k******b
发帖数: 4501 | 1 我感觉微积分，线性代数这些概念在高中接触一下还是有益的。在大学那么短时间内很
难消化。
都解
间仔 |
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B********d
发帖数: 1893 | 2 错误，概念的培养很重要，中国的物理化学这方面做得就不错，基本大多数内容中小学
已经涵盖，到了大学就是一个深入的过程。似是而非当然是大忌，但是由浅入深也很重
要，浅的，不见得就一定是错误的。比如中学物理谈到爱因斯坦相对论，提到了光速不
变，质能转化这些概念，当时搞不很懂，但是很震撼，有空没空课外阅读还经常去琢磨
。 到了大学里再次接触，就感到不陌生，比原来理解要深刻得多。
线性代数我大学是学了一个学期，考试比满分只丢了三分。但是后来学到量子力学，计
算机模拟之类的，看到各种五花八门的矩阵转化，运算，还是感到隔了一层，显然是这
种概念砸得不够深厚。
从算术到代数，是一大飞跃，一个字母可以代替一个变量； 矩阵和线代就是另一个概
念飞跃，一个字母可以代替一个矩阵。中学生只要建立起这个概念就可以了，暂时不需
要做很难的应用。
都解
间仔 |
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n***p
发帖数: 7668 | 3 你的帖子很明确的说明，对普通学生来说，就算在高中接触了一下线性代数，其实也没有
什么帮助。
如果你认识到大学里学了一学期的线性代数其实只是一个入门的话，就知道要是把它放到
高中里蜻蜓点水的介绍一下，那是根本连门都没入啊。但是要想学得稍微深入一点儿，那
是要花很多时间和精力的，普通高中的孩子根本不现实。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 关于重复练习。
一个是时代问题，好比冷兵器时代反复练臂力，热兵器时代就不用那么偏门。。。数学
而言，我们实际上是在经历从 "算盘肉算" 到 "硅片电算" 的时代变迁。。。
另一个是应用问题，比如徐海峰啥的，需要大量重复猛练枪法。但 Seal Team 6 啥的
，在固定姿势下重复练枪法的意义有限。。。其实 Seal Team 6 也是重复练习枪法，
但是在变化的条件/环境下的重复。原因不过是真实战场上的敌人，通常不会主动站成
靶子，也没啥规则说不许放近了开枪，也没啥规则不许仨队友齐射敌匪。。。
you |
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s**********y
发帖数: 509 | 6 这个也要顶。 我来多说两句。 基础是相对前沿的。 前沿的变化，必然要反映到基础
训练。 也就是说基本功是一个动态的概念。这也是回过头看我们的教育， 包括数学教
育， 与世界的距离好像有点远的原因。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 7 怎么理解概念呢?是通过大量的问题?还是通过思考?
大量做题有可能磨灭兴趣。
只是思考可能理解不深。一些fact,规律，定式记不住 解决问题事倍功半。
潮水说得好。打开书，还魔术师。都重要 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 属实。。。在小学基础教育阶段，对大多数娃，我觉得杂食总没大错。。。高精尖专业
化，可能等高中大学研究生啥的，看得出娃的兴趣长处了，再以有地放屎的姿势狠搞，
或许事半功倍？。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 9 具体而言，我觉得从肉算到电算的变革年代，对数学基础教育影响较大的
可能是：
（1）Problem complexity/original vs problem size：
肉算型重复/准重复练习，problem complexity/original，
比 problem size 更重要。因为反正最终都会去电算的。
（2）特解 vs 通解：
不说了，电算求个特解。。。尼玛老板有没有人性啊，码 code 的力气
都不值的说。。。
（3）尽可能清晰无二意的表达复杂非定式问题的解法：
如果都表达不出来，还想要电算？醒醒吧，再等人工智能发展 100 年！！ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 另外从肉算到电算，引入了一个新的基本层面的问题，就是对 computability
的思考。
肉算时代，只有数学家精神病吃饱了没事干才思考 computability 的问题。
对于正常人而言，computability 就是肉算到吐血前，还能算多久的问题。
电算时代就不一样了，都喝了五杯咖啡了，电脑还没出结果，你丫到底是关机
走人去幼儿园接娃，还是继续喝咖啡？。。。这个问题太简单粗暴了。。。
最最简单的例子，为啥要区分有力数和无力数（有理数vs无理数）？你小学
体育老师没告诉你无力数就是让你数到没有力气的破玩意儿么？
复杂一点的例子，为啥现代数学的四大蜘蛛是 axiom set theory,
proof theory, model theory, recursion (computability)
theory？其实下面这个 link 里这段说的还是不错的。
http://agile-development.blogspot.com/2013/03/the-four-pillars-
The theory of computation is the missing link bec... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 不过说到底，最最没有人性的还是数学家们。。。丫们就不能写个数学理论
通俗魔鬼有趣给力版？。。。丫们别的不说，就那个坑爹符号系统，我们
马工们还要看半天都看不明白。。。数学家们太没有社会责任感了，让大家
怎么给娃侃趣味数学故事嘛。。。
相对而言，要表扬无力学家（物理学家）。。。比如那个 The fabric of
cosmos，以及 the inexplicable universe 啥的，还是比较有趣的。。。
虽然俺娃目前还不太有兴趣看。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 谢谢，收藏了。。。俺看看能不能跨图书馆借到。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 我刚才突然明白过来你最后一句的中文翻译，是翻译那句著名的：
Play the opening (game) like a book.
