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发帖数: 1568 | 1 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话泛函就不会被称为现代数学的支柱了.
在话说泛函---Hilbert空间(上)中我只提到了一个很自然的泛函空间:
在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点. 这个最早的Hilbert space叫做l^2(小
写的l 上标2,又叫小l2空间), 非常类似于有限维的欧氏空间.
数学的发展可以说是一部抽象史. 最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在
算术运算中可以都被抽象为"一", 也就是"数学"本身的起源(脱离具体物体的数字
运算)了,而Hilbert space理论发展就正是如此: 内积 + 线性 这两个性质被抽象
出来, 这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space.
单位闭区间上所有平方可积的实函数(就是说 f(x)的平方在[0,1]上的积分存在
且有限)按照函数的加法和数乘成为一个线性空间,然后我们定义内积如下:
= ∫|f*g|dx, 范数‖f‖=根号=根号∫(f)^2dx.
容易验证它们满足内积和范数的几个公理(有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本
泛函书).
这样把(平方可积 |
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