w********9
发帖数: 8613 | 1 这类题目都是死板的题目。特别强调逃不掉的那个关键点就行了：拆开绝对值只有两种
可能。（因此造成了分段。）
key point
key point |
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l*****8
发帖数: 16949 | 2 嗯，写得有点太繁了，估计怕有人看不懂。其实就是一层层的去掉绝对值的符号，去绝
对值的时候几种情况自然就出来了。
piece- |
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t******l
发帖数: 10908 | 3 看来你的想法跟我差不多。大名词的说法，一层一层由内向外 substitute 成 piece-
wise linear / segmented function，更清晰和容易掌握，我个人觉得。 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 4 前几天做过，就是层层去掉绝对值。一个绝对值分解成两个方程式。
后来发现做错了（当年是不可能错拉）
其中一个方程式是 类似于 y=|2y+6| 之类的。
我就光记得分成两个了，忘记了隐含条件是 y >=0, 需要把结果拿回来再看看。
观化 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 5 一个题就把所以概念复习一遍
所谓事半功倍
省了再去找题的时间
piece- |
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t******l
发帖数: 10908 | 6 另外 Khan Academic 的 video，我不知道是不是容易建立从内向外拆的概念 ( 其本质
是 order-of-operation 造成的 )。
我拿这个做例子，主要是想知道 (1) procedure-driven vs (2) explanation-driven
vs (3) modelling-for-problem_solving-driven 三种教学办法的差别和适用度。(我
生造了三个名词，就是个意思)。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 7 如果按标准代数 piece-wise linear 进行 substitution，那么 |2y+6| 这个
expression 被 substitute 成如下的 piece-wise function:
(2y+6), y ≧ -3
-(2y+6), y < -3
把上面 piece-wise expression/function 搞进原方程成为 piece-wise equation，这
样就不会出错。
还可以用解析几何坐标系画一下，当然考试时省时间就不必了。 |
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r*g
发帖数: 3159 | 8 现代化方法，就是打开wolframalpha.com,
输入 Plot y = |2x-|60-2x|| and y=x， 它给你画出图来， 三个交点，怎么分段一目
了然。 |
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Y********d
发帖数: 1478 | 11 十天的挂念和反思，一整晚的不解和难过，一早上的失而复得的惊喜。
回来就好。其实发现，我对你的态度转变就是从你上次批小马甲开始的。
小马甲就是好啊，就是好。啥时候，我那几个姐姐也批个小马甲回来就好了。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 12 我觉得，本质上这些方法是一样的
练习的时候，都让孩子学习，真的是为了通过一个题来反复阐述辨析概念。知识有趣的
一个地方就是:一个老旧的东西突然就会有新花样，新体会。数学尤其如此。基本概念
经常有意想不到的的推论。
有天和娃聊起来等号，这么简单常见的一个符号，你说在数学里意味着多少事情。。
至于考试题，就让孩子挑一个最顺手的。有的对几何直观敏感，有的对纯粹代数推导敏
感，有的甚至对先猜后验证拿手
各随各的吧 |
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t******l
发帖数: 10908 | 13 我其实就是有个问题上来听听不同人的意见和想法。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 15 这么说也有道理。
但另一方面，中学代数的精髓，还是更在于其简洁较少二义的符号规约系统、和清晰的
解析几何建模/表述。这样超越 prealgebra 的 ELA 型图景。
我老总有一种美国这边在 prealgebra 阶段纠缠太久的担心，以及在 algebra 教学里
伪装着 prealgebra/arithmetic 思维定势的担心。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 16 我越来越觉得美帝publicschool教育靠不住
您要是有点个人想法，就别顾及学校了
真的考虑另起炉灶，比如家里补课，或者上点别的课外班
这个不只是数学，而是一切您在乎的课程，包括写作，体育，艺术。。。 |
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s**y
发帖数: 151 | 17 x = |2x - |60 - 2x|| =>
(1) x^2 = (2x + (60 - 2x))^2; and (2) x^2 = (2x - (60 - 2x))^2
(1) => x^2 = 60^2 => x=60 and x= -60
