c*******v
发帖数: 2599 | 1 我随便说几句，这里大牛很多，抛砖引玉。
欢迎数理逻辑专家指正。
中文数学书上，例如周民强还是什么人的北大的泛函分析初步，
当年我记得很清楚，他说大多数数学家还是采用左恩引理，选择公理，
以及相信直谓命题有效，etc.为什么呢？他解释说，这是因为这样会有更丰富的数学
结果。
我认为这个解释非常扯淡。
什么叫更丰富的数学内容？这不得靠学术政治来解决了嘛？
我看整数规划，矩阵分析之类的非主流数学也不比泛函分析，微分几何什么的贫乏，
你凭啥说这些东西内容不丰富？
那么大家为什么主要还是用左恩引理？
我认为原因非常简单，这是实践检验的结果。
翻开任何一本常微分方程或者偏微分方程研究生课本，
都会看到很多解，周期解等等的存在性，光滑性等等是使用泛函分析
中的各种和拓补有点关系的固定点定理来证明的，其中很多结果依赖于
左恩引理之类的东西。(这个路子据说是大能Jean Leray开创的)
这里许许多多的方程都是有物理和工程意义的方程，
每天无数工程师都在按照这些数学结果的指导下做计算和试验。从没听人
人说这方面出过岔子。
这，才是大家目前采用左恩引理，并且不再把主要精力投入到
非标准分析数学上的主要原 |
s**********n
发帖数: 1485 | |
b**g
发帖数: 335 | 3 建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
measurable
set)
代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我随便说几句，这里大牛很多，抛砖引玉。
: 欢迎数理逻辑专家指正。
: 中文数学书上，例如周民强还是什么人的北大的泛函分析初步，
: 当年我记得很清楚，他说大多数数学家还是采用左恩引理，选择公理，
: 以及相信直谓命题有效，etc.为什么呢？他解释说，这是因为这样会有更丰富的数学
: 结果。
: 我认为这个解释非常扯淡。
: 什么叫更丰富的数学内容？这不得靠学术政治来解决了嘛？
: 我看整数规划，矩阵分析之类的非主流数学也不比泛函分析，微分几何什么的贫乏，
: 你凭啥说这些东西内容不丰富？
|
H****h
发帖数: 1037 | 4 不知道有没有以否定选择公理为出发点的著名定理，以及以此定理为基石的数学领域。
【在 b**g 的大作中提到】
: 建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
: or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
: 并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
: measurable
: set)
: 代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
: 每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等
|
c*******v
发帖数: 2599 | 5 说说理由，不要只扣帽子，不给内容。
【在 s**********n 的大作中提到】
: 我觉得你这个解释更扯淡。
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c*******v
发帖数: 2599 | 6 你说的这本书我看过，
我知道分析之外也很常用左恩引理。
但这和我的论点没关系。
建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
measurable
set)
代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等
【在 b**g 的大作中提到】
: 建议你去看一下这本书"Consequences of the Axiom of Choice"
: or http://consequences.emich.edu/conseq.htm
: 并不是只有分析里才用到选择公理(著名例子是banach-tarski paradox及non-
: measurable
: set)
: 代数里也有...例如: 每个non-trivial交换环都有maximal ideal,
: 每个向量空间都有basis, 每个field都有代数闭包..等等
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c*******v
发帖数: 2599 | 7 没听说过。
起码这点这和应用矛盾。
以选择公理之否定为出发的数学，不太可能被用作物理问题
的数学模型。
【在 H****h 的大作中提到】
: 不知道有没有以否定选择公理为出发点的著名定理，以及以此定理为基石的数学领域。
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L*******n