Play the middle game like a magician.
Play the endgame like a machine. |
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B********d
发帖数: 1893 | 16 错误。现在我对线性代数应该算比较熟练了，但是这个门不巧是我在大学才开启的，当
时考试我考得好，但是后来自己觉得概念其实没有建立扎实。
和你一样的许多中国人，对付各种考题从而得到高分数更有兴趣，而往往把一个东西的
概念的建立非常不重视，对于中学生，完全可以给矩阵线代的概念，就是一个概念，不
用太深，确保这个概念本身是正确的就行了。比如美国小学生就开始培养他们做些小买
卖，成本，赢利等等，这些个东西离开深奥的微观宏观经济学以及实用的财务会计技术
，都差很多，但是这些浅显的经历，对于他们建立财经的概念，是有好处的。
美国公立学校在第八年级（不到中国高中年龄）接触矩阵概念。
没有
放到
，那 |
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B********d
发帖数: 1893 | 17 概念就是你对一个名词，一个领域的印象，这个印象可以很深刻，也可以很模糊，可以
深刻但是黑暗，也可以模糊但是充满了喜悦。
你可以把概念理解成一个铺垫，也可以理解成一个概括。 追根究底，精益求精，当然
也是一种学习的境界，但是蜻蜓点水，获得有益的概念，也是重要的学习方式。
一个孩子钢琴考到十级，但是他对钢琴的理解完全是为了家长和为了考级，那么这个孩
子对于钢琴技术的概念就是偏颇不全面的。钢琴应该首先是音乐的概念，一个孩子可以
一开始是家长逼着练习，但是到了十级如果他练琴还是给家长练，那么他的音乐概念的
建立就是不正确的，失败的。
我们读过的那些教科书，现在能记住百分之几的公式和公式推导 ？ 但是我们解决问题
的时候，会突然想到，这个可以用某某算法，某某理论解决，这个就说明我们概念建立
得正确，没有白学。 |
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B********d
发帖数: 1893 | 20 某些“婚恋专家”家庭伦理学博士毕业，饱读理论书籍，积极帮助众人解决婚姻恋爱难
题，但是他们自己在个人生活中却遭遇失败，离婚收场。而一些子女有幸成长在幸福婚
姻的家庭里，他们长大之后以自己父母为榜样，婚姻生活也很美满。
这就是读书背记理论字句，和建立正确概念之间的区别。 |
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n***p
发帖数: 7668 | 24 一句话， “书到用时方恨少”。
我知道你是到了大学才开启线性代数的这个门的，但是你觉得如果你高中就接触
过矩阵的概念，你的概念就会很扎实？ 你也知道，矩阵理论很复杂，内容很多，
需要很多时间的学习，思考，和练习，才能融会贯通。
你也知道你考试考得好，但是概念没有建立扎实。更多的孩子是不仅概念不扎实，
而且考试考得也很烂。概念扎实的，考试不可能考得不好。
美国孩子八年级接触矩阵概念，然后他们的概念就很扎实？搞笑的吧你？美国高中
就学微积分，然后很多孩子上了大学之后，要正儿八经的修微积分了，然后发现他
们其实只是知道一两个概念名词，根本就不理解。但是他们又自以为什么都懂，炒
夹生饭，很难弄。
我说过，好的高中生，直接到附近大学里跟大学新生一起修微积分课，可以学得很
好，很扎实，把概念弄得很清晰。但是，大部分的普通高中生，在那些普通高中老
师开的入门性质的微积分课里，基本上是顶多接触个皮毛，概念不清晰的多了去了。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 25 严重同意。话说昨天我看见＂朱好大＂提＂实数公理＂，不明觉厉，惭愧难当，遂去古
狗。发现了个对数学高屋建瓴的综述：WIKIPEDIA。。觉得挺有收获。
http://en.wikipedia.org/wiki/Areas_of_mathematics
1Foundations
1.1Arithmetics：The study of quantity.