(2) => x^2 = (4x - 60)^2 => x = 12 and x = 20
x=-6 is ignored because it must be x>=0
so x= 60, 12, 20. |
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x***1
发帖数: 999 | 18 我也班门弄斧：
x=+-(2x+-(60-2x)):
x=2x+60-2x=60,
x=2x-60+2x, x=20,
x=-2x+60-2x, x=12,
x=-2x-60+2x=-60, 也得check. |
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w********9
发帖数: 8613 | 19
这个其实更复杂。由于取了平方，最后必须做4个验证取解。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 21 是不是所有根都要check，还是和解法有关
我记得ls的平方法的根最后要check去掉增根
这个直接展开法好像不需要再带回去了吧？
还是我记错了。。。
另外，绝对值方程有没有简单办法判定根的个数(包括重根) |
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x***1
发帖数: 999 | 22 就是在去掉绝对值符号时加上正副号，然后组合，这个有两个绝对值，有四种结果, 但
其中一种不符合要求。 |
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x***1
发帖数: 999 | 23 我觉得每个根都要check，因为不知道那个根错的那个对的。
这个直接展开，就是省略了分段讨论时的麻烦，但会有多余的解，但不会漏掉任何一个
解。
不知道有没有简单判定根的方法。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 24 去绝对值加正负号的时候，x 要加上 range 限制 (自动形成分段)，否则推导过程不等
价。
从解析几何表达看，如果不加 x range 限制，实际上形成两条直线而不是两条射线，
导致不等价。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 25 对头，这就是我前面提到的:去绝对值加正负号不产生增根，前提条件是加上不等式检
查(也就是range限制)
你比我说的清楚 |
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w********9
发帖数: 8613 | 26
我明白你的意思，但是必须说“可能有以下四种结果”。我觉得这样有些马虎。跟去平
方一样，扩大了寻解的范围，必须回到原方程验证。
AoPS的Richard在解题时喜欢写得非常细致。按基本写法做是可以写成下面那样简洁的
。验证很直接。
x = |2x - |60-2x||
Obviously x>=0.
Case 1. when 60-2x <=0, or x >=30,
x= |2x-[-(60-2x)]|=60 >0.
Case 2. when 60-2x>0, or x <30,
x= |2x-(60-2x)|=|4x-60|
sub-case 2.1 when 4x-60<=0, or x<=15,
x= -(4x-60), or 5x =60, x =12<=15 and >=0.
sub-case 2.2 when 4x-60>0, or x >15,
x=4x-60, or 3x =60, x =20>15>0.
So, x=15， 20， or 60. Their sum is 92. |
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r*g
发帖数: 3159 | 27 老实讲我不太明白为什么这个要单独教。这么教要学的细节也太多了。就如刷漆的也不
用每种颜色都要学一遍吧。 |
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h****1
发帖数: 76 | 28 可以图像解法吗？非常直观。
用geogebra作图，一条是y=|2x-|60-2x|| 另一条是y=x
有三个交点 |
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t******l
发帖数: 10908 | 29 我昨天试了 plotting tool (gnuplot)，效果不如以前手工 plot 好，我觉得是机器跟
人相似性太差，在基本概念入门的时候，还是老师/家长手工 plotting 更好些。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 30 绝对值方程其实第一次遇到分段函数展开。
将来 calculus / numerical analysis 都会遇上分段函数拼凑的问题，还不一定是线
性。
也算是基本概念层次的东西。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 31 我最近衡量了一下，我不考虑另起炉灶，主要原因还是我家娃的天资有限，跟学校大众
平均差距没那么大，不值得另起炉灶。
但我觉得学校的缺点是，就拿 prealgebra 做例子，学校的 target 都是一个个 short
range target 承起转和，因为要保证娃能很快理解和运用解题到熟练，这样才能标准
化测试考试跟踪进度，以及衡量和约束教师。
但这个 short range target 不断转向不断折腾的策略，我觉得也可能也是导致高中代
数有一批下滑或者吃力努力 “解题基本靠背诵” 才能跟上的原因之一。
所以我觉得我自家，就在概念层次上，搞些一步到位的 end of day 的 long range
