s****n
发帖数: 1237 | 1 方便起见，假设start at S0, end at ST.
We assume ST is lognormal and do intergral to get the price C0 at time 0 for
any payoff function.
If V=max(ST-K,0), then it's regular call.
If V=ST, intergral it we can get C0=S0, which conforms with our intuition.
However If V=ST^2, integral and discount I got C0=S0^2*exp[(r+sigma^2)T].
My question is why it's not S0^2? which is my intuition. What did I miss?
Thanks. |
z****i
发帖数: 406 | 2 S^2 is not a tradable asset. Under the risk-neutral measure, its drift is
not r. Therefore when you discount the future 'price' back, you don't get
the current 'price'. |
s****n
发帖数: 1237 | 3 can you elaborate "non-tradable asset"? I can get "drift is not r" from the
formula, and kind of intuition (because it's nonlinear function of S), but
how do you give the quantity of this modified drift?
If from dS=rSdt+sigma*SdW, f=S^2, I have df=2rS^2dt + 2sigma*S^2dW, seems
the drift term is 2r. But the pricing formula indicates it should be 2r+
sigma^2?
【在 z****i 的大作中提到】
: S^2 is not a tradable asset. Under the risk-neutral measure, its drift is
: not r. Therefore when you discount the future 'price' back, you don't get
: the current 'price'.
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p*****k
发帖数: 318 | 4 sunson, somehow you omitted the term (1/2)*d^2(f)/dS^2 |
s****n
发帖数: 1237 | 5 aha, you are rite. Im so dumb, the missing term solves all my confusion!
thanks
【在 p*****k 的大作中提到】
: sunson, somehow you omitted the term (1/2)*d^2(f)/dS^2
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c*********g
发帖数: 154 | 6 正如zhucai所说，一个在任意时刻t(0<=t
asset，因为这个价格formula没办法用市场上的asset基（stock price和bond等）线性表
达。但是一个在T时刻价格为ST^2的asset是tradeable的。
对于f(ST)=ST^2，用stock作为numeraire会很方便。我们知道share measure的drift为
r+sigma^2，所以V0=S0*E(f(ST)/ST)=S0*E(ST)=S0*(S0*exp(r+sigma^2)T)。比直接积
分要快得多，嘿嘿。 |
s****n
发帖数: 1237 | 7 thanks a lot for the explanation on non-tradeable.
btw, what is share measure? Google doesn't provide me related searches.
性表
【在 c*********g 的大作中提到】
: 正如zhucai所说，一个在任意时刻t(0<=t: asset，因为这个价格formula没办法用市场上的asset基（stock price和bond等）线性表
: 达。但是一个在T时刻价格为ST^2的asset是tradeable的。
: 对于f(ST)=ST^2，用stock作为numeraire会很方便。我们知道share measure的drift为
: r+sigma^2，所以V0=S0*E(f(ST)/ST)=S0*E(ST)=S0*(S0*exp(r+sigma^2)T)。比直接积
: 分要快得多，嘿嘿。
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t*******y
发帖数: 637 | 8 就是指以stock作为numerie吧
【在 s****n 的大作中提到】
: thanks a lot for the explanation on non-tradeable.
: btw, what is share measure? Google doesn't provide me related searches.
:
: 性表
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w********r
发帖数: 9 | 9 Why the drift rate is r+sigma^2 nor r-sigma^2?
性表
【在 c*********g 的大作中提到】
: 正如zhucai所说，一个在任意时刻t(0<=t: asset，因为这个价格formula没办法用市场上的asset基（stock price和bond等）线性表
: 达。但是一个在T时刻价格为ST^2的asset是tradeable的。
: 对于f(ST)=ST^2，用stock作为numeraire会很方便。我们知道share measure的drift为
: r+sigma^2，所以V0=S0*E(f(ST)/ST)=S0*E(ST)=S0*(S0*exp(r+sigma^2)T)。比直接积
: 分要快得多，嘿嘿。
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c*********g
发帖数: 154 | 10 我们知道，No arb <=> 对任何numeraire都存在一个probability measure（equivalent to physical probability），使得市场上所有的tradable assets作用这个numeraire之后，在这个probability measure下都是一个martingale。
根据这个fundamental theory，我们可以将bank account作为这个tradable asset，将stock做为这个numeraire，然后将ito rule作用到d(Bt/St)上，并令这个东东的drift为零（martingale），就可以推出这个结论了。当然，需要有Girsanov Theorem做为前提保证。
这个结论非常好用的哦，大家记住吧，哈哈
【在 w********r 的大作中提到】
: Why the drift rate is r+sigma^2 nor r-sigma^2?
:
: 性表
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