1.2Algebra：
1.2.1 elementary algebra.
numbers, first the familiar natural numbers and integers and their
arithmetical operations
1.2.2 number theory.The deeper properties of these numbers
1.2.3 abstract algebra. The investigation of methods to solve equations
among other things, studies rings and fields, structures that g... 阅读全帖 |
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B********d
发帖数: 1893 | 27 是的，大学开始已经有些晚，因为在线代开始之前，别的功课已经开始涉及矩阵等计算
，难道这个还不算晚 ？
你又错了。 你不明白一种循序渐进的学习和教育理念。你说的不错，概念扎实的，考
试不难考好；但是反过来不一定正确，考得好的，不见得概念扎实。扎实概念，按照我
多年的理解，在大学前的最单纯的学习阶段的基础，非常重要。
你别误会，我并没有说中学涉及了，大学就一定会学好，也不是说美国中学学了，美国
中学生的数学就普遍比中国人的强。我只是欣赏美国教育专家把矩阵放到八年级这个战
略的正确性，至于说美国高中学生普遍地不重视数学学习，从而效果不佳，这是另外一
个问题。
我个人经历就是一个讽刺，学习线代的时候，我把它当作简单的课，因为线代公式的规
范性强，加上当时老师出题目正中我的路子，我几乎就是考的全班前列。我很自信自己
就是线代的优秀生，直到我后来实际应用矩阵到我的研究生学习和科研中，我才发现我
其实对矩阵的理解很不全面和准确。尤其前面那位说的矢量和矢量空间这类概念，我几
乎没有建立起来（说没有建立起来，是说我可以硬着头皮去记住什么叫做什么，什么是
什么，什么怎么算，但是不知道这些东西和物理问题有哪... 阅读全帖 |
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s**********y
发帖数: 509 | 28 中国高中矩阵列入选修了。 所以以后的孩子没有这个问题了 （hopefully) |
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n***p
发帖数: 7668 | 29 其实我一直在说循序渐进的问题，只不过没有把问题推到高中教育的极端情形而已。“
书到用时方恨少”就是说明，以前学的知识不够，可能是根本就没有接触过，也可能是
理解不够深入，然后就需要继续深入学习一下。
但是想把一个概念理解深入，是需要有外在的推动力才行的。那些向量空间之类的东西
，也不是数学家拍拍屁股就凭空想像出来的。叫我说，对向量空间理解比较深刻一点，
是从学了泛函分析之后才有的。
至于你说还没学过线性函数其他课程就需要矩阵计算，我没碰到过。我记得大学第一学
期就学了线性代数。不同专业课程设置不同，衔接出点问题也不是不可能的。但是老师
一般会把需要的额外知识介绍一下，学生们一般应该没有问题。
忽然想起特殊函数来了。这些玩意儿对某些专业用处非常大，但是对于另外的专业可能
一点用也没有。如果需要，就找本书看看就完了。这也是我对学习和研究的态度。要指
望在学校里把以后需要的知识全都学到，那是根本不可能的。活到老，学到老。 |
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m**o
发帖数: 846 | 30 99表当然有意义，如果你连99表的意义都理解不了的话，还妄谈数学教育，徒留让人耻笑 |
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B********d
发帖数: 1893 | 31 我同意对于学习能力强的人， 80 岁学习也不晚。
中学的学习内容是打基础，所以选择什么给孩子们讲是要看这些知识应用的广泛程度。
从矩阵线代在学习其它知识时候的作用看，其重要性已经很明显了，所以美国在 8 年
级（不到高中）就开始介绍，而上面有人说中国在中学也已经把矩阵引入选修。 这些
做法都证明了教育界对提前向孩子介绍线代的认可。这个趋势不是你想否认就可以逆转
的。
最后我必须提醒你，知识的引入，也不是象你说的那样死板，必须学了什么才能掌握什
么。很多高深的知识体系，可以从高深角度去学习，也可以从浅显一端学习。比如小学
就给孩子讲了万有引力，中学就介绍相对论，难道都必须讲述最严格的数学物理公式推
导吗。对小学一年级的学生，也可以给他们讲所谓牛顿苹果的故事（据说是谣传， so
what), 他们完全可以理解，用很浅的，但是也并非错误的方式。线代，矩阵也是如此。
我到现在都没有发现什么知识不能用浅显的方式给没有基础的人讲解。凡是自己对知识
真正吃透的讲解者，就越有能力找到通俗的方式。 |
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B********d
发帖数: 1893 | 32 我接触二进制概念是小学二年级，自己读十万个为什么，以及一些科普刊物，很快就
明白了。 |
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s**********y
发帖数: 509 | 34 八进制的77表你也背？
乘方表被捕背？
开放表被捕背？
对鼠标你也背？ |
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m**o
发帖数: 846 | 35 能问出这样的问题，凸显了您的智力水平和逻辑水平。不解释....LOL.....
