一个诡异的积分 - Mathematics版

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Mathematics版 - 一个诡异的积分

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o**a
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下面这个积分一开始是正的，但是分部积分后就变负的了: ( Re z > 0)
\int_0^{\infty} 2\eta/(\eta^2+z^2) * 1/(e^{2\pi\eta}-1) d\eta
(假如z是很小的正实数，上面每一项都是正的，所以积分是正的)
=1/\pi \int_0^{\infty} \eta/(\eta^2+z^2) * 2\pi/(e^{2\pi\eta}-1) d\eta
=1/\pi \int_0^{\infty} \eta/(\eta^2+z^2) * 2\pi e^{-2\pi\eta}/(1-e^{-2\pi\eta}
) d\eta
=1/\pi \int_0^{\infty} \eta/(\eta^2+z^2) d(log(1-e^{-2\pi\eta}))
=1/\pi \eta/(\eta^2+z^2) * log(1-e^{-2\pi\eta})|_{\eta from 0 to \infty}
-1/\pi \int_0^{\infty} log(1-e^{-2\pi\eta}) (\eta^2+z^2-2\eta^2)/(\eta^2

o**a
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这里是tex文件，可以直接latex编译:
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\begin{align*}
&\int_0^{\infty} \frac{2\eta}{\eta^2+z^2} \cdot \frac{d\eta}{e^{2\pi\eta}-1} \
\
&=\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\eta}{\eta^2+z^2} \cdot \frac{2\pi}{e^{2
\pi\eta}-1} d\eta \\
&=\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\eta}{\eta^2+z^2} \cdot \frac{2\pi e^{-2
\pi\eta}}{1-e^{-2\pi\eta}} d\eta\\
&=\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\eta}{\eta^2+z^2} \cdot d(\log(1-e^{-2\
pi\eta}

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