发帖数: 3169 | 8 你的思维方式与大多数做数学的思维方式完全不同
这段解释适合给做物理的看
【在 c*******v 的大作中提到】
: 说说理由，不要只扣帽子，不给内容。
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b**x
发帖数: 370 | 9 看你的id还以为你是学数学的。我错了，不能以id取人。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我随便说几句，这里大牛很多，抛砖引玉。
: 欢迎数理逻辑专家指正。
: 中文数学书上，例如周民强还是什么人的北大的泛函分析初步，
: 当年我记得很清楚，他说大多数数学家还是采用左恩引理，选择公理，
: 以及相信直谓命题有效，etc.为什么呢？他解释说，这是因为这样会有更丰富的数学
: 结果。
: 我认为这个解释非常扯淡。
: 什么叫更丰富的数学内容？这不得靠学术政治来解决了嘛？
: 我看整数规划，矩阵分析之类的非主流数学也不比泛函分析，微分几何什么的贫乏，
: 你凭啥说这些东西内容不丰富？
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A****s
发帖数: 129 | 10 可是这只能说明某些范围甚至目前的绝大范围内选择公理是可用的吧
不能说明这个东西一定普适
就跟平行公理一样,我们日常生活中用它也没问题,但是不代表更大的范围内它就一定能用
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我随便说几句，这里大牛很多，抛砖引玉。
: 欢迎数理逻辑专家指正。
: 中文数学书上，例如周民强还是什么人的北大的泛函分析初步，
: 当年我记得很清楚，他说大多数数学家还是采用左恩引理，选择公理，
: 以及相信直谓命题有效，etc.为什么呢？他解释说，这是因为这样会有更丰富的数学
: 结果。
: 我认为这个解释非常扯淡。
: 什么叫更丰富的数学内容？这不得靠学术政治来解决了嘛？
: 我看整数规划，矩阵分析之类的非主流数学也不比泛函分析，微分几何什么的贫乏，
: 你凭啥说这些东西内容不丰富？
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c*******v
发帖数: 2599 | 11 我解释的是现实上的选择公理dominant的原因。
这不是在讨论什么是绝对真理。
这个解释要比"承认选择公理会导致丰富的数学结果"
之类的解释靠谱。
当然，选择公理的数学不一定是普适的数学模型，但是
目前没有反证据。
可是这只能说明某些范围甚至目前的绝大范围内选择公理是可用的吧
不能说明这个东西一定普适
就跟平行公理一样,我们日常生活中用它也没问题,但是不代表更大的范围内它就一定能用
【在 A****s 的大作中提到】
: 可是这只能说明某些范围甚至目前的绝大范围内选择公理是可用的吧
: 不能说明这个东西一定普适
: 就跟平行公理一样,我们日常生活中用它也没问题,但是不代表更大的范围内它就一定能用
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c*******v
发帖数: 2599 | 12 我不做数学研究，我是数学消费者。
在我使用的几个方面的数学，我没有任何新贡献，只是用现有的知识来解决问题的。
但我显然比不做这个方向研究的人，知道的更多。
你是做哪个方向的？
我的方向是动力系统,分析力学，多体问题求解,etc。
【在 b**x 的大作中提到】
: 看你的id还以为你是学数学的。我错了，不能以id取人。
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A****s
发帖数: 129 | 13 其实都对吧
"承认选择公理会导致丰富的数学结果",实际上就是说
如果承认选择公理,很多问题的讨论就可以确定化，不至于卡住进行不下去
也就是等于说可以满足很多实际应用的要求
不能说哪个更靠谱
能用
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我解释的是现实上的选择公理dominant的原因。
: 这不是在讨论什么是绝对真理。
: 这个解释要比"承认选择公理会导致丰富的数学结果"
: 之类的解释靠谱。
: 当然，选择公理的数学不一定是普适的数学模型，但是
: 目前没有反证据。
:
: 可是这只能说明某些范围甚至目前的绝大范围内选择公理是可用的吧
: 不能说明这个东西一定普适
: 就跟平行公理一样,我们日常生活中用它也没问题,但是不代表更大的范围内它就一定能用
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c*******v
发帖数: 2599 | 14 什么是丰富的数学结果，这个是很主观的判断，每个人都有自己不同的说法。
