p********e
发帖数: 3 | 1 再次在扔硬币问题面前倒地，发来听听各位大牛的idea
A，B两人比赛，A有51个硬币，B有50个硬币，独立的扔硬币，当得到的Head多时则获胜
，那么请问A的概率？
当时给出了条件概率的公式，但是无法计算啊，是不是应该有什么巧妙的办法呢？求助 |
r*******s
发帖数: 303 | |
d*j
发帖数: 13780 | 3 假设 A也有50个硬币， 这里用对称性
然后 condition on 最后一个
答案是 50%
【在 p********e 的大作中提到】
: 再次在扔硬币问题面前倒地，发来听听各位大牛的idea
: A，B两人比赛，A有51个硬币，B有50个硬币，独立的扔硬币，当得到的Head多时则获胜
: ，那么请问A的概率？
: 当时给出了条件概率的公式，但是无法计算啊，是不是应该有什么巧妙的办法呢？求助
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p********e
发帖数: 3 | |
p********e
发帖数: 3 | 5 我觉得就是50vs50的时候，一方赢的概率也不好算呢 |
d*j
发帖数: 13780 | 6 恩， 但是加了一个就可以了， 呵呵
假设都是50个， P(A win) + P(B win) + P(Eq) = 1
这里 P(A)= P(B)
然后 A 多了一个， 所以 condition on 最后一个， 对于 P(A win) or P(B win), 最
后一个无所谓， 对于P(Eq), 如果最后一个是 H, A win
所以最后A赢的概率是 P(A) + 1/2 * P(Eq)
看看是不是第一个式子除以 2
【在 p********e 的大作中提到】
: 我觉得就是50vs50的时候，一方赢的概率也不好算呢
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r*******s
发帖数: 303 | 7 head赢得概率和tail赢得概率是一样的。所以是50% |
d*j
发帖数: 13780 | 8 牛
因为数量不同， 所以或者这个多 或者那个多， mutually exclusive
所以他们概率和为一
【在 r*******s 的大作中提到】
: head赢得概率和tail赢得概率是一样的。所以是50%
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a**m
发帖数: 102 | 9 Pr[H(A)>H(B)] = Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)]
and
Pr[H(A)>H(B)] + Pr[H(A)<= H(B)]=1.
Therefore, Pr[H(A)>H(B)] = 1/2
【在 p********e 的大作中提到】
: 再次在扔硬币问题面前倒地，发来听听各位大牛的idea
: A，B两人比赛，A有51个硬币，B有50个硬币，独立的扔硬币，当得到的Head多时则获胜
: ，那么请问A的概率？
: 当时给出了条件概率的公式，但是无法计算啊，是不是应该有什么巧妙的办法呢？求助
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J****g
发帖数: 103 | 10 看不懂。。。 请问这个跟random walk，或者gambler： ５１／（５１＋５０）有什
么区别吗？
【在 a**m 的大作中提到】
: Pr[H(A)>H(B)] = Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)]
: and
: Pr[H(A)>H(B)] + Pr[H(A)<= H(B)]=1.
: Therefore, Pr[H(A)>H(B)] = 1/2
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a**m
发帖数: 102 | 11 H(A) is the number of head person A tosses, T(A) is the number of tail
person A tosses.
The first equality is by symmetry of head and tail. The second one is just because that A has exactly one more coin than B has.
【在 J****g 的大作中提到】
: 看不懂。。。 请问这个跟random walk，或者gambler： ５１／（５１＋５０）有什
: 么区别吗？
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m********0
发帖数: 2717 | 12 适用的。
【在 p********e 的大作中提到】
: 我觉得就是50vs50的时候，一方赢的概率也不好算呢
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q********u
发帖数: 53 | 13 为什么 P(A win) or P(B win), 一种可能B比A多一个H。最后一个A如果是H，应该变成
Eq。
最
【在 d*j 的大作中提到】
: 恩， 但是加了一个就可以了， 呵呵
: 假设都是50个， P(A win) + P(B win) + P(Eq) = 1
: 这里 P(A)= P(B)
: 然后 A 多了一个， 所以 condition on 最后一个， 对于 P(A win) or P(B win), 最
: 后一个无所谓， 对于P(Eq), 如果最后一个是 H, A win
: 所以最后A赢的概率是 P(A) + 1/2 * P(Eq)
: 看看是不是第一个式子除以 2
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d*j
发帖数: 13780 | 14 那就是打平了， A还是没有赢， 不用考虑了
【在 q********u 的大作中提到】
: 为什么 P(A win) or P(B win), 一种可能B比A多一个H。最后一个A如果是H，应该变成
: Eq。
:
: 最
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J****g
发帖数: 103 | 15 这种情况怎么算呢：before A tosses 51st coin. B win & B had one more H than A
. Now A tosses and the 51st coin shows H, which means Eq.
【在 d*j 的大作中提到】
: 那就是打平了， A还是没有赢， 不用考虑了
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d*j
发帖数: 13780 | 16 不用算啊， 不是说了吗， 这样最后是平了， 我们需要的是A赢
所以只有 EQ + A 最后一个 coin 是 H, 对我们有帮助
A
【在 J****g 的大作中提到】
: 这种情况怎么算呢：before A tosses 51st coin. B win & B had one more H than A
: . Now A tosses and the 51st coin shows H, which means Eq.
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X***0
发帖数: 45 | 17 坑主 对题目 理解不清 阿
当一方抛出的head比另一方多，游戏就结束，可能抛到第3枚 B就win了， 也许A win
所以 51对50 真正对 A 有利的情形 只可能发生在 前50次 A B 抛的head 均等，而第
51次 A投出的head的几率仍是50%
而之前 A B win 的机会 均等
所以 总的来说 还是 50% |
a**m
发帖数: 102 | 18 no! what is for comparing is the total tossing of heads.