八进制的77表你也背？乘方表被捕背？开放表被捕背？对鼠标你也背？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 楼上的诸位，俺代表 TVB，来和稀泥啦：
99 表嘛，最终当然是要背的。不背 99 表，做乘法太慢。
但是光 99 表不够啊，99 表也就能做个算术是不是？
要背的东西还很多啊，比如抽象代数算子表要不要背？
你们看看实际今天发生的例子，俺偷懒没背扎实抽象代数
算子表，今天就直接在大众面前一头栽倒在 XOR 算子
上面倒地不起一整天了吧。。。出了大洋相是不是？
所以背 99 表也别太走火入魔了，悠着点，省下点时间
背点其他各种杂货表。。。古人云：不得脚气病的秘诀
是杂食！！！！ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 这个 list 狠好。。。
不过如果与时俱进一下的话，我觉得直接间接跟 computability 的层面
有关的问题，应该在课后趣味数学里，潜移默化/暗渡陈仓的东东里，
放在第一位。。。
因为因为，在 problem solve 前，是不是应该想想旮瘩 problem 在理论
上能不能 solve 嘛。。。
另外学校教育的最大一个漏洞是，hey，考试题目都是有解的，而且 15 分钟
解不出的就是傻叉有木有！！。。。但是现实里万一碰到一个理论无法解的
problem，必须要 bend 一下修改 problem 本身，才能去糊弄客户的情况，
不知道这次谁会更傻叉。。。// super fast run |
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B********d
发帖数: 1893 | 38 数学很重要，是很多最先进技术（比如手机通信，计算机模拟，甚至最新金融经济学）
的基础，数学的概念，而不是具体公式和偏题难题，尤其重要。 美国高科技人才缺乏
，归根结底就是他们数学教育的失败，奥巴马把数学科学并列，要中小学加强，是有他
的道理的。很多具体知识都可以成年之后恶补，但是数学的概念一旦没有很早建立，成
年后恶补高科技，就会和读天书一样困难。这也是许多美国成年人对数学含量高的科技
领域望而却步的原因。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 属实。。。不过我觉得美帝失败，最最主要的原因，是美帝这个全民
看重体育、轻视理工的中小学文化。。。如果家长不 care，老师没有
动力搞明白，再合理的教纲都是屎。。。 |
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B********d
发帖数: 1893 | 40 现在奥巴马政府强调以后，可能会好些，尤其奥巴马多次故意说好多高薪高技术工作，
只有找外国人，这个可能对美国家长是某种刺激。但是话也说回来，美国重视理工外其
它软能力，也有他们的可取之处，理工技术能手就算缺乏，也是容易从别的国家挖的，
高级管理商业人才，有的时候才真的一将难求啊。 |
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u*****a
发帖数: 6276 | 41 My apology if you misunderstood the meaning of my reply.
The word "dating" in my reply refers to "给出时间" , not "约会". It has
nothing to do with "自大".
我就是想说如果你考过满分150分的高考数学考试，那你就告诉了我们你大概的年纪。
至于你对中学数学的看法，我个人觉得是有水平有根据的, not self-centered at all
!