什么东西能和实验计算结果符合，这是客观的。
其实都对吧
"承认选择公理会导致丰富的数学结果",实际上就是说
如果承认选择公理,很多问题的讨论就可以确定化，不至于卡住进行不下去
也就是等于说可以满足很多实际应用的要求
不能说哪个更靠谱
能用
【在 A****s 的大作中提到】
: 其实都对吧
: "承认选择公理会导致丰富的数学结果",实际上就是说
: 如果承认选择公理,很多问题的讨论就可以确定化，不至于卡住进行不下去
: 也就是等于说可以满足很多实际应用的要求
: 不能说哪个更靠谱
:
: 能用
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c*******v
发帖数: 2599 | 15 他大概的想法是数学基础没什么奔头了，
改行胡塞尔现象学，(好像他说他念了10年胡塞尔的书)，
不如大家研究数学对象的主体意向性算了。
小平邦彦也讲未来可能会对主观的，但是相当普适的“数学对象”的产生
有系统研究。
例如“直线”，这个肯定是主观概念，但是稍加教育的人
都能有个理解。不同个体之间对数学对象之理解差异是不大的，这就弥平了
主体之间的不同。数学的普适，不是纯粹客观的普适。
那么这种普适的数学对象有多少？如何产生的？etc
从这个思路入手，探讨数学的基础。
毕竟，数学的最基本特点并不是形式公理体系。
而是原则上人人都能接受的和理解一个体系。
现象学分析方法据说是不少当代社科小分支的基础，
不知道数学这行将来会怎么样。
其实都对吧
"承认选择公理会导致丰富的数学结果",实际上就是说
如果承认选择公理,很多问题的讨论就可以确定化，不至于卡住进行不下去
也就是等于说可以满足很多实际应用的要求
不能说哪个更靠谱
能用
【在 A****s 的大作中提到】
: 其实都对吧
: "承认选择公理会导致丰富的数学结果",实际上就是说
: 如果承认选择公理,很多问题的讨论就可以确定化，不至于卡住进行不下去
: 也就是等于说可以满足很多实际应用的要求
: 不能说哪个更靠谱
:
: 能用
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j******w
发帖数: 690 | 16 Axiom of determinancy(AD).
Given a set of reals $A\subseteq \omega^{\omega}$, there are two players
playing a game.
I n_0 n_1 ....
II m_0 m_1....
I wins if (n_0,m_0,n_1,m_1,....)\in A. Otherwise, II wins.
I(II) has a win strategy if I(II) has a strategy so that I(II) always wins.
AD: For every set $A$, there is a win strategy for I or II.
PD: For every second order arithmetical definable set $A$, there is a win
strategy for I or II.
BD: For every Borel set $A$,
【在 H****h 的大作中提到】
: 不知道有没有以否定选择公理为出发点的著名定理，以及以此定理为基石的数学领域。
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j******w
发帖数: 690 | 17 再说几句.
这些东西并不是空穴来风的哲学观点.而是通过加州学派(当然还有Jensen等人)几十年
来的成果得到的.这里面的包括许多极为深刻的结果其中每个结果的证明都要通过写一
本书来完成.因此在journals上很少能找到他们的文章.
【在 j******w 的大作中提到】
: Axiom of determinancy(AD).
: Given a set of reals $A\subseteq \omega^{\omega}$, there are two players
: playing a game.
: I n_0 n_1 ....
: II m_0 m_1....
: I wins if (n_0,m_0,n_1,m_1,....)\in A. Otherwise, II wins.
: I(II) has a win strategy if I(II) has a strategy so that I(II) always wins.
: AD: For every set $A$, there is a win strategy for I or II.
: PD: For every second order arithmetical definable set $A$, there is a win
: strategy for I or II.
