m******n
发帖数: 453 | 1 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
if(root){
printf("%d", root->data);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
}
从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
可是怎么就那么神奇，这就解决问题了？
因为用iteration的时候，我可以跟踪里面的Stack，知道数字是怎样进进出出那个
Stack
于是我理解了
可是在recursion的时候怎么就好像变magic一样 |
g****t
发帖数: 31659 | 2 把语义和underlaying计算分开？
语义很容易理解：
打印二叉树，等于打印头节点，然后打印剩下的两个子树。
这句汉语没问题吧？
理解计算，则需要弄清楚函数调用进出stack的法则。
stack frame用debug tool能看见。例如：
https://stackoverflow.com/questions/2770889/how-can-i-examine-the-stack-
frame-with-gdb
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
|
l*******m
发帖数: 1096 | 3 编程和ML一样，要设计状态空间，程序的输入就是观测空间和状态空间，无论是树，DP
, RNN, RL。对于树，观测空间就是values, 状态空间就是撸过节点。你可以自己设计
数据结构管理状态空间，就是non-recursive的放法。也可以利用程序自带的机制，比
如recursion就是利用了call stack自动去管理状态空间 |
s*i
发帖数: 5025 | 4 Recursion 需要一个重要的心理建设：
你必须相信并且愿意把你的“大的”问题delegate给*同样*的但是“小一点”的问题那
边去。你要相信这些小的问题的结果。
比如 root->left，和root->right就是典型的*小一点*的同样问题。相信preOrder这个
function可以处理的很好，自然心理没有障碍了。
如果突破不了这个心理障碍，你总会琢磨者为啥preOrder(root->left)这个调度里面发
生了什么？结果对不对等一系列问题。
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
|
g****t
发帖数: 31659 | 5 这个看法有道理。回到state space和observer什么的了。你自创的？
: 编程和ML一样，要设计状态空间，程序的输入就是观测空间和状态空间，无论是
树，DP
: , RNN, RL。对于树，观测空间就是values, 状态空间就是撸过节点。你可以自
己设计
: 数据结构管理状态空间，就是non-recursive的放法。也可以利用程序自带的机
制，比
: 如recursion就是利用了call stack自动去管理状态空间
【在 l*******m 的大作中提到】
: 编程和ML一样，要设计状态空间，程序的输入就是观测空间和状态空间，无论是树，DP
: , RNN, RL。对于树，观测空间就是values, 状态空间就是撸过节点。你可以自己设计
: 数据结构管理状态空间，就是non-recursive的放法。也可以利用程序自带的机制，比
: 如recursion就是利用了call stack自动去管理状态空间
|
m******r
发帖数: 1033 | 6 琢磨不明白递归，就是硬件不够，比如我老，呵呵。
不光我这么说， hci， 王东估计也这么说 。 话说这两位大师很久不出现了， 我老很
想念 。 |
b***i
发帖数: 3043 | 7 数学归纳法理解吗？
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
|
m******r
发帖数: 1033 | 8 别扯数学，两码子事。 当然数学好的逻辑性强， 逻辑性强的写代码容易。
递归告诉你个trick, 你就把它死记硬背下来。递归这东西，看起来像魔术，但写起来
很短，很押韵，楼主问的问题，一共也才5行，贝都背不下来，也别谈理解了。
类似九九乘法表， 有什么可理解的。 |
l*******m
发帖数: 1096 | 9 是呀。记性不好了，只能在generalization加强。还有我建议面试ML candidates最好
考DP
：这个看法有道理。回到state space和observer什么的了。你自创的？
： |
g****t
发帖数: 31659 | 10 我也是，离散数学题现在很难直接反应过来。有物理意义的容易些。
【在 l*******m 的大作中提到】
: 是呀。记性不好了，只能在generalization加强。还有我建议面试ML candidates最好
