b********e
发帖数: 1796 | 1 【 以下文字转载自 Statistics 讨论区 】
发信人: brightblue (穷-------------------------), 信区: Statistics
标 题: 包子求一道证明
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 11 15:45:19 2011, 美东)
Define Phi(x）as the cumulative distribution function of the standard normal
distribution,
c as an arbitrary constant,
How to show log(Phi(x））-log(Phi(x+c)) is concave in x? |
S*M
发帖数: 10832 | 2 括弧打错了？
normal
【在 b********e 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 Statistics 讨论区 】
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: 标 题: 包子求一道证明
: 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 11 15:45:19 2011, 美东)
: Define Phi(x）as the cumulative distribution function of the standard normal
: distribution,
: c as an arbitrary constant,
: How to show log(Phi(x））-log(Phi(x+c)) is concave in x?
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C****c
发帖数: 9157 | 3 直接按定义做就行了
normal
【在 b********e 的大作中提到】
: 【 以下文字转载自 Statistics 讨论区 】
: 发信人: brightblue (穷-------------------------), 信区: Statistics
: 标 题: 包子求一道证明
: 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 11 15:45:19 2011, 美东)
: Define Phi(x）as the cumulative distribution function of the standard normal
: distribution,
: c as an arbitrary constant,
: How to show log(Phi(x））-log(Phi(x+c)) is concave in x?
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c********y
发帖数: 30813 | |
b********e
发帖数: 1796 | 5 个位大大，给点具体提示吧
怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊 |
b********e
发帖数: 1796 | 6 BTW,我知道Phi(x)本身是log-concave的，但是log(Phi(x))-log(Phi(x+c))的
concavity就不会证了 |
c********y
发帖数: 30813 | 7 d(log N(x) )/dx = N'(x)/N(x)
【在 b********e 的大作中提到】
: 个位大大，给点具体提示吧
: 怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊
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f******y
发帖数: 696 | 8 直接求二阶导不行吗？
【在 b********e 的大作中提到】
: BTW,我知道Phi(x)本身是log-concave的，但是log(Phi(x))-log(Phi(x+c))的
: concavity就不会证了
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l***a
发帖数: 12410 | 9 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
after the 2nd derivative there is a (-1) factor times a positive equation
【在 b********e 的大作中提到】
: 个位大大，给点具体提示吧
: 怎么对正太分布的CDF（不是pdf）求log啊，正太分布的CDF没法写出explicit的形式啊
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c********y
发帖数: 30813 | 10 麻烦
下载一个mathematica就行了
【在 l***a 的大作中提到】
: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
: after the 2nd derivative there is a (-1) factor times a positive equation
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l***a
发帖数: 12410 | 11 哦，他不是要证明吗
【在 c********y 的大作中提到】
: 麻烦
: 下载一个mathematica就行了
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b********e
发帖数: 1796 | 12 多谢楼上诸位帮助，真的很感谢
小弟也知道d(log N(x) )/dx = N'(x)/N(x)，然后再求一个二阶导，可以证明分子是负
的，但是这样只能说明 log(Phi(x))是concave的，不能说明log(Phi(x))-log(Phi(x+c
))是concave的啊。现在的情况是两个concave function的差，which并不是default
concave的。。。 |
f******y
发帖数: 696 | 13 我用excel帮你验算了一下，貌似需要满足c>0
否则原命题不成立。
你想想，如果对于某个常数c0，满足log(phi(x))-log(phi(x+c0))是concave的，那么
反过来，log(phi(x+c0））-log(phi(x))就是convex的。也就是说，对于常数c1=-c0来
说，log(phi(x))-log(phi(x+c1))是convex的。 |
b********e
发帖数: 1796 | 14 对，我是要求c>0的，不好意思之前没提到。
多谢楼上的同学 |
c********y
发帖数: 30813 | 15 哎，你只需要求log（N(X))的三阶导就可以了。。。
【在 b********e 的大作中提到】
: 对，我是要求c>0的，不好意思之前没提到。
: 多谢楼上的同学
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b********e
发帖数: 1796 | 16 我也意识到了。。。
三阶导写出来真复杂，我要静下心来算算了。。
【在 c********y 的大作中提到】
: 哎，你只需要求log（N(X))的三阶导就可以了。。。
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c********y
发帖数: 30813 | 17 这还复杂?
要面试的话，这个你起码得3分钟给算出来
【在 b********e 的大作中提到】
: 我也意识到了。。。
: 三阶导写出来真复杂，我要静下心来算算了。。
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b********e
发帖数: 1796 | 18 算出来是（已经删掉了通项，因为只要看这个的正负）
Phi(x)（-x*Phi'(x)+Phi(x)(x^2-1))+2Phi'(x)^2 |