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c*******v
发帖数: 2599 | 18 大牛给说说，如果不承认AC,那很多巴纳赫空间的固定点定理之类的东西
就不行了，那整个PDE,ODE的理论，以及计算数学，工程，物理等等都麻烦大了。
对此，数理逻辑工作者有相应的考虑么？
【在 j******w 的大作中提到】
: Axiom of determinancy(AD).
: Given a set of reals $A\subseteq \omega^{\omega}$, there are two players
: playing a game.
: I n_0 n_1 ....
: II m_0 m_1....
: I wins if (n_0,m_0,n_1,m_1,....)\in A. Otherwise, II wins.
: I(II) has a win strategy if I(II) has a strategy so that I(II) always wins.
: AD: For every set $A$, there is a win strategy for I or II.
: PD: For every second order arithmetical definable set $A$, there is a win
: strategy for I or II.
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w**a
发帖数: 1024 | 19 在某些情况下，选择函数 还是存在的吧
【在 H****h 的大作中提到】
: 不知道有没有以否定选择公理为出发点的著名定理，以及以此定理为基石的数学领域。
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j******w
发帖数: 690 | 20 很少人考虑没有AC的情形.
加州学派的人仅仅认为AC只应该很小心的用.事实上PD就很大程度上蕴涵了可定义的选
择函数的存在性.
以色列学派, 例如Shelah, 甚至根本不考虑没有AC的情形.
AC的使用在我看来纯粹是技术上的:
(1)人们为了得到一个一般性的结果而不得不使用AC.在这种情况下结果本身也包括了许多
"不可认知"的对象的存在作为前提(例如HB定理考虑所有的线性泛函),因此使得AC的使
用几乎不可避免.人们这样做的目的是使得结果一般化并且给应用提供一个指导性建议.
(2)如果人们只考虑具体的"可认知"的对象,这种选择函数也许就是可定义的.例如在具
体的工程学,物理学里面人们考虑的是具体的线性泛函. 这时候往往能通过一些努力构
造处这些线性泛函的扩张而无需选择公理. 现在递归论中有一个方向叫反推数学,它的
基本假定是RCA_0,即所有对象都是可计算的.然后证明经典数学结论要在这个基础上成
立到底需要哪些
公理.其中就要考虑这些选择函数到底要多复杂.
因此AC证明的结果只是在理论上有用处,使得结果干净漂亮并且对具体应用给一个指导
性的建议.至于真正遇上具体问题往往还是要重新构造
【在 c*******v 的大作中提到】
: 大牛给说说，如果不承认AC,那很多巴纳赫空间的固定点定理之类的东西
: 就不行了，那整个PDE,ODE的理论，以及计算数学，工程，物理等等都麻烦大了。
: 对此，数理逻辑工作者有相应的考虑么？
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H****h
发帖数: 1037 | 21 好像有道理。比如可分Banach空间上的HB定理就不需要用到选择公理。
而我们实际需要的空间不少都是可分的。
许多
议.
【在 j******w 的大作中提到】
: 很少人考虑没有AC的情形.
: 加州学派的人仅仅认为AC只应该很小心的用.事实上PD就很大程度上蕴涵了可定义的选
: 择函数的存在性.
: 以色列学派, 例如Shelah, 甚至根本不考虑没有AC的情形.
: AC的使用在我看来纯粹是技术上的:
: (1)人们为了得到一个一般性的结果而不得不使用AC.在这种情况下结果本身也包括了许多
: "不可认知"的对象的存在作为前提(例如HB定理考虑所有的线性泛函),因此使得AC的使
: 用几乎不可避免.人们这样做的目的是使得结果一般化并且给应用提供一个指导性建议.
