o*******w
发帖数: 349 | 1 我们知道微分方程
du/dt = f(u)
{ －－－－－－－－ (1)
u(0) = u0 初始条件
有唯一解, 如果 f 足够光滑。
所谓唯一解也可以表达为解对初始条件连续
（i.e. if | u0' - u0 | < Δ, then | u(t)' - u(t) | < L*Δ, given the same f)
现在有
d E{U(t+1)} = f (u(t)) 这跟上面的(1)在形式上差不多, 但这里U(t+1)是一个随
机变量，其变化范围是 O(1), 比如 Poisson 分布
因此 u(t) =(1/N) * [ U(0) + U(1) + ... U(t) ] , scaled U(i), 也是一个随机
变量。U(0) + U(1) + ... U(t) 满足 concentrating 的条件，也即
以很高的概率在它的均值周围变化（formally, 可参考large deviation theory, 或者
concentration inequalities, 或 Chernoff bound）。
取Expectation, 我们有
d = E f(u) 或 d/dt = E f(u) 这里E和 <.> 都表示均值
{
u(0) = u0
Informally, E u(t) 就是微分方程(1)的解，我想证明唯一性（当然我真正想要的是
对初始条件的连续性）。
好像目前的随机微分方程(SDE)的理论不适用这类问题，因为（1） 这里分布是任意的
。 目前的SDE假设normal distribution, 也就是Brownian process，否则不好处理。我
这里分布是任意的，但有一个concentration 的有利条件。（2）这点是关键, 我只对
均值感兴趣，即 (t). 这使问题更加简单了吧。
总而言之，我想要的是证明(t) 的唯一 （或解对边界条件连续）。目前还没有一个
理论处理这类问题，intuitively, 似乎很straight。 | L*******t
发帖数: 2385 | 2 对你的方程两边从t到T求积分，就是个BSDE
你去查查相关的BSDE的文献。
El Karoui, Quenez, Peng 1997是个很好的参考文献。
f)
个随
【在 o*******w 的大作中提到】
: 我们知道微分方程
: du/dt = f(u)
: { －－－－－－－－ (1)
: u(0) = u0 初始条件
: 有唯一解, 如果 f 足够光滑。
: 所谓唯一解也可以表达为解对初始条件连续
: （i.e. if | u0' - u0 | < Δ, then | u(t)' - u(t) | < L*Δ, given the same f)
: 现在有
: d E{U(t+1)} = f (u(t)) 这跟上面的(1)在形式上差不多, 但这里U(t+1)是一个随
: 机变量，其变化范围是 O(1), 比如 Poisson 分布
| o*******w
发帖数: 349 | 3 谢谢Leinhardt 指教。
昨天做了点调研，小结如下（很粗，也很不formal， 请指正）
（1）BSDE 和 SDE 的描述对象是一个随机过程，如，
t
Y(t) = ... + ∫ f(s, Y(s) )dWs 其中 Wt 是 一个 随机过程，一般都
0
假设是Wiener 过程, 也叫Brownian 过程.