: 考DP
:
: ：这个看法有道理。回到state space和observer什么的了。你自创的？
: ：
|
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|
N*****r
发帖数: 94 | 11
递归就是反复调用自身直到最简case 直接有答案，每次调用时都保存一个状态空间，
然后再反过来从最简case 一步步还原每次的调用
说白了两个核心，大小过程逻辑必须一致， 必须退化到最简case
最大的问题是stack可能太小，保存不了太多层状态
tail recursion 反倒相对复杂一点点
这东西图书馆有本80年代的书，叫 recursion,很薄，讲的还可以
SICP 用scheme讲这个也不多，或者Scheme的书都不错
多做些题，习惯了这种思维就好了
说白了，还是 divide and conquer , 只不过每次 divide 之后 小问题跟大问题逻辑
相似，可以复用过程
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
|
l*****c
发帖数: 1153 | 12 你”想多了”。recursion是思维模式，别多想，就想两步“直接”的变化规律。
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
|
l*****c
发帖数: 1153 | 13 刚刚跟LD在说，中国的小学太功利，重视机械方法记忆。对数学归纳法这样的逻辑训练
基本就是一笔带过。数学是逻辑结构上的语言，从小不锻炼逻辑语言，长大处处碰壁。
我们家四岁前放鸽子，四岁开始集中训练逻辑，计算这种东西倒是不急，上学了再说。
【在 b***i 的大作中提到】
: 数学归纳法理解吗？
|
l*****c
发帖数: 1153 | 14 好典型，呵呵。
【在 m******r 的大作中提到】
: 别扯数学，两码子事。 当然数学好的逻辑性强， 逻辑性强的写代码容易。
: 递归告诉你个trick, 你就把它死记硬背下来。递归这东西，看起来像魔术，但写起来
: 很短，很押韵，楼主问的问题，一共也才5行，贝都背不下来，也别谈理解了。
: 类似九九乘法表， 有什么可理解的。
|
d***a
发帖数: 13752 | 15 二叉树遍历和Fibonacci在递归结构上接近，都是一个问题分成两个子问题，对堆栈的
使用也很相似。你把堆栈的变化用图的方式一步步画出来，就看的清楚了。
两者的差别是计算复杂度不同，二叉树遍历的每一次递归，子问题的规模缩小了一半。
但这个差别，不影响对程序执行正确性的理解。
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
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n******t
发帖数: 68 | 16 画一个简单的树。
然后用程序把每个节点走一遍， 每个节点分两个stack， 那就清楚了。 |
m******r
发帖数: 1033 | 17 琴棋书画，体育运动，学术学科，医生律师，说学逗唱，哪样不是机械性记忆在先，
创造性发挥在后？ 能发挥出来的， 就成大师了； 发挥不出来，就是工程师，到FANG
拿大包裹，不香么。 机械记忆都不会的，连工程师都当不了， 可以当个大圣教使徒
善莫大焉。
【在 l*****c 的大作中提到】
: 好典型，呵呵。
|
b***i
发帖数: 3043 | 18 你是说，中国小学太重视机械方法，而没有逻辑训练，一笔带过，所以后来学数学归纳
法就学不会？我在一定程度上同意你的观察，中国文化和教育体系不讲究学习的过程，
而是把结果告诉你。比如我们在大学学矩阵的时候根本不知道是干什么用的，先学习一
些运算的规定。等到了后来学习物理深了才用到矩阵。
不过，即使学校用了更好的方法，有些人也是学不会的。我爸是普通高中数学老师，他
观察八九十年代的普通高中里理科生一半不懂数学归纳法（高二）。这些学生就是不相
信数学归纳法能真的证明那些定理/命题。而另一半觉得这是显然的，一点就通。我觉
得这可能是思维深度或者速度决定的。几乎所有人都会用视觉图像识别和语音识别来打
酱油，走路回家，但是上升到基于语音语言的抽象一些的逻辑思维体系，比如几何，代
数，很多人就不理解了，什么是未知数x，多项式乘法，对数运算。我们的大部分初中
同学后来上了技校职高就是这些抽象思维能力不够，根本无法理解代数。几万年人类的
竞争，大部分时间并不需要任何人理解数学归纳法，多项式乘法这些稍微深度的思维，
所以不懂的不会被淘汰，仍然存活下来，甚至可以生活得很好。
所以我认为，大量的人类（超过一半）是不懂数学归纳法的，也就没有能力理解这些稍
微深一些的思维。更深的更艰难的比如各种高等代数，甚至广义相对论，能懂的就更少
了，估计千分之一了。
【在 l*****c 的大作中提到】
: 刚刚跟LD在说，中国的小学太功利，重视机械方法记忆。对数学归纳法这样的逻辑训练
