w********9
发帖数: 8613 | 1
我错了。至少有一种对称性。
这个不行。
只有120度的转动对称。
（顶1色）+（3x10=8x3+2x3）+（底色）。
要保持这种对称，均等地用8色不行。
这个确实是。应该是唯一的一种吧？ |
t******l
发帖数: 10908 | 2 有一些对称的中心不在红色块或者任何色块。举两个单环的例子：
四块红色在矢状面环上，顶部底部一对，前面后面一对，五角六角随意，但每对连线都
过球心，该环有三个 180 度对称轴。
依次类推，你还可以找出不通过球心的切环，放四个红色，轴对称，不过这个只有一个
180 度对称。比如一个例子是，找两相近五角，然后左上左下右上右下找四个六角，
上红色，有 180 度旋转对称，转轴不通过任何色块。
等等。还是要一个一个环过来才不容易遗漏。
不过我举这个例子的意思，是好比打算术基础时，一个一个数数很重要，虽然五个以下
其实也不用数，看一眼就行。
放在这里是一个环一个环的切，先单环，然后两环。
而不是真的要娃算这么复杂的东西。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 我错了。至少有一种对称性。
: 这个不行。
: 只有120度的转动对称。
: （顶1色）+（3x10=8x3+2x3）+（底色）。
: 要保持这种对称，均等地用8色不行。
: 这个确实是。应该是唯一的一种吧？
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t******l
发帖数: 10908 | 3 其实对于单环四点 90 度旋转对称的可能性，得要么找到，要么排除。这也是体力活不
是？
【在 t******l 的大作中提到】
: 有一些对称的中心不在红色块或者任何色块。举两个单环的例子：
: 四块红色在矢状面环上，顶部底部一对，前面后面一对，五角六角随意，但每对连线都
: 过球心，该环有三个 180 度对称轴。
: 依次类推，你还可以找出不通过球心的切环，放四个红色，轴对称，不过这个只有一个
: 180 度对称。比如一个例子是，找两相近五角，然后左上左下右上右下找四个六角，
: 上红色，有 180 度旋转对称，转轴不通过任何色块。
: 等等。还是要一个一个环过来才不容易遗漏。
: 不过我举这个例子的意思，是好比打算术基础时，一个一个数数很重要，虽然五个以下
: 其实也不用数，看一眼就行。
: 放在这里是一个环一个环的切，先单环，然后两环。
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t*******d
发帖数: 12895 | 4
刷了第三种颜色120度的转动对称就消失了
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 我错了。至少有一种对称性。
: 这个不行。
: 只有120度的转动对称。
: （顶1色）+（3x10=8x3+2x3）+（底色）。
: 要保持这种对称，均等地用8色不行。
: 这个确实是。应该是唯一的一种吧？
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t*******d
发帖数: 12895 | 5 这些 180 度对称轴都是过 两六边形共边中心和球心的
【在 t******l 的大作中提到】
: 有一些对称的中心不在红色块或者任何色块。举两个单环的例子：
: 四块红色在矢状面环上，顶部底部一对，前面后面一对，五角六角随意，但每对连线都
: 过球心，该环有三个 180 度对称轴。
: 依次类推，你还可以找出不通过球心的切环，放四个红色，轴对称，不过这个只有一个
: 180 度对称。比如一个例子是，找两相近五角，然后左上左下右上右下找四个六角，
: 上红色，有 180 度旋转对称，转轴不通过任何色块。
: 等等。还是要一个一个环过来才不容易遗漏。
: 不过我举这个例子的意思，是好比打算术基础时，一个一个数数很重要，虽然五个以下
: 其实也不用数，看一眼就行。
: 放在这里是一个环一个环的切，先单环，然后两环。
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w********9
发帖数: 8613 | 6 单一颜色的球，只有三种转轴。它们的最小转动角度分别是（绕五边形中心的）72度，
（绕六边形中心的）120度和（绕六边形边界中线的）180度。
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefirocorrection/__Zefiro-Ardi
见Figure 15
对眼下的情况，就只剩下首篇里提到的那种对称性，也就是（绕六边形边界中线的）
180度的对称性了。 |
t******l
发帖数: 10908 | 7 三个红色刷相邻的三个五角，然后第四个红色放当中六角（或者该六角的球对面
的六角），还能够保持 120 度旋转对称。
这里的 tricky 是第四块红色放在转动轴上。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 这些 180 度对称轴都是过 两六边形共边中心和球心的
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t******l