而ODE（ordinary differential equation)
t
Y(t) = ... + ∫ f(s, Y(s) )ds 其中所涉及的函数都是确定性的
0
描述的对象是确定过程（废话). 所用工具也不能通用。我所遇到的问题，如前所述，
是介于两者之间，我称之为"准"确定过程（方便起见）；虽然说是一个随机过程，但其所
涉及的概率分布基本无关紧要，因为这个过程是concentrating (集中）在均值的。从
方程也可以看出，所关心的是 (均值)。因此更接近ODE. 然而麻烦的是ODE的理
论还不能直接用。
（2）解的唯一性是不动点机理，大致的，令
T(u(t) ) = ... + ∫ f(s, u(s) )ds
（由 the ODE, 可知 u(t) = T(u(t) ) ）。
T是一个contraction mapping (压缩映射）, 当 f 满足局部 Lipschitz bounded 条件
|| T(u(t) ) - T(v(t) ) || < ρ || u(t) - v(t) ||
= ρ || T u(t) - T v(t) ||
< ρ^2 || u(t) - v(t) || < ... ρ^n || T u(t) - T v(t) || ．．．
= 0 （ρ ＜ １）
=> ｕ= ｖ
如果要证解对初始条件连续，可能会这样：对初始条件 u(0)= x0 的解 u(t)，和初始
条件 v(0)=x' 的解 v(t)
|| u(t) ) - v(t) ) || = |x0 - x'| + || Tu(t) - Tv(t) ||
< |x0 - x'| + ρ||u(t) - v(t) ||
= |x0 - x'| + ρ (|x0 - x'| + || Tu(t) - Tv(t) || )
< |x0 - x'| + ρ|x0 - x'| + ．．．
< |x0 - x'| + ρ|x0 - x'| + ρ^2|x0 - x'|... = |x0 - x'|/(1-ρ)
(3) 对于“准”确定过程，虽然ODE的理论不能用，但方案可以借鉴。我设想的
contraction mapping 大概会是 (Ti, Ei)，即求均值和求积分的组合(可以
假设martingale条件)。这是下一步的工作。具体一点，目标就是
|| E u(t) ) - E v(t) ) ||
< ．．．
< |x0 - x'| + ρ|x0 - x'| + ρ^2|x0 - x'|...
= |x0 - x'|/(1-ρ)
还望多多指点; 给点关键词也行。
【在 L*******t 的大作中提到】
: 对你的方程两边从t到T求积分，就是个BSDE
: 你去查查相关的BSDE的文献。
: El Karoui, Quenez, Peng 1997是个很好的参考文献。
:
: f)
: 个随
| o*******w
发帖数: 349 | 4 好像行了：T (u) := ... + E ∫ f(s, u(s) )ds
We have, Eu = T(u)
... Bla bla ...
【在 o*******w 的大作中提到】
: 谢谢Leinhardt 指教。
: 昨天做了点调研，小结如下（很粗，也很不formal， 请指正）
: （1）BSDE 和 SDE 的描述对象是一个随机过程，如，
: t
: Y(t) = ... + ∫ f(s, Y(s) )dWs 其中 Wt 是 一个 随机过程，一般都
: 0
: 假设是Wiener 过程, 也叫Brownian 过程.
: 而ODE（ordinary differential equation)
: t
: Y(t) = ... + ∫ f(s, Y(s) )ds 其中所涉及的函数都是确定性的
| L*******t
发帖数: 2385 | 5 就沿着你的思路，做contraction mapping和picard iteration
这个是证明存在唯一性的利器：）
【在 o*******w 的大作中提到】
: 好像行了：T (u) := ... + E ∫ f(s, u(s) )ds
: We have, Eu = T(u)
: ... Bla bla ...
| o*******w
发帖数: 349 | 6 Picard iteration 不行了，因为只能证明局部uniqueness。当然在确定情形下，反复
用多次也可以将唯一性extend到大区间（多个小区间连起来就行）。但用于我这种带随
机的情形看来不大行，因为只有第一个区间有初始点。
于是又找了一个方法，用Gronwall‘s inequality来证明解dependent continuously
on 初始条件。
Gronwall‘s inequality 方法不需要小区间的限制，而需要全局 Lipschitz
continuous，这个我满足。
下一步就是要看看能不能用于随机情况。
Ref:
http://www.math.colostate.edu/~pauld/M345/Some%20theory.pdf
【在 L*******t 的大作中提到】
: 就沿着你的思路，做contraction mapping和picard iteration
