l***e
发帖数: 33 | 1
大家好, 第一次在MIT上发文, 请多指教.
Newton法只有局部的收敛性 (当然对凸函数有全局的收敛性. 例如 Y = x^2).
我的例子是y = sin(x).
考虑区间 [-pai/2, pai/2]. 可以证明: 存在 a 属于 (0, pai/2), 使得:
sin(a)/cos(a) = 2*a.
Newton法若以a为初值, 则有:
x(0) = a, x(1) = -a, x(2) = a, ...
反复振荡....
请注意sin(x)这时是非凸的.
在这个例子中, 研究一下所有可以作为Newton法初始值的点集, 相信会是很有意思的事. | s***e
发帖数: 911 | 2
也没有什么不同. 复平面上的漂亮分形一般说来用三次多项式地根来作.这样复平面
上有三个点是解. 不同的初值用牛顿法导致收敛到不同的点. 于是扫描复平面的某个
域. 这个域就被分成三个子集合S1, S2,S3. S1的点都收敛到点一, s2到点2,s3到点3.
S1,S2,S3用不同颜色来标志,画在平面上, 你就得到了异常复杂漂亮的图案. 数值的
一个结果就是, 点1的领域内, 一定有点属于S2,S3, 所以这个图案是完全交织在一起的. | v**d
发帖数: 186 | 3 Right. 一点补充，一般来说大部分有复根的多项式方程都有
类似的分形。但是对於实轴上的初值来说，
如果多项式系数都是实数的话，这些
点要幺收敛到实根，要幺不收敛。
(偶很怀疑它们都收敛到实根)
因此这个NEWTON法分形问题与前文的收敛问题虽有联系，
但颇不相同。
【在 s***e 的大作中提到】
:
: 也没有什么不同. 复平面上的漂亮分形一般说来用三次多项式地根来作.这样复平面
: 上有三个点是解. 不同的初值用牛顿法导致收敛到不同的点. 于是扫描复平面的某个
: 域. 这个域就被分成三个子集合S1, S2,S3. S1的点都收敛到点一, s2到点2,s3到点3.
: S1,S2,S3用不同颜色来标志,画在平面上, 你就得到了异常复杂漂亮的图案. 数值的
: 一个结果就是, 点1的领域内, 一定有点属于S2,S3, 所以这个图案是完全交织在一起的.
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