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Quant版 - 再来一道最近的面试题
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话题: payoff话题: stop话题: sum话题: price话题: times
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k*********r
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1
一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
head的比例。请问这个game的fair price是多少?
(请大牛给出解题思路)
谢谢!
l*****y
发帖数: 56
2
假设投了n次,那么 expected payoff
E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
1) = 1/2.
所以結果和投的次数无关,payoff都是1/2, 所以fair price 应该也是
1/2.
一点愚见,请指教。
k*********r
发帖数: 11
3
我觉得结果应该大于1/2.
设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
所以gamne price应该是1。
不过觉得好像太简单了点。

k-

【在 l*****y 的大作中提到】
: 假设投了n次,那么 expected payoff
: E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
: 1) = 1/2.
: 所以結果和投的次数无关,payoff都是1/2, 所以fair price 应该也是
: 1/2.
: 一点愚见,请指教。

p********6
发帖数: 1802
4
假设投出了k个head停下来,那么k应该满足
k/N>E(pay off |k)=(k+1/2)/N
所以k>N/2的时候应该停下下来。

【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少?
: (请大牛给出解题思路)
: 谢谢!

l*****y
发帖数: 56
5
我是这样理解的
E(total payoff)=\sum_k=1^\infty E(total payoff| rolls=k)Pr(rolls=k)
然后前面算过conditional payoff 总是1/2, 那么最后的payoff应该也是1/2.

【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
: 继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-

C***m
发帖数: 120
6
先按照你这里的说法,就是假设这个game price是在最开始支付一次的,然后期望得到
payoff。
因为symmetric random walk是recurrent的,所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
,也就是说这个比例至少可以到1/2
expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
另外一方面,考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发,计算 W_t-mt碰到0的概率。这
个概率绿皮书上算过,不是1,而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
就是1/2

【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
: 继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-

m*****y
发帖数: 8
7
应该没有显式解。
数值解为 0.79295350640770
参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
o**o
发帖数: 3964
8
Why touch 0 then stop? I think if you control the stop time, the payoff can
be infinitely close to 1.

★ 发自iPhone App: ChineseWeb - 中文网站浏览器

【在 C***m 的大作中提到】
: 先按照你这里的说法,就是假设这个game price是在最开始支付一次的,然后期望得到
: payoff。
: 因为symmetric random walk是recurrent的,所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
: ,也就是说这个比例至少可以到1/2
: expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
: 另外一方面,考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
: 条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发,计算 W_t-mt碰到0的概率。这
: 个概率绿皮书上算过,不是1,而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
: 就是1/2

a****h
发帖数: 126
9
答案是 0.75 吗?

【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少?
: (请大牛给出解题思路)
: 谢谢!

k*********r
发帖数: 11
10
我也不知道,当时没答上来,呵呵。

【在 a****h 的大作中提到】
: 答案是 0.75 吗?
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b******9
发帖数: 47
11
When there is H, you will stop.
Therefore it is Price = sum 1/2^i *(1/i)
where i starts from 1 to inifity.
Result is 0.693147.
l*****y
发帖数: 56
12
还是用动太规划来做合理些,我的想法太简单了,谢谢

【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html

P*****s
发帖数: 758
13
不懂这个题,但是有点像perpetual American option
y****8
发帖数: 11
14
Assuming that you have thrown N times, and there are K heads in the first N
throws. So the payoff is P(N,K) = K/N
you only stop when the expectation of next roll is smaller than the current
one.
In other words, E[payoff] = 0.5 * (K+1)/(N+1) + 0.5 * K/(N+1) = 1/2
so the payoff of this is always 1/2
P****d
发帖数: 369
15
Jane Street 上的题 =。=
m***I
发帖数: 467
16
Interesting... 如果做一阶近似,当k/(n+k)>=1/2*(k/(n+k+1)+(k+1)/(n+k+1))时
stop, stop rule就是简单的在第一次heads=tails+1的时候停止,这种假设下可以算出
price=(5+sqrt(2)*ln(1+sqrt(2)))/8=0.7808... not bad...