: 这个是证明存在唯一性的利器：）
| o*******w
发帖数: 349 | 7 Proof: t
| - | < |u0 - v0| + |E ∫ [f(u) - f(v) ] ds |
0
= |u0 - v0| + ∫ | f() - f() + Var(u) - Var(v) |ds
= |u0 - v0| + ∫ | f() - f()| ds
(Var(u) ~ o(1) due to concentration)
= |u0 - v0| + L∫ | - | ds
由 Gronwall‘s inequality
| u(t) - v(t) | < |u0 - v0|* exp{M | t-0| }
【在 o*******w 的大作中提到】
: Picard iteration 不行了，因为只能证明局部uniqueness。当然在确定情形下，反复
: 用多次也可以将唯一性extend到大区间（多个小区间连起来就行）。但用于我这种带随
: 机的情形看来不大行，因为只有第一个区间有初始点。
: 于是又找了一个方法，用Gronwall‘s inequality来证明解dependent continuously
: on 初始条件。
: Gronwall‘s inequality 方法不需要小区间的限制，而需要全局 Lipschitz
: continuous，这个我满足。
: 下一步就是要看看能不能用于随机情况。
: Ref:
: http://www.math.colostate.edu/~pauld/M345/Some%20theory.pdf
| L*******t
发帖数: 2385 | 8 恭喜恭喜！
【在 o*******w 的大作中提到】
: Proof: t
: | - | < |u0 - v0| + |E ∫ [f(u) - f(v) ] ds |
: 0
:
: = |u0 - v0| + ∫ | f() - f() + Var(u) - Var(v) |ds
:
: = |u0 - v0| + ∫ | f() - f()| ds
: (Var(u) ~ o(1) due to concentration)
: = |u0 - v0| + L∫ | - | ds
: 由 Gronwall‘s inequality
| o*******w
发帖数: 349 | 9 谢谢Leinhardt的帮助和关注
还是有问题.
这步有问题
| - | < L | - |
这也有问题
t
= |u0 - v0| + | E ∫ ∂f/∂u(ξ) (u - v) ds |
0 (MTV, v < ξ < u) | o*******w
发帖数: 349 | 10 汇报一下进展
原问题这样。随机变量 u_n 由下式递归给出
u_n = u_{n-1} + (1/N) * ξ(u_{n-1}) ， u_0 = u0 (初始条件）
ξ(u_{n-1}) 的分布跟前一步的 状态有关 （因此写上u_{n-1}）， 所以这是一个
Markov 过程。
现在想证明 E （u_n） 关于x lipschitz 连续, i.e.
| E u_n - E v_n | < L| u0 - v0 |
其中v_n 的初始条件是 v0.
直观上好像显然，因为 E（u_n）是 初始条件x 的函数，同时如果初始条件相同，则所
产生的随机过程的任何统计数据都应该一样。也就是说
| E u_n - E v_n | = 0 如果 u0 = v0 的话
但一般的 E（u_n） 关于x lipschitz 连续 并不成立. 例子：
如果 E ξ(u_n) = u_{n-1}^2 则
E u1 = E { x + ξ(x) / N } = x + x^2 / N 这是一个关于x的连续函数
但是 E（u2） 呢
E（u2）= E [ u1 + (1/N)*ξ(u1) ] = E u1 + (1/N) *E u1^2
= E u1 + (1/N) * E u1^2
= x + x^2 / N + (1/N) * E u1^2
E u1^2 并不一定是x 的连续函数。用自然语言来说，就是如果参数θ（这里就是x)
连续调节均值，未必就连续调节方差，也即方差不一定对θ连续。
下一步的工作就是，如何对ξ的提出一个比较好的 （easily verifiable) 假设条件
使得命题成立。比如说 如果
Eξ = Var(ξ) （Poisson 分布就满足）
或者 指数分布 （一个参数同时连续调节均值和方差）。而且可以证明，只要参数θ对
均值和方差连续调节就够了（因为 E f (u_{n-1} + Xn/N) = E f (u_{n-1} +
E Xn/N ) + E Var(Xn/N) 再由归纳法 。。。
）
但如何来比较好地 formally 对 ξ 的分布提出条件呢? 这就是下一步的工作
【在 o*******w 的大作中提到】
: 谢谢Leinhardt的帮助和关注
: 还是有问题.
: 这步有问题
: | - | < L | - |
: 这也有问题
: t
: = |u0 - v0| + | E ∫ ∂f/∂u(ξ) (u - v) ds |
: 0 (MTV, v < ξ < u)
|
|