: 基本就是一笔带过。数学是逻辑结构上的语言，从小不锻炼逻辑语言，长大处处碰壁。
: 我们家四岁前放鸽子，四岁开始集中训练逻辑，计算这种东西倒是不急，上学了再说。
|
b***i
发帖数: 3043 | 19 看来你的方法或者认识有问题，我来告诉你为什么和数学归纳法有关
梵塔问题大家都知道就不说了，这是解决的函数：
move(int 1..N, int from, int to, int other) {
if (N == 1)
singleMove(1, from, to);
else {
move(1..N-1, from, other, to);
singleMove(N, from, to);
move(1..N-1, other, to, from);
}
}
利用数学归纳法，首先，N=1的时候，这个函数显然可以实现梵塔问题的解决。
下面假定如果N=k的时候，这个函数可以解决梵塔问题，那么，N=k+1的时候，你看看是
不是把上面的k个盘子移动到第三个塔，在把最下面的移动到第二个，在把第三个塔的k
个盘子移动到第二个，就解决了，也就证明了N=k+1的时候这个函数仍然可以解决梵塔
问题。这不就是数学归纳法嘛，是两码子是嘛？
【在 m******r 的大作中提到】
: 别扯数学，两码子事。 当然数学好的逻辑性强， 逻辑性强的写代码容易。
: 递归告诉你个trick, 你就把它死记硬背下来。递归这东西，看起来像魔术，但写起来
: 很短，很押韵，楼主问的问题，一共也才5行，贝都背不下来，也别谈理解了。
: 类似九九乘法表， 有什么可理解的。
|
l*****c
发帖数: 1153 | 20 是的。我不说中国的教育方法好还是不好，一种体系存在总有其合理性。中国的教育（
不仅是学校教育，也包括家庭和社会教育）侧重是机械性的部分，结论导向，教授以知
识和方法为核心，相对来说对逻辑，方法论体系不太重视。我经常说中国只引入的半个
科学，也就是科学知识，而科学方法论则没有被重视。知识是肉，方法论是骨架。这也
导致了中国能够培养大量的工程技术人员和产业工人，却缺乏前端科研。我在中国做过
几年的招聘工作，中国的硕士水平很高，博士除了清华中科院的一部分，其他的能达到
美国标准的凤毛麟角。这个不见的是坏事，这套体系在产业起步时候是有优势的。
回到你说的，我觉得你爸的观察是对的，这个有天生的差异，有些人可能确实不擅长抽
象思维。另一方面，我觉得是从出生到初中的阶段，学习中没有得到充分的思维训练，
思维模式已经被固化了也是一个很大因素，我相信否则可能这个比例关系会有变化。
【在 b***i 的大作中提到】
: 你是说，中国小学太重视机械方法，而没有逻辑训练，一笔带过，所以后来学数学归纳
: 法就学不会？我在一定程度上同意你的观察，中国文化和教育体系不讲究学习的过程，
: 而是把结果告诉你。比如我们在大学学矩阵的时候根本不知道是干什么用的，先学习一
: 些运算的规定。等到了后来学习物理深了才用到矩阵。
: 不过，即使学校用了更好的方法，有些人也是学不会的。我爸是普通高中数学老师，他
: 观察八九十年代的普通高中里理科生一半不懂数学归纳法（高二）。这些学生就是不相
: 信数学归纳法能真的证明那些定理/命题。而另一半觉得这是显然的，一点就通。我觉
: 得这可能是思维深度或者速度决定的。几乎所有人都会用视觉图像识别和语音识别来打
: 酱油，走路回家，但是上升到基于语音语言的抽象一些的逻辑思维体系，比如几何，代
: 数，很多人就不理解了，什么是未知数x，多项式乘法，对数运算。我们的大部分初中
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p***o
发帖数: 1252 | 21 网上搜搜这篇文章：Separating Programming Sheep from Non-Programming Goats
2006年发出来，2014年撤回去，挺有意思。
【在 l*****c 的大作中提到】
: 是的。我不说中国的教育方法好还是不好，一种体系存在总有其合理性。中国的教育（
: 不仅是学校教育，也包括家庭和社会教育）侧重是机械性的部分，结论导向，教授以知
: 识和方法为核心，相对来说对逻辑，方法论体系不太重视。我经常说中国只引入的半个
: 科学，也就是科学知识，而科学方法论则没有被重视。知识是肉，方法论是骨架。这也
: 导致了中国能够培养大量的工程技术人员和产业工人，却缺乏前端科研。我在中国做过
: 几年的招聘工作，中国的硕士水平很高，博士除了清华中科院的一部分，其他的能达到
: 美国标准的凤毛麟角。这个不见的是坏事，这套体系在产业起步时候是有优势的。
: 回到你说的，我觉得你爸的观察是对的，这个有天生的差异，有些人可能确实不擅长抽
: 象思维。另一方面，我觉得是从出生到初中的阶段，学习中没有得到充分的思维训练，
: 思维模式已经被固化了也是一个很大因素，我相信否则可能这个比例关系会有变化。
|
l*****c