【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html

K**r
发帖数: 2193
17
如果认定了head比tail多一次的话,那么必须要掷1,3,5,7..次才能退出,而对应的
payoff是1, 2/3 , 3/5.....
with probability 1/2, 1/8 , 1/32.....
最后数值解的期望值是0.608
K**r
发帖数: 2193
18
奇怪, 我用R模拟一千次的话,payoff平均数的确是0.79
如果计算平均投掷次数的话是....无法给出确切解
不过下面的程序加了boundary condition。 最多投掷10000次
payoff=function(a){
n=length(a)
for (i in 1:n){
k=n
if(sum(a[1:i])>(i/2)){k=i #如果H的次数大于投掷次数一半的话退出
break}else{}
}
ans=c(sum(a[1:k])/k,k) #计算payoff, quit的次数
ans
}
times=1000 #1000次game模拟
b=rep(0,times)
quit=rep(0,times)
for (j in 1:times){
a=sample(0:1,size=10000,replace=TRUE) #10000次随机0,1序列
payoff(a)[1]->b[j]
payoff(a)[2]->quit[j]
}
ave(b)[1] #1000次平均payoff
ave(quit)[1]
q*l
发帖数: 26
19
.5+.25=.75
k*********r
发帖数: 11
20
一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
head的比例。请问这个game的fair price是多少?
(请大牛给出解题思路)
谢谢!
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问个面试题请问一道面试题
问一道面试题 brownian motion的问个面试题
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l*****y
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21
假设投了n次,那么 expected payoff
E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
1) = 1/2.
所以結果和投的次数无关,payoff都是1/2, 所以fair price 应该也是
1/2.
一点愚见,请指教。
k*********r
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我觉得结果应该大于1/2.
设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
所以gamne price应该是1。
不过觉得好像太简单了点。

k-

【在 l*****y 的大作中提到】
: 假设投了n次,那么 expected payoff
: E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
: 1) = 1/2.
: 所以結果和投的次数无关,payoff都是1/2, 所以fair price 应该也是
: 1/2.
: 一点愚见,请指教。

p********6
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23
假设投出了k个head停下来,那么k应该满足
k/N>E(pay off |k)=(k+1/2)/N
所以k>N/2的时候应该停下下来。

【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少?
: (请大牛给出解题思路)
: 谢谢!

l*****y
发帖数: 56
24
我是这样理解的
E(total payoff)=\sum_k=1^\infty E(total payoff| rolls=k)Pr(rolls=k)
然后前面算过conditional payoff 总是1/2, 那么最后的payoff应该也是1/2.

【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
: 继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-

C***m
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25
先按照你这里的说法,就是假设这个game price是在最开始支付一次的,然后期望得到
payoff。
因为symmetric random walk是recurrent的,所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
,也就是说这个比例至少可以到1/2
expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
另外一方面,考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发,计算 W_t-mt碰到0的概率。这
个概率绿皮书上算过,不是1,而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
就是1/2

【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次,那么是head的话你就应该终止游戏(payoff 为最大值1),是tail你就
: 继续掷,所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷,那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-

m*****y
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应该没有显式解。
数值解为 0.79295350640770
参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
o**o
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: 先按照你这里的说法,就是假设这个game price是在最开始支付一次的,然后期望得到
: payoff。
: 因为symmetric random walk是recurrent的,所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
: ,也就是说这个比例至少可以到1/2
: expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
: 另外一方面,考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
: 条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发,计算 W_t-mt碰到0的概率。这
: 个概率绿皮书上算过,不是1,而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
: 就是1/2

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答案是 0.75 吗?

【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin,你可以掷任意多次,一旦你停下来,那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少?
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Therefore it is Price = sum 1/2^i *(1/i)
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还是用动太规划来做合理些,我的想法太简单了,谢谢

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不懂这个题,但是有点像perpetual American option
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Assuming that you have thrown N times, and there are K heads in the first N
throws. So the payoff is P(N,K) = K/N
you only stop when the expectation of next roll is smaller than the current
one.
In other words, E[payoff] = 0.5 * (K+1)/(N+1) + 0.5 * K/(N+1) = 1/2
so the payoff of this is always 1/2
P****d
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Jane Street 上的题 =。=
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Interesting... 如果做一阶近似,当k/(n+k)>=1/2*(k/(n+k+1)+(k+1)/(n+k+1))时
stop, stop rule就是简单的在第一次heads=tails+1的时候停止,这种假设下可以算出
price=(5+sqrt(2)*ln(1+sqrt(2)))/8=0.7808... not bad...

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: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
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奇怪, 我用R模拟一千次的话,payoff平均数的确是0.79
如果计算平均投掷次数的话是....无法给出确切解
不过下面的程序加了boundary condition。 最多投掷10000次
payoff=function(a){
n=length(a)
for (i in 1:n){
k=n
if(sum(a[1:i])>(i/2)){k=i #如果H的次数大于投掷次数一半的话退出
break}else{}
}
ans=c(sum(a[1:k])/k,k) #计算payoff, quit的次数
ans
}
times=1000 #1000次game模拟
b=rep(0,times)
quit=rep(0,times)
for (j in 1:times){
a=sample(0:1,size=10000,replace=TRUE) #10000次随机0,1序列
payoff(a)[1]->b[j]
payoff(a)[2]->quit[j]
}
ave(b)[1] #1000次平均payoff
ave(quit)[1]
q*l
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37
.5+.25=.75
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