: (2)如果人们只考虑具体的"可认知"的对象,这种选择函数也许就是可定义的.例如在具
: 体的工程学,物理学里面人们考虑的是具体的线性泛函. 这时候往往能通过一些努力构
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b**x
发帖数: 370 | 22 敢问尊驾是物理系的否？老衲不才，只在数学系习些雕虫小技，不值一提。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我不做数学研究，我是数学消费者。
: 在我使用的几个方面的数学，我没有任何新贡献，只是用现有的知识来解决问题的。
: 但我显然比不做这个方向研究的人，知道的更多。
: 你是做哪个方向的？
: 我的方向是动力系统,分析力学，多体问题求解,etc。
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c*******v
发帖数: 2599 | 23 我认为他说的那种反推数学我看只是出点初级paper，目前毫无前途。
例如给你一个具体数值的ODE,
按这个反推数学的思路，目标是找到一个不用AC的方法,就能证明其有周期解的。
或者证明出来，不用AC,就不可能证明其有周期解。
然而现实是，稍微复杂点的非线性ODE,证明其周期解的存在性都是极其困难的。
使用AC+一些固定点定理尚且只能做一些简单的情况。更何况上述的反推数学分析呢？
拿著名的Lorenz方程来讲，90年代有个人作了个计算机程序来严格分析，
他马上就拿了欧州青年数学奖。Nature之类的立即跟着出新闻稿。可见这种问题的难度。
更别提PDE了。
(不排除ODE课本上练习题难度的问题，用反推数学可以做出来其需要什么公理，
存在性结果仍然能成立)
【在 H****h 的大作中提到】
: 好像有道理。比如可分Banach空间上的HB定理就不需要用到选择公理。
: 而我们实际需要的空间不少都是可分的。
:
: 许多
: 议.
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c*******v
发帖数: 2599 | 24 你想说什么？
I did not get it
我说过我的方向了。
【在 b**x 的大作中提到】
: 敢问尊驾是物理系的否？老衲不才，只在数学系习些雕虫小技，不值一提。
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B********e
发帖数: 10014 | 25 师傅，你觉得动力系统啥的是物理系的？
都在地球上生活，厚道点好不好
【在 b**x 的大作中提到】
: 敢问尊驾是物理系的否？老衲不才，只在数学系习些雕虫小技，不值一提。
|
B********e
发帖数: 10014 | 26 太受打击了
学了几年pde从来没想过zorn引理，func anal时候也只是证过就忘了
大家难道都这么严谨，zorn和ac常挂心头？
顿感自己渺小
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我随便说几句，这里大牛很多，抛砖引玉。
: 欢迎数理逻辑专家指正。
: 中文数学书上，例如周民强还是什么人的北大的泛函分析初步，
: 当年我记得很清楚，他说大多数数学家还是采用左恩引理，选择公理，
: 以及相信直谓命题有效，etc.为什么呢？他解释说，这是因为这样会有更丰富的数学
: 结果。
: 我认为这个解释非常扯淡。
: 什么叫更丰富的数学内容？这不得靠学术政治来解决了嘛？
: 我看整数规划，矩阵分析之类的非主流数学也不比泛函分析，微分几何什么的贫乏，
: 你凭啥说这些东西内容不丰富？
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j******w
发帖数: 690 | 27 you never know what will happen, right?
当年模型论也被人诟病只是在代数,几何里重复一些已知结果的证明.
反推还很年轻,
虽然前途未卜,
但经过一些积累未必不能有些作为.
举个例子: 反推里面可以研究某些尚不知结论的猜想如果要证明它就必须要用到哪些公
理.比如Goldbach猜想是否用PA就足够了等. 如果你想证明PA不够,就要构造PA的一个模型
使得Goldbach猜想不成立.这就未GH猜想的证明至少指出了一些可能的路径或者断了民
科的念头.
甚至反推对于用穷的组合学也是有用处的.最近Harvey Friedman构造了一个有穷组合命
题它的证明必须要用到大基数.