发帖数: 1153 | 22 我前面说他典型，到不是说不好。我就是说他的思路是典型的中国式思路，结果导向主
义，不需要卢纶或者理解。这个在应试教育的意义上是合理的。毕竟很多中国人被训练
的只能进行应试教育。这种情况下，也只能死记硬背了，毕竟开蒙老师可遇而不可求。
【在 b***i 的大作中提到】
: 看来你的方法或者认识有问题，我来告诉你为什么和数学归纳法有关
: 梵塔问题大家都知道就不说了，这是解决的函数：
: move(int 1..N, int from, int to, int other) {
: if (N == 1)
: singleMove(1, from, to);
: else {
: move(1..N-1, from, other, to);
: singleMove(N, from, to);
: move(1..N-1, other, to, from);
: }
|
N*****r
发帖数: 94 | 23
我觉得吧 其实主要是个人
当然了，国内的老师水平是差了点， 基础在那里， 高中大多师范院校毕业，大学里的
老师也未必好到哪里去，大多数讲课的时候自己都不明白
高中的东西 或者大一大二 数学物理课的东西，真的把核心讲出来很难的，说实话很多
美国正经名校的phd都未必能讲明白
所以不要要求太高了
还是得看个人努力， 多看大师的书
一辈子能碰上几个好老师太难了
比如最简单的， 微积分基本定理 牛顿莱布尼兹公式， 最差的水平只能告诉你就是这
么算，稍微牛点的告诉你为什么是互为矛盾，怎样从几何意义解释这个公式，牛人呢？
从对偶给你开始讲起，然后讲流形上的微积分，讲一般的外微分公式
。。。。。
几年跟人开玩笑时提到过，重积分换元公式的证明，可以说中国大学本科教的基本都是
错的， 但学生连为啥错了都不知道
当然了，正式的证明太难，全世界也没几个学校能在本科讲明白的，但 还是有的， 法
德俄都有学校有这水平
很多老师呢，能把书上的证明给你在黑板上完完整整抄下来都不容易了
我有幸碰上几个老师，再难的问题，再难的研究，他能一句话告诉你重点，剩下的就是
计算，体力活，受过训练谁都能干
到我教别人的时候，我也想这样， 发现这样教， 99%的人听不懂的
所以， 还是看人， 老师牛，学生也得牛
【在 l*****c 的大作中提到】
: 是的。我不说中国的教育方法好还是不好，一种体系存在总有其合理性。中国的教育（
: 不仅是学校教育，也包括家庭和社会教育）侧重是机械性的部分，结论导向，教授以知
: 识和方法为核心，相对来说对逻辑，方法论体系不太重视。我经常说中国只引入的半个
: 科学，也就是科学知识，而科学方法论则没有被重视。知识是肉，方法论是骨架。这也
: 导致了中国能够培养大量的工程技术人员和产业工人，却缺乏前端科研。我在中国做过
: 几年的招聘工作，中国的硕士水平很高，博士除了清华中科院的一部分，其他的能达到
: 美国标准的凤毛麟角。这个不见的是坏事，这套体系在产业起步时候是有优势的。
: 回到你说的，我觉得你爸的观察是对的，这个有天生的差异，有些人可能确实不擅长抽
: 象思维。另一方面，我觉得是从出生到初中的阶段，学习中没有得到充分的思维训练，
: 思维模式已经被固化了也是一个很大因素，我相信否则可能这个比例关系会有变化。
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l*****c
发帖数: 1153 | 24 嗯。我刚才追加的一点就是。这种差异性很可能跟小时候成长过程中的教育模式强相关
。小时候的教育其实对人的知识积累帮助十分有限，倒是对思维模式，方法论和价值观
是决定性的。小时候过多侧重知识性结果导向，容易固化思维，影响长大后的学习能力
【在 p***o 的大作中提到】
: 网上搜搜这篇文章：Separating Programming Sheep from Non-Programming Goats
: 2006年发出来，2014年撤回去，挺有意思。
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N*****r
发帖数: 94 | 25
说实话我没觉得应试教育有什么不对
应试教育是基础
做题都不会，是不会思考的
不做题的教学，只能教出来眼高手低的废物，比如我这样的，每次都离大课题差一步，
方向对，硬核啃不过去，然后被别人做了之后骂娘
主要是应付完考试，确定该做题了之后，要思考
不思考，那就是应试教育的废物
【在 l*****c 的大作中提到】
: 我前面说他典型，到不是说不好。我就是说他的思路是典型的中国式思路，结果导向主
: 义，不需要卢纶或者理解。这个在应试教育的意义上是合理的。毕竟很多中国人被训练
: 的只能进行应试教育。这种情况下，也只能死记硬背了，毕竟开蒙老师可遇而不可求。
|
l*****c
发帖数: 1153 | 26 看怎么定义应试教育了。考试本身不是坏东西。但是，教育纯粹为了在考试里面拿高分
就是问题了。举个具体的例子：国内现在的奥数教育，就是背题。看到这个题这么解，
