D******g
发帖数: 125 | 1 nice, stop talking about twin prime, you guys suck | i*****e
发帖数: 68 | 2 老大,您那超强版还是超弱版?我怎么赶脚是n^2,是你的两倍?
------------------------------
由于本版网友平均智商偏高， 特加强问题的难度！
3维空间中有 n^3个点，这些点两两距离都大于1。
请证明 在每三个两两正交的平面中
至少能找到一个平面， 这些点在这个平面上的投影点的个数大于 1/2n^2个。
注意：两个点投影到平面上很可能重合为一个投影点。
【在 D******g 的大作中提到】
: nice, stop talking about twin prime, you guys suck
| y**k
发帖数: 222 | | k*******s
发帖数: 134 | 4 How to prove it's n^2?
【在 y**k 的大作中提到】
: 嗯，n^2 对
| D******g
发帖数: 125 | 5 常数无所谓, 最好当然是n平方啦, 就像距离1 有无都无所谓只不过给一种证明的提示
不错不错, 您在mitbbs绝对是数学top5%的
【在 i*****e 的大作中提到】
: 老大,您那超强版还是超弱版?我怎么赶脚是n^2,是你的两倍?
:
: ------------------------------
: 由于本版网友平均智商偏高， 特加强问题的难度！
: 3维空间中有 n^3个点，这些点两两距离都大于1。
: 请证明 在每三个两两正交的平面中
: 至少能找到一个平面， 这些点在这个平面上的投影点的个数大于 1/2n^2个。
: 注意：两个点投影到平面上很可能重合为一个投影点。
| y**k
发帖数: 222 | | k*******s
发帖数: 134 | 7 能不能给个证明的过程，让我们这些学文的也开开眼。 | y**k
发帖数: 222 | 8 我想看楼主的证明，可能思路很奇特。
我的证明很直接无聊
【在 k*******s 的大作中提到】
: 能不能给个证明的过程，让我们这些学文的也开开眼。
| n*****l
发帖数: 152 | 9 我有个n^2的证明，不算复杂。谁发个包子我就写下来。 | k*******s
发帖数: 134 | 10 发了
【在 n*****l 的大作中提到】
: 我有个n^2的证明，不算复杂。谁发个包子我就写下来。
| | | n*****l
发帖数: 152 | 11 我们证明下面的问题，比原题略强点：
假设S为R^3空间上的点集，S在x,y-平面上的投影集为A, 在x,z-平面上的投影集为B,在
y,z-平面上的投影为C.那么|S|<=(|A|+|B|)|C|/2.
对于固定的a, 让A(a)={（a,y):(a,y)\in A}, 让B(x_0)={(a,z):(a,z)\in B},那么我
们有
|{(a,y,z):(a,y,z)\in S}|
<=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
<= min{(|A(a)|+|B(a)|)^2/4, |C|}
<= (|A(a)|+|B(a)|)*|C|/2
最后，我们有
|S|=\sum_a |{(a,y,z):(a,y,z)\in S|
<= \sum_a (|A(a)|+|B(a)|)*|C|/2
=(|A|+|B|)*|C|/2 | y**k
发帖数: 222 | 12 思路对， 结果不对吧。
【在 n*****l 的大作中提到】
: 我们证明下面的问题，比原题略强点：
: 假设S为R^3空间上的点集，S在x,y-平面上的投影集为A, 在x,z-平面上的投影集为B,在
: y,z-平面上的投影为C.那么|S|<=(|A|+|B|)|C|/2.
: 对于固定的a, 让A(a)={（a,y):(a,y)\in A}, 让B(x_0)={(a,z):(a,z)\in B},那么我
: 们有
: |{(a,y,z):(a,y,z)\in S}|
: <=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
: <= min{(|A(a)|+|B(a)|)^2/4, |C|}
: <= (|A(a)|+|B(a)|)*|C|/2
: 最后，我们有
| n*****l
发帖数: 152 | 13 There is a typo. Replace |C| by sqrt(|C|) . The proof is corrected.
【在 y**k 的大作中提到】
: 思路对， 结果不对吧。
| g***e
发帖数: 577 | 14 牛人
【在 n*****l 的大作中提到】
: 我们证明下面的问题，比原题略强点：
: 假设S为R^3空间上的点集，S在x,y-平面上的投影集为A, 在x,z-平面上的投影集为B,在
: y,z-平面上的投影为C.那么|S|<=(|A|+|B|)|C|/2.
: 对于固定的a, 让A(a)={（a,y):(a,y)\in A}, 让B(x_0)={(a,z):(a,z)\in B},那么我
: 们有
: |{(a,y,z):(a,y,z)\in S}|
: <=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
: <= min{(|A(a)|+|B(a)|)^2/4, |C|}
: <= (|A(a)|+|B(a)|)*|C|/2
: 最后，我们有
| i*****e
发帖数: 68 | 15 A very nice proof.
I make some revisions:
|{(a,y,z):(a,y,z)in S}|
<=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
<=sqrt(|A(a)|*|B(a)|) * sqrt(|C|).
Then you take sum over all a. A standard Cauchy-Schwarz gives
|S| <= sqrt(|A|*|B|*|C|),or
|S|^2 <=|A|*|B|*|C|
高手 always uses Cauchy-Schwarz, like Zhang Yitang. Just kidding :-)
【在 n*****l 的大作中提到】
: 我们证明下面的问题，比原题略强点：
: 假设S为R^3空间上的点集，S在x,y-平面上的投影集为A, 在x,z-平面上的投影集为B,在
: y,z-平面上的投影为C.那么|S|<=(|A|+|B|)|C|/2.
: 对于固定的a, 让A(a)={（a,y):(a,y)\in A}, 让B(x_0)={(a,z):(a,z)\in B},那么我
: 们有
: |{(a,y,z):(a,y,z)\in S}|
: <=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
: <= min{(|A(a)|+|B(a)|)^2/4, |C|}
: <= (|A(a)|+|B(a)|)*|C|/2
: 最后，我们有
| n*****l
发帖数: 152 | 16 改进后结果对称多了，不错！
【在 i*****e 的大作中提到】
: A very nice proof.
: I make some revisions:
: |{(a,y,z):(a,y,z)in S}|
: <=min {|A(a)|*|B(a)|, |C|}
: <=sqrt(|A(a)|*|B(a)|) * sqrt(|C|).
: Then you take sum over all a. A standard Cauchy-Schwarz gives
: |S| <= sqrt(|A|*|B|*|C|),or
: |S|^2 <=|A|*|B|*|C|
: 高手 always uses Cauchy-Schwarz, like Zhang Yitang. Just kidding :-)
|
|
