c**a
发帖数: 316 | |
l*******l
发帖数: 248 | |
x********o
发帖数: 519 | 3 use definition
【在 c**a 的大作中提到】
: how to (dis)prove?
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c**a
发帖数: 316 | 4 I think we can disprove it.
E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2)
=E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2)
=E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2)
Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero.
B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero.
B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero.
If we take the derivative we have
0.5dw(t/2) +dw(t)
since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale. |
l*******l
发帖数: 248 | |
A*****s
发帖数: 13748 | 6 怎么对brownian motion求导？！
【在 l*******l 的大作中提到】
: 求导，看有没有dt
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a**n
发帖数: 3801 | 7 应该是conditional on filtration (当前所有的信息），不是当前值
E[W_t|F_s]=W_s
E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
【在 c**a 的大作中提到】
: I think we can disprove it.
: E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2)
: =E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2)
: =E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2)
: Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero.
: B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero.
: B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero.
: If we take the derivative we have
: 0.5dw(t/2) +dw(t)
: since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale.
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r*******y
发帖数: 1081 | 8 so it is not a martingale.
it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
W(t/2) is not a martingale.
【在 a**n 的大作中提到】
: 应该是conditional on filtration (当前所有的信息），不是当前值
: E[W_t|F_s]=W_s
: E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
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A*****s
发帖数: 13748 | 9 ill-defined problem
did not define the information structure, did not define the current time
【在 r*******y 的大作中提到】
: so it is not a martingale.
: it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
: W(t/2) is not a martingale.
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a**n
发帖数: 3801 | 10 martingale都是相对于一个information set而言的
如果你的information来自于W_t， 那X_t=W_{t/2}当然不是martingale
【在 r*******y 的大作中提到】
: so it is not a martingale.
: it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
: W(t/2) is not a martingale.
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k**u
发帖数: 60 | 11 W(t/2)=sqrt(1/2) W(t)
but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration
generated by W(t) exactly.
不过， 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale.
纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。 |
A*****s
发帖数: 13748 | 12
why?
w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)]
w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的
你说的那个是volatility的关系吧？
【在 k**u 的大作中提到】
: W(t/2)=sqrt(1/2) W(t)
: but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration
: generated by W(t) exactly.
: 不过， 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale.
: 纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。
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k**u
发帖数: 60 | 13 W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊，
这里不是要求W(t/2)的导么~， 你这样化，还是要求W(t/2)的。
W(t/2)对于对W(t)做了个time change， 具体thoerom是：
Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and
dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t);
then the process W(f(t)) is a week solution.
我刚想了，W(t/2) + W(t) 应该不是mtg.
W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2},
W(t) is a mtg w.r.t. F_t;
貌似filtration 不能乱加，所以不是。。。
【在 A*****s 的大作中提到】
:
: why?
: w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)]
: w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的
: 你说的那个是volatility的关系吧？
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A*****s
发帖数: 13748 | 14 能问一下么，你们老说的这个对W(t)求导，是求dW(t)么？
求导按理说是dW(t)/dt，明显不存在啊。。。几天之内看见两次，彻底晕了。。。
另外这个theorem是SDE里的么？严重需要复习。。。谢谢！
【在 k**u 的大作中提到】
: W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊，
: 这里不是要求W(t/2)的导么~， 你这样化，还是要求W(t/2)的。
: W(t/2)对于对W(t)做了个time change， 具体thoerom是：
: Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and
: dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t);
: then the process W(f(t)) is a week solution.
: 我刚想了，W(t/2) + W(t) 应该不是mtg.
: W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2},
: W(t) is a mtg w.r.t. F_t;
: 貌似filtration 不能乱加，所以不是。。。
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D********n
发帖数: 978 | 15 大家的说法是“按理”的，你的说法不“按理”。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 能问一下么，你们老说的这个对W(t)求导，是求dW(t)么？
: 求导按理说是dW(t)/dt，明显不存在啊。。。几天之内看见两次，彻底晕了。。。
: 另外这个theorem是SDE里的么？严重需要复习。。。谢谢！
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A*****s
发帖数: 13748 | 16 就是说大家把dW(t)叫做求导咯？终于明白了。。。
这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
【在 D********n 的大作中提到】
: 大家的说法是“按理”的，你的说法不“按理”。
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a**n
发帖数: 3801 | 17 其实都是积分。。。嘿嘿
【在 A*****s 的大作中提到】
: 就是说大家把dW(t)叫做求导咯？终于明白了。。。
: 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
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A*****s
发帖数: 13748 | 18 re...所以听见求导很ft。。。
【在 a**n 的大作中提到】
: 其实都是积分。。。嘿嘿
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k**u
发帖数: 60 | 19 就是这意思~
【在 A*****s 的大作中提到】
: 就是说大家把dW(t)叫做求导咯？终于明白了。。。
: 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
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A*****s
发帖数: 13748 | 20 那个theorem是在什么书里的？shreve里没有吧？SDE的书里有么？
【在 k**u 的大作中提到】
: 就是这意思~
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k**u
发帖数: 60 | 21 不记得哪儿看到了，SDE的里面肯定有。
let c be a constant,
B(ct)的variance 是sqrt(c) *t;
sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance，
根据levy charactization of brownian motion
B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution.
so dB(ct)=sqrt(c)dB(t)
将ct换成f(t)就是证明。
不过更复杂点。。。
【在 A*****s 的大作中提到】
: 那个theorem是在什么书里的？shreve里没有吧？SDE的书里有么？
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A*****s
发帖数: 13748 | 22 好，多谢！
【在 k**u 的大作中提到】
: 不记得哪儿看到了，SDE的里面肯定有。
: let c be a constant,
: B(ct)的variance 是sqrt(c) *t;
: sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance，
: 根据levy charactization of brownian motion
: B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution.
: so dB(ct)=sqrt(c)dB(t)
: 将ct换成f(t)就是证明。
: 不过更复杂点。。。
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