看到那个这么解。更有甚就是新东方模式，找人偷真题，然后背答案。
我也开始也不理解为啥很多人觉得奥数不好，后来明白了，这个奥数早就不是以前的奥
数了。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 说实话我没觉得应试教育有什么不对
: 应试教育是基础
: 做题都不会，是不会思考的
: 不做题的教学，只能教出来眼高手低的废物，比如我这样的，每次都离大课题差一步，
: 方向对，硬核啃不过去，然后被别人做了之后骂娘
: 主要是应付完考试，确定该做题了之后，要思考
: 不思考，那就是应试教育的废物
|
N*****r
发帖数: 94 | 27
考试本身没错
能背题能偷题那是 出题人有罪，监管人有罪，不是说考试制度错了
考试还是考察学习的最有效方法
国内不搞应试教育的下场，搞素质教育的结果，就是7岁的孩子用 crispr 改造基因治
疗癌症 还能发 sci
这个我觉得比背答案恶心多了，背答案好歹学了东西
作弊怎么都会有，不是考试制度的错
【在 l*****c 的大作中提到】
: 看怎么定义应试教育了。考试本身不是坏东西。但是，教育纯粹为了在考试里面拿高分
: 就是问题了。举个具体的例子：国内现在的奥数教育，就是背题。看到这个题这么解，
: 看到那个这么解。更有甚就是新东方模式，找人偷真题，然后背答案。
: 我也开始也不理解为啥很多人觉得奥数不好，后来明白了，这个奥数早就不是以前的奥
: 数了。
|
l*****c
发帖数: 1153 | 28 其实你的方法已经超越应试教育了。你所增加的考试后思考这一步，已经改变性质了。
几周前有个我以前的eng微信问我，怎么准备面试。要不要刷题。我跟他说，连我都刷
题，不过我只刷了大概二三十个题。主要是熟练一下coding，同时把思维模式总结一下
，发现有些类型生疏了就重新总结一下，那就够了。如果是背题，那就需要搞题海了。
题海，是低效的办法。就如同试图用穷举去取代归纳法。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 考试本身没错
: 能背题能偷题那是 出题人有罪，监管人有罪，不是说考试制度错了
: 考试还是考察学习的最有效方法
: 国内不搞应试教育的下场，搞素质教育的结果，就是7岁的孩子用 crispr 改造基因治
: 疗癌症 还能发 sci
: 这个我觉得比背答案恶心多了，背答案好歹学了东西
: 作弊怎么都会有，不是考试制度的错
|
l*****c
发帖数: 1153 | 29 其实你的方法已经超越应试教育了。你所增加的考试后思考这一步，已经改变性质了。
几周前有个我以前的eng微信问我，怎么准备面试。要不要刷题。我跟他说，连我都刷
题，不过我只刷了大概二三十个题。主要是熟练一下coding，同时把思维模式总结一下
，发现有些类型生疏了就重新总结一下，那就够了。如果是背题，那就需要搞题海了。
题海，是低效的办法。就如同试图用穷举去取代归纳法。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 考试本身没错
: 能背题能偷题那是 出题人有罪，监管人有罪，不是说考试制度错了
: 考试还是考察学习的最有效方法
: 国内不搞应试教育的下场，搞素质教育的结果，就是7岁的孩子用 crispr 改造基因治
: 疗癌症 还能发 sci
: 这个我觉得比背答案恶心多了，背答案好歹学了东西
: 作弊怎么都会有，不是考试制度的错
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l*****c
发帖数: 1153 | 30 你说的很对。唯一“纠正”一下，考试不等于应试教育。考试不是坏东西，应试教育就
不好说了。应试教育对一个国家来说是一种策略，把大部分人的大脑洗成某种特别的模
式。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 考试本身没错
: 能背题能偷题那是 出题人有罪，监管人有罪，不是说考试制度错了
: 考试还是考察学习的最有效方法
: 国内不搞应试教育的下场，搞素质教育的结果，就是7岁的孩子用 crispr 改造基因治
: 疗癌症 还能发 sci
: 这个我觉得比背答案恶心多了，背答案好歹学了东西
: 作弊怎么都会有，不是考试制度的错
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N*****r
发帖数: 94 | 31
应试教育是基础，是大规模培养普通人才的办法
真正的天才，是能自己超出这个范围的
不能自己超出应试教育的范围的，也算不上天才，也不算被耽误，没啥可惜的
而且人的思维方式，是必须要洗脑的， 比如逻辑 比如数字计算，这都要形成肉体记忆
，否则的话就是所谓的榆木脑袋，怎么讲也听不懂， 他脑子里神经反应就没那个链接
【在 l*****c 的大作中提到】
: 你说的很对。唯一“纠正”一下，考试不等于应试教育。考试不是坏东西，应试教育就