所有大学都要自圆其说。即使是清华北大，也不能提前告诉你它们教的课程一半以上都
和学生将来的工作无关。要不谁还去花那个冤枉钱和时间啊。但你现在搞明白了，也是
你母校的功劳：它培养了一个好学生（有独立思想）！说不准还帮你骗了个好老婆（有
个人魅力）。 |
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L*******n
发帖数: 3169 | 42 中学数学可有用了。当然不用也能活，就是比较吃亏。
你估计是吃亏惯了，以为数学没用。。。
么？ |
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m****t
发帖数: 2329 | 43 【 以下文字转载自 WaterWorld 讨论区 】
发信人: mitbbt (mit粉粉), 信区: WaterWorld
标 题: 河北衡水女孩放弃高考 被哈佛等9名校录取
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Jun 8 07:21:07 2014, 美东)
一米七二的身高，小麦色的皮肤，长发近乎及腰，灰色的连衣裙，当“美范儿”十足的
张媛琦出现在记者面前时，记者很难想象如此成熟的她才只有19岁。Mitbbs.com
>>人物档案Mitbbs.com
姓名：张媛琦Mitbbs.com
籍贯：河北衡水Mitbbs.com
学校：河北衡水中学、美国圣格雷戈里大学预备高中Mitbbs.com
录取院校：哈佛大学、麻省理工学院、斯坦福大学、康奈尔大学、卡内基梅隆大学、加
州大学洛杉矶分校、加利福尼亚大学伯克利分校、密歇根大学安娜堡分校以及伊利诺伊
大学香槟分校Mitbbs.com
在整个采访过程中，张媛琦一直坐得笔直，思路清晰，面带微笑，并且时不时地举出一
些诙谐的例子，现场气氛轻松活跃。对于自己取得的成绩，张媛琦非常谦虚，认为自己
只是比别人更努力，也比别人更幸运而已。提到父母家... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 44 俺不知道这类题目理论上能不能简单使用排列组合公式来解。。。不过俺觉得至少理论
上的困难是: 排列组合都是序列上的操作（区别只是需要不需要保持有序），而这题明
显是在可旋转可翻转的环上的操作。。。序列这玩意儿总可以从头开始数一数二，可旋
转环这破玩意儿也不知道哪里是个头。。。另外俺们以前中学数学，重复猛刷那么多枯
燥排列组合题，真不知道是图个啥。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 45 我有时觉得我们的中学数学，重复刷平几坑爹证明题，不知道图的是啥。。。形象化证
明一遍 mathematics foundation / fundamental concepts，比重复刷那些题，对娃的
长期，有价值多了。。。不过归根到底那些概念没法考试倒是真的，我觉的兴趣也许就
是帮助娃别扔了考试没法考的东东。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 46 这个其实还没到创造力那个高度。。。这个其实就是小学中学数学/物理解题时，首先
要在脑子里"看到"那个图景，就非常给力。。。当然，狠狠刷题就不需要啥图景，娃就
是苦一点，将来废柴概率大一点。。。当然，人艰不拆，不多说了。。。 |
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r*g
发帖数: 3159 | 47 跟芝大的经济学博士比中学数学竞赛，你老公很强大！心理上。
她玩 |
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s**********n
发帖数: 2343 | 48 累啊。 我现在就是“兼职中学数学老师”。 如果小孩自学能力强的，家长就享福乐
。 否则，呵呵。 |
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l**a
发帖数: 5175 | 49 我给小孩上的大名顶顶的新加坡数学。
新数的思维方式比较类似中国我小时候学的那些。
INTENSIVE和CWP很好，我们也不打算竞赛，
小学基础打好了，中学数学才能跟的上。
高中很多女生学不了理科，是因为基础没打好。
高中数学突然有难度了。
如果做ACCOUNTING的话，最少有饭吃，
我当年考精算，１００，１１０的时候，
１００得了１０分，１１０得了７分。
我觉得这个１０分的知识，还能发挥点作用。
ACCOUNTING根本不用电算，比码工还容易点。
CPA也不错，数学就是这点用处，如果不能搞SCIENCE。
只好学商业。
您老不记得我精算第一级考了１０分，
美国精算学会给我发了表扬信。 |
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k*******g
发帖数: 7321 | 50 好多美国小学和中学数学老师，纯粹就是打酱油的！ |
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