w**a
发帖数: 1024 | 1 see
http://en.wikipedia.org/wiki/Monge_cone
my question is : how the cone is formed ? thanks.
don't understand why there is a cone. | b*********n
发帖数: 56 | 2
这篇wiki文章显然没能解释为什么产生cone. 我记得Fritz John的那本Partial
Differential Equation有详细的解释。可惜我忘了，手头又没有那本书...
【在 w**a 的大作中提到】
: see
: http://en.wikipedia.org/wiki/Monge_cone
: my question is : how the cone is formed ? thanks.
: don't understand why there is a cone.
| b*********n
发帖数: 56 | 3 Hello, 你对这个问题想通了吗？
我对这个问题也是蛮感兴趣的，回家翻看了一下Fritz John 的那本书，大概知道了是
怎么回事。
我们要解一个非线性两变数的偏微分方程：
F(x,y,u,p,q) = 0
这里，p = u_x, q = u_y.
这个方程的解确定一个积分曲面， z = u(x,y).
假定(x0,y0,z0)是积分曲面上的一点。则通过这一点的所有可能的切面形成一个Monge
Cone.
理由如下：
在一点的曲面的正则方向为(p,q,-1).
那么通过这一点的切面方程可写为 z-z0 = p(x-x0) + q(y-y0).
另外，在这一点，p,q当然要满足原方程 F(x0,y0,z0,p,q) = 0.，也就是说，原方程对
p,q是有限制的。上述切面方程只带有一个参数。单参数切面族裹成一个cone. | w**a
发帖数: 1024 | 4 他的书我也看了，谢谢你的推荐。
我用了一个例子，比如 EIKONAL 方程 p*p + q*q = 1
做出来就是一个CONE。
其实这里还有一个隐函数或者是q=q(p) 或者是p =p(q) 存在
如果假设 Fp*Fp + Fq*Fq =/= 0. Fp 是F对p的偏导数。
结果就是如你所说，过(x0,y0,z0)的所有切面是个单参数曲面族。
参数是p 如果q=q(p)； 也可以是q 如果p=p(q). 假设参数是p吧。
如果切面族是个锥， 那么他们的法线族也是个锥（同意吗？）问题就集中在
( p, q(p), -1) 一定是个锥吗？
如果是个CONE的话，这个cone的轴的方程怎么确定？ 谢谢。
Monge
【在 b*********n 的大作中提到】
: Hello, 你对这个问题想通了吗？
: 我对这个问题也是蛮感兴趣的，回家翻看了一下Fritz John 的那本书，大概知道了是
: 怎么回事。
: 我们要解一个非线性两变数的偏微分方程：
: F(x,y,u,p,q) = 0
: 这里，p = u_x, q = u_y.
: 这个方程的解确定一个积分曲面， z = u(x,y).
: 假定(x0,y0,z0)是积分曲面上的一点。则通过这一点的所有可能的切面形成一个Monge
: Cone.
: 理由如下：
| b*********n
发帖数: 56 | 5 通常情况下，它会是一个锥，但也不一定。有时候会是一个形状奇怪的锥，也有可能退化成一段扇面，甚至退化成一条线。后面这一情况实际上经常发生：所有一阶线性或者拟线性篇微分方程都不会产生cone；法线都已确定。当然对线性和拟线性的方程的解法跟这里不一样了。
不管它的形状如何，所有法线组成的曲面方程可写作
(x,y,z)-(x0,y0,z0) = k*(p(alpha),q(alpha),-1), here k>=0, alpha is a parameter.
【在 w**a 的大作中提到】
: 他的书我也看了，谢谢你的推荐。
: 我用了一个例子，比如 EIKONAL 方程 p*p + q*q = 1
: 做出来就是一个CONE。
: 其实这里还有一个隐函数或者是q=q(p) 或者是p =p(q) 存在
: 如果假设 Fp*Fp + Fq*Fq =/= 0. Fp 是F对p的偏导数。
: 结果就是如你所说，过(x0,y0,z0)的所有切面是个单参数曲面族。
: 参数是p 如果q=q(p)； 也可以是q 如果p=p(q). 假设参数是p吧。
: 如果切面族是个锥， 那么他们的法线族也是个锥（同意吗？）问题就集中在
: ( p, q(p), -1) 一定是个锥吗？
: 如果是个CONE的话，这个cone的轴的方程怎么确定？ 谢谢。
|
|