: 不好说了。应试教育对一个国家来说是一种策略，把大部分人的大脑洗成某种特别的模
: 式。
|
m******r
发帖数: 1033 | 32 "不过我只刷了大概二三十个题。主要是熟练一下coding" 那您真是牛皮，好比姚明说
“我就投了二三十个篮，主要是熟悉一下框” ； 怎么办呢，有的人天生长得高，投的
准； 你问姚明你为什么投得准， 估计他也说不出来， 估计会看看你，‘为啥你投不
进’? |
s******e
发帖数: 3 | |
w********m
发帖数: 1137 | |
b***i
发帖数: 3043 | 35 除了洞察力，悟性，我觉得还要理解编译的一些基本工作。比如函数调用的时候是怎么
做的？就是函数使用的局域变量放在栈上，等函数返回后，这些变量就不用了，栈回到
调用它的那个函数的状态。
其实递归和普通的函数调用没多大区别，就是被调用的函数是自己。编译器也许并不需
要多做什么，仍然是把堆栈指针推进一下。要不，你自己学着不用递归，而是手动调整
堆栈来解决这些问题。也许就懂了。要不，找一个普通的BASIC语言解释程序，自己学
着加入函数调用，用堆栈实现函数的局域变量，实现递归。看看能不能帮你学会。
【在 m******n 的大作中提到】
: 阶乘，fibonacci数列这些入门的recursion很好理解
: 可是一到二叉树就懵，比如这个基本的
: void preOrder(struct BinaryTreeNode *root){
: if(root){
: printf("%d", root->data);
: preOrder(root->left);
: preOrder(root->right);
: }
: }
: 从字面看，它就是把pseudo code翻译一下，简单直接明了
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m******r
发帖数: 1033 | 36 递归虽然很抽象， 但毕竟写起来短， 方便你死记硬背，5,6句话记不住？而且工作中
根本不常用，实在搞不懂就别折腾了。 好比弹琴，（打球，游泳，画画）机械的练一
练也可以弹得很动听，想当大师，另当别论。 |
h****e
发帖数: 2125 | 37 他只说刷了二三十题，没说就这样出去面试拿offer呀。
【在 m******r 的大作中提到】
: "不过我只刷了大概二三十个题。主要是熟练一下coding" 那您真是牛皮，好比姚明说
: “我就投了二三十个篮，主要是熟悉一下框” ； 怎么办呢，有的人天生长得高，投的
: 准； 你问姚明你为什么投得准， 估计他也说不出来， 估计会看看你，‘为啥你投不
: 进’?
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g****t
发帖数: 31659 | 38 是否你可以问问你爸，看下面这句话是否有一定道理：
“一半没学会数学归纳法的，跟玩手机时间长的那一半有很大重叠。”
递归也好，数学归纳法也好，我认为不存在永远学不会这个问题。
这类东西，我认为就是读书，或者找来找去，总能找到一个合适自己理解的讲解的。
所以个人需要时间长短不同。
【在 b***i 的大作中提到】
: 你是说，中国小学太重视机械方法，而没有逻辑训练，一笔带过，所以后来学数学归纳
: 法就学不会？我在一定程度上同意你的观察，中国文化和教育体系不讲究学习的过程，
: 而是把结果告诉你。比如我们在大学学矩阵的时候根本不知道是干什么用的，先学习一
: 些运算的规定。等到了后来学习物理深了才用到矩阵。
: 不过，即使学校用了更好的方法，有些人也是学不会的。我爸是普通高中数学老师，他
: 观察八九十年代的普通高中里理科生一半不懂数学归纳法（高二）。这些学生就是不相
: 信数学归纳法能真的证明那些定理/命题。而另一半觉得这是显然的，一点就通。我觉
: 得这可能是思维深度或者速度决定的。几乎所有人都会用视觉图像识别和语音识别来打
: 酱油，走路回家，但是上升到基于语音语言的抽象一些的逻辑思维体系，比如几何，代
: 数，很多人就不理解了，什么是未知数x，多项式乘法，对数运算。我们的大部分初中
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g****t
发帖数: 31659 | 39 以前篮球板有人说不相信kobe 训练一天进2000个投篮。
我说这完全可能的。很多人骂我。
于是我实证了一下，练了半年，半小时能进7个点，80个。
现在我儿子半小时很轻松进100多个。
所以我觉得很多问题其实是因为学生们手机用太多，没时间琢磨正事的后果。
不是因为学校老师教的不好。至少不全是。
【在 m******r 的大作中提到】
: "不过我只刷了大概二三十个题。主要是熟练一下coding" 那您真是牛皮，好比姚明说
: “我就投了二三十个篮，主要是熟悉一下框” ； 怎么办呢，有的人天生长得高，投的
: 准； 你问姚明你为什么投得准， 估计他也说不出来， 估计会看看你，‘为啥你投不
: 进’?
