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Quant版 - W(t/2) + W(t) is a martingale ?
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1 (共1页)
c**a
发帖数: 316
1
how to (dis)prove?
l*******l
发帖数: 248
2
求导,看有没有dt
x********o
发帖数: 519
3
use definition

【在 c**a 的大作中提到】
: how to (dis)prove?
c**a
发帖数: 316
4
I think we can disprove it.
E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2)
=E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2)
=E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2)
Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero.
B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero.
B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero.
If we take the derivative we have
0.5dw(t/2) +dw(t)
since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale.
l*******l
发帖数: 248
5
t/2和t有什么不一样?
A*****s
发帖数: 13748
6
怎么对brownian motion求导?!

【在 l*******l 的大作中提到】
: 求导,看有没有dt
a**n
发帖数: 3801
7
应该是conditional on filtration (当前所有的信息),不是当前值
E[W_t|F_s]=W_s
E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
【在 c**a 的大作中提到】
: I think we can disprove it.
: E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2)
: =E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2)
: =E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2)
: Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero.
: B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero.
: B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero.
: If we take the derivative we have
: 0.5dw(t/2) +dw(t)
: since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale.

r*******y
发帖数: 1081
8
so it is not a martingale.
it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
W(t/2) is not a martingale.

【在 a**n 的大作中提到】
: 应该是conditional on filtration (当前所有的信息),不是当前值
: E[W_t|F_s]=W_s
: E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
A*****s
发帖数: 13748
9
ill-defined problem
did not define the information structure, did not define the current time

【在 r*******y 的大作中提到】
: so it is not a martingale.
: it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
: W(t/2) is not a martingale.

a**n
发帖数: 3801
10
martingale都是相对于一个information set而言的
如果你的information来自于W_t, 那X_t=W_{t/2}当然不是martingale

【在 r*******y 的大作中提到】
: so it is not a martingale.
: it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
: W(t/2) is not a martingale.

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k**u
发帖数: 60
11
W(t/2)=sqrt(1/2) W(t)
but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration
generated by W(t) exactly.
不过, 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale.
纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。
A*****s
发帖数: 13748
12

why?
w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)]
w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的
你说的那个是volatility的关系吧?

【在 k**u 的大作中提到】
: W(t/2)=sqrt(1/2) W(t)
: but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration
: generated by W(t) exactly.
: 不过, 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale.
: 纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。

k**u
发帖数: 60
13
W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊,
这里不是要求W(t/2)的导么~, 你这样化,还是要求W(t/2)的。
W(t/2)对于对W(t)做了个time change, 具体thoerom是:
Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and
dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t);
then the process W(f(t)) is a week solution.
我刚想了,W(t/2) + W(t) 应该不是mtg.
W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2},
W(t) is a mtg w.r.t. F_t;
貌似filtration 不能乱加,所以不是。。。

【在 A*****s 的大作中提到】
:
: why?
: w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)]
: w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的
: 你说的那个是volatility的关系吧?

A*****s
发帖数: 13748
14
能问一下么,你们老说的这个对W(t)求导,是求dW(t)么?
求导按理说是dW(t)/dt,明显不存在啊。。。几天之内看见两次,彻底晕了。。。
另外这个theorem是SDE里的么?严重需要复习。。。谢谢!

【在 k**u 的大作中提到】
: W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊,
: 这里不是要求W(t/2)的导么~, 你这样化,还是要求W(t/2)的。
: W(t/2)对于对W(t)做了个time change, 具体thoerom是:
: Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and
: dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t);
: then the process W(f(t)) is a week solution.
: 我刚想了,W(t/2) + W(t) 应该不是mtg.
: W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2},
: W(t) is a mtg w.r.t. F_t;
: 貌似filtration 不能乱加,所以不是。。。

D********n
发帖数: 978
15
大家的说法是“按理”的,你的说法不“按理”。

【在 A*****s 的大作中提到】
: 能问一下么,你们老说的这个对W(t)求导,是求dW(t)么?
: 求导按理说是dW(t)/dt,明显不存在啊。。。几天之内看见两次,彻底晕了。。。
: 另外这个theorem是SDE里的么?严重需要复习。。。谢谢!

A*****s
发帖数: 13748
16
就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。
这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate

【在 D********n 的大作中提到】
: 大家的说法是“按理”的,你的说法不“按理”。
a**n
发帖数: 3801
17
其实都是积分。。。嘿嘿

【在 A*****s 的大作中提到】
: 就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。
: 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate

A*****s
发帖数: 13748
18
re...所以听见求导很ft。。。

【在 a**n 的大作中提到】
: 其实都是积分。。。嘿嘿
k**u
发帖数: 60
19
就是这意思~

【在 A*****s 的大作中提到】
: 就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。
: 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate

A*****s
发帖数: 13748
20
那个theorem是在什么书里的?shreve里没有吧?SDE的书里有么?

【在 k**u 的大作中提到】
: 就是这意思~
k**u
发帖数: 60
21
不记得哪儿看到了,SDE的里面肯定有。
let c be a constant,
B(ct)的variance 是sqrt(c) *t;
sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance,
根据levy charactization of brownian motion
B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution.
so dB(ct)=sqrt(c)dB(t)
将ct换成f(t)就是证明。
不过更复杂点。。。

【在 A*****s 的大作中提到】
: 那个theorem是在什么书里的?shreve里没有吧?SDE的书里有么?
A*****s
发帖数: 13748
22
好,多谢!

【在 k**u 的大作中提到】
: 不记得哪儿看到了,SDE的里面肯定有。
: let c be a constant,
: B(ct)的variance 是sqrt(c) *t;
: sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance,
: 根据levy charactization of brownian motion
: B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution.
: so dB(ct)=sqrt(c)dB(t)
: 将ct换成f(t)就是证明。
: 不过更复杂点。。。

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