度。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我认为他说的那种反推数学我看只是出点初级paper，目前毫无前途。
: 例如给你一个具体数值的ODE,
: 按这个反推数学的思路，目标是找到一个不用AC的方法,就能证明其有周期解的。
: 或者证明出来，不用AC,就不可能证明其有周期解。
: 然而现实是，稍微复杂点的非线性ODE,证明其周期解的存在性都是极其困难的。
: 使用AC+一些固定点定理尚且只能做一些简单的情况。更何况上述的反推数学分析呢？
: 拿著名的Lorenz方程来讲，90年代有个人作了个计算机程序来严格分析，
: 他马上就拿了欧州青年数学奖。Nature之类的立即跟着出新闻稿。可见这种问题的难度。
: 更别提PDE了。
: (不排除ODE课本上练习题难度的问题，用反推数学可以做出来其需要什么公理，
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n******t
发帖数: 4406 | 28 不可能，如果为了应用，朴素的东西肯定是没错的。
就像平面几何在应用上就很好用，虽然第五公设成不成立这种问题，
用平面几何的人并不会关心一样。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 大牛给说说，如果不承认AC,那很多巴纳赫空间的固定点定理之类的东西
: 就不行了，那整个PDE,ODE的理论，以及计算数学，工程，物理等等都麻烦大了。
: 对此，数理逻辑工作者有相应的考虑么？
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c*******v
发帖数: 2599 | 29 我同意反推数学将来也许会有突破。这个谁也不知道。
不过现在，肯定还是比较初步了。
you never know what will happen, right?
当年模型论也被人诟病只是在代数,几何里重复一些已知结果的证明.
反推还很年轻,
虽然前途未卜,
但经过一些积累未必不能有些作为.
举个例子: 反推里面可以研究某些尚不知结论的猜想如果要证明它就必须要用到哪些公
理.比如Goldbach猜想是否用PA就足够了等. 如果你想证明PA不够,就要构造PA的一个模型
使得Goldbach猜想不成立.这就未GH猜想的证明至少指出了一些可能的路径或者断了民
科的念头.
甚至反推对于用穷的组合学也是有用处的.最近Harvey Friedman构造了一个有穷组合命
题它的证明必须要用到大基数.
度。
【在 j******w 的大作中提到】
: you never know what will happen, right?
: 当年模型论也被人诟病只是在代数,几何里重复一些已知结果的证明.
: 反推还很年轻,
: 虽然前途未卜,
: 但经过一些积累未必不能有些作为.
: 举个例子: 反推里面可以研究某些尚不知结论的猜想如果要证明它就必须要用到哪些公
: 理.比如Goldbach猜想是否用PA就足够了等. 如果你想证明PA不够,就要构造PA的一个模型
: 使得Goldbach猜想不成立.这就未GH猜想的证明至少指出了一些可能的路径或者断了民
: 科的念头.
: 甚至反推对于用穷的组合学也是有用处的.最近Harvey Friedman构造了一个有穷组合命
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c*******v
发帖数: 2599 | 30 你可能只做有限元，
不做peturbation,harmonic balance之类的半分析计算的吧，不然
固定点定理之类的东西肯定会考虑。
考虑Banach空间的固定点定理，就得考虑拓扑，
说不定就要用函数序列逼近的性质，说不定就要选择公理。
有时候数学证明和计算是直接相关的。就好比Picard iteration的收敛性
实际上可以看作ODE有些数值解法的严格基础一样。
【在 B********e 的大作中提到】
: 太受打击了
: 学了几年pde从来没想过zorn引理，func anal时候也只是证过就忘了
: 大家难道都这么严谨，zorn和ac常挂心头？
: 顿感自己渺小
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T*******x
发帖数: 8565 | 31
请教一下，固定点定理是怎么依赖于Zorn引理的？我忘记了。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 你可能只做有限元，
: 不做peturbation,harmonic balance之类的半分析计算的吧，不然
: 固定点定理之类的东西肯定会考虑。
: 考虑Banach空间的固定点定理，就得考虑拓扑，
: 说不定就要用函数序列逼近的性质，说不定就要选择公理。
: 有时候数学证明和计算是直接相关的。就好比Picard iteration的收敛性
: 实际上可以看作ODE有些数值解法的严格基础一样。
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H****h
发帖数: 1037 | 32 如果空间是可分的，不动点理论是不是可以不用选择公理？
【在 c*******v 的大作中提到】
: 你可能只做有限元，
: 不做peturbation,harmonic balance之类的半分析计算的吧，不然
: 固定点定理之类的东西肯定会考虑。
: 考虑Banach空间的固定点定理，就得考虑拓扑，
: 说不定就要用函数序列逼近的性质，说不定就要选择公理。
: 有时候数学证明和计算是直接相关的。就好比Picard iteration的收敛性
: 实际上可以看作ODE有些数值解法的严格基础一样。
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c*******v