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g****t
发帖数: 31659 | 40 这个不错。我给小孩也看看。
【在 s******e 的大作中提到】
: 看一下这儿：
: https://visualgo.net/bn/recursion
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b***i
发帖数: 3043 | 41 那个时代哪有手机？连游戏机都没有。那些同学很刻苦，每天很早到学校。就是不理解
为什么数学归纳法可以用来证明定理。就是智力没到那个程度。
前几天我们群讨论，为什么美国没有实现全民上大学，而是只有35%，我就说，一半人
智力没到那个程度啊。
你不服？你懂广义相对论吗？人类能在有生之年学懂广义相对论的能超过千分之一吗？
学习时间无限长和学不会有区别吗？
【在 g****t 的大作中提到】
: 是否你可以问问你爸，看下面这句话是否有一定道理：
: “一半没学会数学归纳法的，跟玩手机时间长的那一半有很大重叠。”
: 递归也好，数学归纳法也好，我认为不存在永远学不会这个问题。
: 这类东西，我认为就是读书，或者找来找去，总能找到一个合适自己理解的讲解的。
: 所以个人需要时间长短不同。
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g****t
发帖数: 31659 | 42 第一，很早到学校，跟刻苦是两回事。
第二，我不信每天很早到学校的群体中，
不懂数学归纳法的会超过50%。(你说overall比例是50%)。
这样，仍然是正相关。
我现在不懂广义相对论，需要的话，年底就能懂，你信不信。
本科物理系几个月的课程而已，有那么复杂吗？
科学不同于神秘主义，就在于发展出来的东西，有普遍性，原则上人人都能学会。
没有普遍性，还叫什么科学？把数学物理神秘化，没有根据。
当然，人类还未弄明白发明创造科学的过程，这是另一回事。
但单指科学结论而言，科学结论都是人人可以学习的----只要你花时间，有物质条件支
持。(应用，创造是另一回事）。
【在 b***i 的大作中提到】
: 那个时代哪有手机？连游戏机都没有。那些同学很刻苦，每天很早到学校。就是不理解
: 为什么数学归纳法可以用来证明定理。就是智力没到那个程度。
: 前几天我们群讨论，为什么美国没有实现全民上大学，而是只有35%，我就说，一半人
: 智力没到那个程度啊。
: 你不服？你懂广义相对论吗？人类能在有生之年学懂广义相对论的能超过千分之一吗？
: 学习时间无限长和学不会有区别吗？
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l*****c
发帖数: 1153 | 43 看了一下大家的回覆，我感覺其實真正掌握递归的估计十分之一差不多。那一半掌握的
人里面大部分应该是知其然不知其所以然的。
其实我一直表达的观点是，中国传统的教育理念在从童年开始就没有给予大脑充分的逻
辑和方法论训练，因此在后期学习的时候，大部分人的大脑已经不具备根本上理解这套
体系的能力。这个你说是遗传也行，因为很大程度是原生家庭的教育影响力。 |
g****t
发帖数: 31659 | 44 这取决于你怎么看什么叫“真正掌握”。
我举个最简单的例子。楼主这个递归，求证其与for loop实现等价。
我怀疑没人能证明出来，因为牵涉到cpp的实现。你还得去查编译细节。
即便是最基础的教学语言，要证明递归和for loop等价，那对绝大多数人来说，
也得上过课才行。自己创造出来这种证明的，可以说百里无一。
而且先决条件是需要知道什么叫数学证明。还得理解什么是代数，加上一点点逻辑。
文科生学习的话，那确实要5年以上。
【在 l*****c 的大作中提到】
: 看了一下大家的回覆，我感覺其實真正掌握递归的估计十分之一差不多。那一半掌握的
: 人里面大部分应该是知其然不知其所以然的。
: 其实我一直表达的观点是，中国传统的教育理念在从童年开始就没有给予大脑充分的逻
: 辑和方法论训练，因此在后期学习的时候，大部分人的大脑已经不具备根本上理解这套
: 体系的能力。这个你说是遗传也行，因为很大程度是原生家庭的教育影响力。
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n******t
发帖数: 4406 | 45
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
這個同意。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
這個真不一定。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
看你怎麼應試教育了。有些數學好的人，真有可能英文不及格，你要都算上可能就上不
了大學。
【在 N*****r 的大作中提到】