发帖数: 10908 | 8 这个链接对 Icosahedral 啥的很详尽。谢谢。
【在 w********9 的大作中提到】
: 单一颜色的球，只有三种转轴。它们的最小转动角度分别是（绕五边形中心的）72度，
: （绕六边形中心的）120度和（绕六边形边界中线的）180度。
: http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefirocorrection/__Zefiro-Ardi
: 见Figure 15
: 对眼下的情况，就只剩下首篇里提到的那种对称性，也就是（绕六边形边界中线的）
: 180度的对称性了。
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t*******d
发帖数: 12895 | 9 一种颜色刷四个面，刷完两种还能够保持 120 度旋转对称
刷完三种就没了
【在 t******l 的大作中提到】
: 三个红色刷相邻的三个五角，然后第四个红色放当中六角（或者该六角的球对面
: 的六角），还能够保持 120 度旋转对称。
: 这里的 tricky 是第四块红色放在转动轴上。
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t******l
发帖数: 10908 | 10 对称性不是指全涂色完毕后对称，而是指刷完四块红色后的对称。
因为刷完四块红色后，如果是 120 度旋转对称的情况，这时候
要么（1）用第二种颜色把在转动轴的横向环上 anchor 住球连
转都不让转。要么（2）就直接在空间固定，假设不转，计算剩下
的面上的所有的排列组合，然后去掉 120 度旋转造成的重复计入。
用 whichever is easier 的办法。一般用 （1）多一些。
这样可以尽快进入用排列公式（在线性结构上的），或者说足球面
可以 indexable 了，即使存在有限的重复计入。
否则一直 decision tree 走下去的话，计算量比较大。
也就是说，只要 rotation & anchor 住环了，就可以上线型
结构上的排列公式加速直接出子树部分的结果了。
当然，特殊面可能要先处理一下，比如在转动轴上的面，先
color 一下。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 一种颜色刷四个面，刷完两种还能够保持 120 度旋转对称
: 刷完三种就没了
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w********9
发帖数: 8613 | 11 大约有32！/（4！）^8-16!/2^8=2.4x10^24个非对称性的染色。
对称性染色的总数的数量级下限是16!/2^8/(15个对称轴x2） = 27亿。 |
t******l
发帖数: 10908 | 12 赞！
【在 w********9 的大作中提到】
: 大约有32！/（4！）^8-16!/2^8=2.4x10^24个非对称性的染色。
: 对称性染色的总数的数量级下限是16!/2^8/(15个对称轴x2） = 27亿。
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t*******d
发帖数: 12895 | 13 赞, 但目测off得厉害
【在 w********9 的大作中提到】
: 大约有32！/（4！）^8-16!/2^8=2.4x10^24个非对称性的染色。
: 对称性染色的总数的数量级下限是16!/2^8/(15个对称轴x2） = 27亿。
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w********9
发帖数: 8613 | 14
非对称的情况应该是比较准的。
对有对称的情况，我更关下限的量级，因此估计保守些。上限是那个下限乘15。实际情
况应该更接近上限，主要是这里的旋转对称性一般非常弱。也就是说，那个下限是可以
上提很多的。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 赞, 但目测off得厉害
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t*******d
发帖数: 12895 | 15 用潮水上次的例子：立方体6面刷6种颜色
用你的方法套一下就知道了
【在 w********9 的大作中提到】
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: 非对称的情况应该是比较准的。
: 对有对称的情况，我更关下限的量级，因此估计保守些。上限是那个下限乘15。实际情
: 况应该更接近上限，主要是这里的旋转对称性一般非常弱。也就是说，那个下限是可以
: 上提很多的。
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w********9
发帖数: 8613 | 16
那些估计是专对眼下的球的情况。就是由于单有的对称性也极差，才能那样估计。
【在 t*******d 的大作中提到】
: 用潮水上次的例子：立方体6面刷6种颜色
: 用你的方法套一下就知道了
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