l*******s 发帖数: 7316 | 1 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: BaddestMan (), 信区: Military
标 题: BaddestMan几何猜想诚邀Invited Reviewer, $10酬劳
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jan 9 14:38:36 2018, 美东)
以下是BaddestMan的猜想(有劳熊大帮忙修改), 以及熊大提交的证明, 我稍微看了一下
, 倾向于正确, 但我个人还是得再看多两次才最后确认。本着集思广益的原则, 现邀请
Invited Reviewers, 如果有能指出猜想或证明错误的地方, 私信$10 Amazon GC, 以最
多3人为限。一切解释权归BaddestMan所有。
BaddestMan猜想: 从圆内任何的一点A(该点不在圆周上), 画一条射线与圆周相交于
B。如果这条射线,以及其反向延长线不经过圆心,一定有且仅有另一条从A开始的射线
与圆周相交于另一点C,满足线段AC的长度与线段AB相同。
熊大的证明:
不失一般性地假设圆心为O,圆的半径为r>0,OA线段长为a>0, AB线段长为b>0.
角OAB为t,-pi
根据三角形余弦定理,r,a,b,满足以下关系
r^2=a^2 + b^2 - 2abcos(t)
因为 a>0,b>0, 所以有
cos(t) = (r^2 - a^2)/(2ab) - b/(2a).
因为A在圆内, a^2 < r^2,
所以 cos(t)是 b的单调递减函数。
而cos(t) 在(-pi,0) 和[0,pi]两个子区间上分别是单调递增和单调递减函数。
也就是数在两个子区间上, cos(t)和是一一对应的。
任意另一条从A开始的射线,与圆交于另一点C,
如果AC的长度与线段AB相同,
那么角OAC的余弦必须与角OAB的余弦相同。
因为角OAB和OAC都在 (-pi,pi]区间内,
当角OAB不等于pi,也不等与0时,
一定有且仅又另一个角OAC正好等于 “-t”,
使得 cos( OAC ) = cos(t)。
证毕。 |
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