in F_t
: , so we can conclude that E(1_A|F_u)(\omega)=E(1_A|F_t)(\omega)
: 关于你最原始的问题“W(u) is independent of F(t)"。我的理解如下：
: 这个问题等价于要证明E(1_A|F_u)(\omega)=E(1_A|F_t)(\omega）, where A is an
|
L**********u
发帖数: 194 | 46 你的这个argument在于对于independent的理解有些含混。
（maybe是我的理解有问题）
看shreve书II P54 definition 2.2.1.
讨论独立性的时候，是在同一个概率空间。
对于Brownian motion和filtration
来说，每一个sub sigma-algebra F（t）都是概率空间sigma代数的子代数。故，你在算概
率的时候，要把该集合看作是概率空间sigma代数的元。
empty, but P(A) and P
(A\cap B)" should not be true in this case.
【在 r**a 的大作中提到】
: 昨天好像我对于conditional probability的定义理解的不准确。我查了一下wiki，这
: 玩意用conditional expectation of the indicator function来定义的。这样的话，
: independent of F_t的话(就是说P(A)=P(A|F_t))会有下面的结论：对于任意F_u中的集
: 合A和F_t中的集合B，我们有P(A)P(B)=P(A\cap B).
: 上面这个结论在我们探讨的题目中不应该是对的，我可以取B such that A\cap B=\empty, but P(A) and P
: (B) are not vanishing. It is against "P(A)P(B)=P(A\cap B)". So "P(A)P(B)=P(A\cap B)" should not be true in this case.
|
r**a
发帖数: 536 | 47 我疑惑了。似乎我写的确实有些地方不对，不过没弄美白哪里不对。
但是我仍然不认为你要证明的结论是对的。我们来假设W(u)独立于F_t。按照Shreve的
定义，这个意思实际上是说F_u和F_t是独立的，这个又等价于W(u)和W(t)独立，因为这
里F_u和F_t是W(u)和W(t)生成的。但是Cov(W(u)W(t))=t (if u>t)。
在算概
【在 L**********u 的大作中提到】
: 你的这个argument在于对于independent的理解有些含混。
: （maybe是我的理解有问题）
: 看shreve书II P54 definition 2.2.1.
: 讨论独立性的时候，是在同一个概率空间。
: 对于Brownian motion和filtration
: 来说，每一个sub sigma-algebra F（t）都是概率空间sigma代数的子代数。故，你在算概
: 率的时候，要把该集合看作是概率空间sigma代数的元。
:
: empty, but P(A) and P
: (A\cap B)" should not be true in this case.
|
r**a
发帖数: 536 | 48 似乎我这个理解是对的。至于你的那个问题关于“W(u)-W(t) is independent of F_t"
。这个可以解释如下:
Since W_(u)-W(t) is independent of W(t), so the sigma alg generated by W(u)-
W(t) is independent of F_t. This means W(u)-W(t) is independent of F_t.
empty, but P(A) and P
(A\cap B)" should not be true in this case.
【在 r**a 的大作中提到】
: 昨天好像我对于conditional probability的定义理解的不准确。我查了一下wiki，这
: 玩意用conditional expectation of the indicator function来定义的。这样的话，
: independent of F_t的话(就是说P(A)=P(A|F_t))会有下面的结论：对于任意F_u中的集
: 合A和F_t中的集合B，我们有P(A)P(B)=P(A\cap B).
: 上面这个结论在我们探讨的题目中不应该是对的，我可以取B such that A\cap B=\empty, but P(A) and P
: (B) are not vanishing. It is against "P(A)P(B)=P(A\cap B)". So "P(A)P(B)=P(A\cap B)" should not be true in this case.
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L**********u
发帖数: 194 | 49 这个argument看起来make sense。
我得仔细想想。谢谢了。
【在 r**a 的大作中提到】
: 我疑惑了。似乎我写的确实有些地方不对，不过没弄美白哪里不对。
: 但是我仍然不认为你要证明的结论是对的。我们来假设W(u)独立于F_t。按照Shreve的
: 定义，这个意思实际上是说F_u和F_t是独立的，这个又等价于W(u)和W(t)独立，因为这
: 里F_u和F_t是W(u)和W(t)生成的。但是Cov(W(u)W(t))=t (if u>t)。
:
: 在算概
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r**a
发帖数: 536 | 50 不用那么客气，和你探讨我也学了很多东西：）
【在 L**********u 的大作中提到】
: 这个argument看起来make sense。
: 我得仔细想想。谢谢了。
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