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: 应试教育是基础，是大规模培养普通人才的办法
: 真正的天才，是能自己超出这个范围的
: 不能自己超出应试教育的范围的，也算不上天才，也不算被耽误，没啥可惜的
: 而且人的思维方式，是必须要洗脑的， 比如逻辑 比如数字计算，这都要形成肉体记忆
: ，否则的话就是所谓的榆木脑袋，怎么讲也听不懂， 他脑子里神经反应就没那个链接
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N*****r
发帖数: 94 | 46
所谓数学好 什么水平
大部分人所谓的数学好，根本到不了天才的地步
我认识12岁学完微积分，15岁完成名校数学系本科课程的，20岁 phd之后也就是一普通
人， 谈不上天才， 他自己也认为自己就是泛泛
你所谓的数学好， 能好到这个程度吗，好到这个程度，总会有路的, 这样子的，其实
都不算天才，离真的天才差的太远了
大部分以为自己是被应试教育耽误了的人， 其实是过高估计了自己的实力，在现实中
碰壁，企图走条捷径
别的不说， 数学能力的基础就是语言能力，逻辑能力， 真的数学好，语言再怎么也能
弄个差不多， 做不到， 如果不是不想做，那只能证明数学能力没那么好
【在 n******t 的大作中提到】
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: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 這個同意。
: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 這個真不一定。
: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 看你怎麼應試教育了。有些數學好的人，真有可能英文不及格，你要都算上可能就上不
: 了大學。
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n******t
发帖数: 4406 | 47 “在怎麼也能弄個差不多”是最困難的事情。
數學好的人，不是真正語言能力很差，而是和你我這種人都沒有話好說，跟不要說和一
般路人大媽了。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
這屁都不是好吧。我和歐洲教育制度接觸之前也是這樣認爲的。我看到過高中裏面二項
式定理都算不明白的人，過了兩三年能搞代數幾何的open problem。這種人在中國有出
路？？
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
這是兩件事，如果你對統計和邏輯有直覺的sense應該不會犯這種錯誤。即使99%的人認
爲系統A導致了自己不幸被證明是錯誤的，也不能說明剩下那1%的人如果真正因爲這個
系統A不是一個錯誤的系統，尤其是當這個系統A的一個重要職能就是讓0.001%的那種人
go through的時候。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 所谓数学好 什么水平
: 大部分人所谓的数学好，根本到不了天才的地步
: 我认识12岁学完微积分，15岁完成名校数学系本科课程的，20岁 phd之后也就是一普通
: 人， 谈不上天才， 他自己也认为自己就是泛泛
: 你所谓的数学好， 能好到这个程度吗，好到这个程度，总会有路的, 这样子的，其实
: 都不算天才，离真的天才差的太远了
: 大部分以为自己是被应试教育耽误了的人， 其实是过高估计了自己的实力，在现实中
: 碰壁，企图走条捷径
: 别的不说， 数学能力的基础就是语言能力，逻辑能力， 真的数学好，语言再怎么也能
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g****t
发帖数: 31659 | 48 高二开始两届数学奥赛金牌算天才不？至少统计意义上肯定算吧。
我高二跟他一块培训过段时间。
他耳朵有疾病。所以(在当时）...语言能力一言难尽。
【在 N*****r 的大作中提到】
:
: 所谓数学好 什么水平
: 大部分人所谓的数学好，根本到不了天才的地步
: 我认识12岁学完微积分，15岁完成名校数学系本科课程的，20岁 phd之后也就是一普通
: 人， 谈不上天才， 他自己也认为自己就是泛泛
: 你所谓的数学好， 能好到这个程度吗，好到这个程度，总会有路的, 这样子的，其实
: 都不算天才，离真的天才差的太远了
: 大部分以为自己是被应试教育耽误了的人， 其实是过高估计了自己的实力，在现实中
: 碰壁，企图走条捷径
: 别的不说， 数学能力的基础就是语言能力，逻辑能力， 真的数学好，语言再怎么也能
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