发帖数: 2599 | 33 google
"using zorn lemma" fixed point
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 请教一下，固定点定理是怎么依赖于Zorn引理的？我忘记了。
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c*******v
发帖数: 2599 | 34 我没听说过这个说法。
n年前念的ODE。
大概印象就是古代数学家都用解析函数，估计级数的系数来证明存在性(例如Cauchy)。
现代数学家用函数空间+超限归纳法(例如Leray-Schauder)。
你可以查查Hartman的课本看。
【在 H****h 的大作中提到】
: 如果空间是可分的，不动点理论是不是可以不用选择公理？
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j******w
发帖数: 690 | 35 应该可以.
至少在R上可以.
可分其实就是说有一个良序稠密子集.
在选择的时候可以从这个良序上开始.
然后用这个选择来逼近.
比如[0,1]\to [0,1] 的不动点就可以这样证明.
【在 H****h 的大作中提到】
: 如果空间是可分的，不动点理论是不是可以不用选择公理？
|
T*******x
发帖数: 8565 | 36
我看到的fixed point theorem是这样的：
If F is a contraction on a complete metric space X, then F
has a unique fixed point.
F is a contraction if d(Fx,Fy)< c.d(x,y) where d is distance, c<1.
这里看不到Zorn引理的应用。
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我没听说过这个说法。
: n年前念的ODE。
: 大概印象就是古代数学家都用解析函数，估计级数的系数来证明存在性(例如Cauchy)。
: 现代数学家用函数空间+超限归纳法(例如Leray-Schauder)。
: 你可以查查Hartman的课本看。
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T*******x
发帖数: 8565 | 37
你的意思是说
“要想得到一个complete metric space”
需要用到Zorn引理？
【在 c*******v 的大作中提到】
: 我没听说过这个说法。
: n年前念的ODE。
: 大概印象就是古代数学家都用解析函数，估计级数的系数来证明存在性(例如Cauchy)。
: 现代数学家用函数空间+超限归纳法(例如Leray-Schauder)。
: 你可以查查Hartman的课本看。
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c*******v
发帖数: 2599 | 38 As I remember, for example,
Tychonoff's theorem was proved by using the zorn lemma,
then Arzela-ascoli theorem was proved by using the Tchonoff theorem, then
Leray-Schauder fixed point theorem was proved. These theorems are used
everywhere today. You can even find the Arezla-ascoli theorem in a finite
elements' book.
I am too old to recover the complete logic chain of these kinds of thing.
You'd better to check ODE，PDE books for details.
你的意思是说
“要想得到一个complete metric space”
需要用到Zorn引理？
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 你的意思是说
: “要想得到一个complete metric space”
: 需要用到Zorn引理？
|
T*******x
发帖数: 8565 | 39 谢谢。我找到了。
【在 c*******v 的大作中提到】
: As I remember, for example,
: Tychonoff's theorem was proved by using the zorn lemma,
: then Arzela-ascoli theorem was proved by using the Tchonoff theorem, then
: Leray-Schauder fixed point theorem was proved. These theorems are used
: everywhere today. You can even find the Arezla-ascoli theorem in a finite
: elements' book.
: I am too old to recover the complete logic chain of these kinds of thing.
: You'd better to check ODE，PDE books for details.
:
: 你的意思是说
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