s*****e
发帖数: 20 | 1 问题：
Let u(x) = 1/d(R^2 - X^2), W_t a d-dimensional wiener process.
By applying Ito's formula to show that
u(W_t) = -t - /int_0^t (2/d)W_s dW_s +(1/d)R^2 |
f**********i
发帖数: 45 | 2 W_t是d维的，所以dW_t^2=d*dt
t)
【在 s*****e 的大作中提到】
: 问题：
: Let u(x) = 1/d(R^2 - X^2), W_t a d-dimensional wiener process.
: By applying Ito's formula to show that
: u(W_t) = -t - /int_0^t (2/d)W_s dW_s +(1/d)R^2
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s*****e
发帖数: 20 | 3 这个我理解了，但如何解呢？
【在 f**********i 的大作中提到】
: W_t是d维的，所以dW_t^2=d*dt
:
: t)
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f**********i
发帖数: 45 | 4 Calculate du first and then integrate...
【在 s*****e 的大作中提到】
: 这个我理解了，但如何解呢？
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s*****e
发帖数: 20 | 5 我怎么算都不对，我也不知到哪里出错了。。。。
【在 f**********i 的大作中提到】
: Calculate du first and then integrate...
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L**********u
发帖数: 194 | 6 could you please write down your question precisely?
【在 s*****e 的大作中提到】
: 问题：
: Let u(x) = 1/d(R^2 - X^2), W_t a d-dimensional wiener process.
: By applying Ito's formula to show that
: u(W_t) = -t - /int_0^t (2/d)W_s dW_s +(1/d)R^2
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x******a
发帖数: 6336 | 7 first order derivative w.r.t. x_i is \partial_i{u} =-2x_i/;
second order derivative w.r.t. x_i and x_j is
\partial_{ij}{u}= \delta_{ij} -2/d;
u(W_0) =u(0)= R^2/d;
du(W_t)=\sum_{i}\partial_{i=1}^{d}{u}dw_i +1/2\sum_{i=1}^{d}
\partial_{ii}{u
}dt = \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt
=-2/d W_tdW_t - dt
u(W_t)= u(W_0) + \int_0^t du =R^2/d -t -2/d \int_0^t W_s dW_s. |
l*******1
发帖数: 113 | |
s*****e
发帖数: 20 | 9 谢谢大牛，崇拜敬仰中！
【在 x******a 的大作中提到】
: first order derivative w.r.t. x_i is \partial_i{u} =-2x_i/;
: second order derivative w.r.t. x_i and x_j is
: \partial_{ij}{u}= \delta_{ij} -2/d;
: u(W_0) =u(0)= R^2/d;
: du(W_t)=\sum_{i}\partial_{i=1}^{d}{u}dw_i +1/2\sum_{i=1}^{d}
: \partial_{ii}{u
: }dt = \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt
: =-2/d W_tdW_t - dt
: u(W_t)= u(W_0) + \int_0^t du =R^2/d -t -2/d \int_0^t W_s dW_s.
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s*****e
发帖数: 20 | 10 谢谢，我去看看
【在 l*******1 的大作中提到】
: google bessel process
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s*****e
发帖数: 20 | 11 \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt = -2/d W_tdW_t - dt
请问最后一项里面的 1／d 哪里去了, 不应该是 1／d dt 吗？
【在 x******a 的大作中提到】
: first order derivative w.r.t. x_i is \partial_i{u} =-2x_i/;
: second order derivative w.r.t. x_i and x_j is
: \partial_{ij}{u}= \delta_{ij} -2/d;
: u(W_0) =u(0)= R^2/d;
: du(W_t)=\sum_{i}\partial_{i=1}^{d}{u}dw_i +1/2\sum_{i=1}^{d}
: \partial_{ii}{u
: }dt = \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt
: =-2/d W_tdW_t - dt
: u(W_t)= u(W_0) + \int_0^t du =R^2/d -t -2/d \int_0^t W_s dW_s.
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s*****e
发帖数: 20 | 12 额。。。。和sum的 d 约掉了
【在 s*****e 的大作中提到】
: \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt = -2/d W_tdW_t - dt
: 请问最后一项里面的 1／d 哪里去了, 不应该是 1／d dt 吗？
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s*****e
发帖数: 20 | 13 谢谢，我懂了
【在 x******a 的大作中提到】
: first order derivative w.r.t. x_i is \partial_i{u} =-2x_i/;
: second order derivative w.r.t. x_i and x_j is
: \partial_{ij}{u}= \delta_{ij} -2/d;
: u(W_0) =u(0)= R^2/d;
: du(W_t)=\sum_{i}\partial_{i=1}^{d}{u}dw_i +1/2\sum_{i=1}^{d}
: \partial_{ii}{u
: }dt = \sum_{i} -2w_i/d dw_i + 1/2 sum_i -2/d dt
: =-2/d W_tdW_t - dt
: u(W_t)= u(W_0) + \int_0^t du =R^2/d -t -2/d \int_0^t W_s dW_s.
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L**********u
发帖数: 194 | 14 1/dW_t^2-t is a martingale and the integrand should be interpreted as
2/d \sum_{s=1}^d W_s dW_s.
In Riemann Geometry, we always omit the sum notation by Einstein summation
convention |