target 的各种概念。不求能实际拿来解题，但求概念上能起指导作用。这样就有了指
南针和舵手，不会被学校 short range target 承起转和的策略搞晕，尽可能保证将来
高中数学不会下滑。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 32 这个写得简洁明了。实质就是绝对值的分段函数 substitution 这个 formal
operation 的具体实践，只是这里的 formal operation 把一个方程拆成两个“区段内
有效”的方程。
其实我给娃写就直接写出 piece-wise linear 和 algebraic substitution 的写法，
反正自家不受学校书写格式的限制。
另外第一个 obvious x>0 不是必须。更明了的写法是写在 case 1 和 2 的第二步绝对
值展开里，虽然比较 trivial。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 33 这个long range target 很有启发意义
我也要好好想想。。。
short |
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d**********h
发帖数: 2795 | 34 x>=0是必须的吧，因为 x 等于一个绝对值
而且这个不是只在第一步，而是所有步（case）里都需要的 |
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x***1
发帖数: 999 | 35 我觉得做类似的题，首先十有八九得画图，用手画，不要借助于电脑。
如果画图很费事，比如绝对值里出现平方甚至立方项，如果分段，解不等式比解等式更
难，时间有限，立马得用绝对值的定义去解，也就是笨办法，看有多少组合。
如果还不行，就得用其他办法，比如楼上的平方啥的。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 37 不是必须，把绝对值做分段函数展开时，自动满足该绝对值大于零。
当然有时候可以加速解题用。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 38 如果目的仅仅是求根而不是画整个函数，那不一定要解不等式，理论上就是把
|f(x)| 这个表达式给 algebraic substitute 成两个带条件的表达式：
+f(x), when f(x) >= 0
-f(x), when f(x) <= 0
然后把条件表达式放进去形成带条件的方程。先不管条件解出来以后，代入条件
看看是不是满足条件即可，不用解 x range 的不等式了。algebraic substitution
死推也推倒了，当然就是体力活多一些。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 39 另外画图主要是为了理解概念，真正解题是靠 algebraic deduction，不需要画图。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 40 我觉得也是这样
代数推导可以严格保证一个问题被分解成等价的子问题的完备组合
画图就有些凭经验和感觉了，容易漏根 |
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B****n
发帖数: 11290 | 41 這樣的問題 實在很難想像能有什麼特別快的解法
尤其是這個解法還要讓學生覺得容易接受 |
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t******l
发帖数: 10908 | 42 是。其实教这题的目的也不是啥巧妙的解法，而是根据代数符号系统做严瑾的推导，每
步都知道方向，但又不是像竖式乘法那样可以光练个手熟不动脑子。
(主要还是代数比竖式乘法变化多很多，光靠练成手熟的，我担心一般毅力不行又不愿
吃苦的娃，高中可能累成半死，大学搞不好会想 quit 然后改读文科。这个担心我觉得
在美国这边很实在)。 |
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Y********d
发帖数: 1478 | 43 问个偏题的问题：你给娃讲解这些数学题目时，用英语还是中文？
我现在给娃讲故事书，已经面临这个语言选择的问题了，不知道以后会怎么样。 |
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Y********d
发帖数: 1478 | 45 可以理解六年级娃应该用英语教academic。
那么平时日常对话是中文还是英语？
刚开始引入数的概念，简单加减法呢？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 日常对话：中文。
小娃的 simple math：英语 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 47 问个问题
加法，什么时候说plus，什么时候说add
减法，minus和subtract，孩子倾向后者，我习惯前者，为啥？
是不是初等数学和高等数学的区别
比如乘除的符号在代数阶段就被小点儿和/代替了，不会写x和÷ |
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n***p
发帖数: 7668 | 49 我的看法如下：
标准数学用法，a+b, a-b, 读成 a plus b, a minus b.
add 和 subtract都是在描述性语言中出现，比如 add a and b, subtract b from a. |
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