【在 X***0 的大作中提到】
: 坑主 对题目 理解不清 阿
: 当一方抛出的head比另一方多，游戏就结束，可能抛到第3枚 B就win了， 也许A win
: 所以 51对50 真正对 A 有利的情形 只可能发生在 前50次 A B 抛的head 均等，而第
: 51次 A投出的head的几率仍是50%
: 而之前 A B win 的机会 均等
: 所以 总的来说 还是 50%
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J****g
发帖数: 103 | 19 恩， 谢谢谢谢， 刚回去又重新读了一遍题。
【在 d*j 的大作中提到】
: 不用算啊， 不是说了吗， 这样最后是平了， 我们需要的是A赢
: 所以只有 EQ + A 最后一个 coin 是 H, 对我们有帮助
:
: A
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m*****a
发帖数: 636 | 20 我是不是漏了什么东西。
这个证明似乎在 50 VS 50 的时候也适用。
但50VS50的case， 按daj一开始给的解释是小于50%的
Pr[H(A)>H(B)] = Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)]
and
Pr[H(A)>H(B)] + Pr[H(A)<= H(B)]=1.
Therefore, Pr[H(A)>H(B)] = 1/2
【在 a**m 的大作中提到】
: Pr[H(A)>H(B)] = Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)]
: and
: Pr[H(A)>H(B)] + Pr[H(A)<= H(B)]=1.
: Therefore, Pr[H(A)>H(B)] = 1/2
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p*****k
发帖数: 318 | 21
the punchline is Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)], which holds only
when A has exactly one more coin than B.
if B has at least as many coins as A, then T(A)>T(B) implies H(A)
[they cannot be equal unless T(A)=T(B)], so the prob of A winning
is < 50%;
similarly, if A has at least two more coins than B, the case T(A)>T(B)
includes the possibility of H(A)>H(B), so the prob of A winning is > 50%
【在 m*****a 的大作中提到】
: 我是不是漏了什么东西。
: 这个证明似乎在 50 VS 50 的时候也适用。
: 但50VS50的case， 按daj一开始给的解释是小于50%的
:
: Pr[H(A)>H(B)] = Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)]
: and
: Pr[H(A)>H(B)] + Pr[H(A)<= H(B)]=1.
: Therefore, Pr[H(A)>H(B)] = 1/2
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m*****a
发帖数: 636 | 22 嗯，懂了，谢谢
解释的清楚
the punchline is Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)], which holds only
when A has exactly one more coin than B.
if B has at least as many coins as A, then T(A)>T(B) implies H(A)
[they cannot be equal unless T(A)=T(B)], so the prob of A winning
is < 50%;
similarly, if A has at least two more coins than B, the case T(A)>T(B)
includes the possibility of H(A)>H(B), so the prob of A winning is > 50%
【在 p*****k 的大作中提到】
:
: the punchline is Pr[T(A)>T(B)] = Pr[H(A)<=H(B)], which holds only
: when A has exactly one more coin than B.
: if B has at least as many coins as A, then T(A)>T(B) implies H(A): [they cannot be equal unless T(A)=T(B)], so the prob of A winning
: is < 50%;
: similarly, if A has at least two more coins than B, the case T(A)>T(B)
: includes the possibility of H(A)>H(B), so the prob of A winning is > 50%
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h*****u
发帖数: 38 | 23
这个思路最好
【在 r*******s 的大作中提到】
: head赢得概率和tail赢得概率是一样的。所以是50%
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d*j
发帖数: 13780 | 24 对
【在 h*****u 的大作中提到】
:
: 这个思路最好
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w**********y
发帖数: 1691 | 25
问你个问题哈..
如果A有100个硬币,B有1个硬币.
head和tail赢的概率一样么?
A赢的概率还是50%么?then.......
【在 r*******s 的大作中提到】
: head赢得概率和tail赢得概率是一样的。所以是50%
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t*******e
发帖数: 172 | 26 I prefer
sum (n)(n+1)= sum (n)(n+1)
(i)(j ) (i)(j )
i=j
and the sum of both is 2^{2n+1} |
l*********o
发帖数: 3091 | 27 对daj解法的疑问：
daj的解法实际是AB同时flip coin,平则继续，一方胜出则停止。
经过50轮还平的话，A有一次单独flip的机会。赢的概率50%.没有平的机会。
试想按daj的叙述：on the other side, 如果最后一个是 T, B win
所以daj最终的结果是P(Awin_final) = P(Bwin_final) = 50% |
l*********o
发帖数: 3091 | 28 H:head
for A n+1 toss,
(n+1)H nH (n-1)H ... 0H
C(n+1,0) C(n+1,1) C(n+1,2) ... C(n+1,n+1)
for B n toss,
nH (n-1)H (n-2)H ... 0H
C(n,0) C(n,1) C(n,2) ... C(n,n)
total_A_win_case=
C(n+1,0)*(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n))
+C(n+1,1)*(C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n))
+...
+C(n+1,n)*C(n,n)
A_win_probability = total_A_win_case/2^n/2^(n+1) |
p*****k
发帖数: 318 | 29 not to beat it to death, but for daj's approach, note after 50 tosses
of each player, if A is behind with # of H's, he can never win with
the extra toss (the best case is a tie); on the other hand, if A is
already ahead, he will surely win. so half-half split here due to
the symmetry.
the only case left to examine is tie so far, for which case, A wins
again with half chance (another half results tie).
btw, there is a closed-form solution for the chance of tie:
C(2n+1,n)/2^(2n+1)
the easiest way |
