o*******w
发帖数: 349 | 1 x''(t) = y/r
y''(t) = -x/r
where r = SQRT(x^2 + y^2)
我猜想这是一个椭圆，给一个初始值的话; v(0), r(0);
e.g. 不失一般性
r(0): x=0,
y=r0
v(0): v_x=0,
v_y=0 |
r********n
发帖数: 7441 | |
w********9
发帖数: 8613 | 3 必须知道具体的起始位置和速度
一个极其特殊的情况是：从（1m，1m）点以（1m/s，1m/s）出发的a=1m/s/s的匀加速直
线运动 |
o*******w
发帖数: 349 | 4 起始位置和速度
x=0, y=1m
v(0):（1m/s，1m/s) (比如; 随便设即可)
不可能是匀加速直线运动， 因为加速度方向是变的 （总与径向垂直）, θ(x,y) 是变
的.
a_x = cos(θ)
a_y = sin(θ)
【在 w********9 的大作中提到】
: 必须知道具体的起始位置和速度
: 一个极其特殊的情况是：从（1m，1m）点以（1m/s，1m/s）出发的a=1m/s/s的匀加速直
: 线运动
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m*****n
发帖数: 3575 | 5
不简单
设
x(t)=r(t)CosA(t)
y(t)=r(t)SinA(t)
x'(t)=r'(t)CosA(t)-r(t)SinA(t)
x''(t) = r''(t)CosA(t)-r'(t)SinA(t)-r'(t)SinA(t)-r(t)CosA(t) = SinA(t)
【在 r********n 的大作中提到】
: 转化成极坐标会很简单吧
|
w********9
发帖数: 8613 | 6
你大概没看懂我的意思
我的第一句话是基调
你这“题”没有通解，没有什么“不失一般性”的解法
要做出来就必须给足条件：起始位置和起始速度
我那第2句是举个极特殊情况。告诉你甚至可以不是曲线运动。
别费脑去找什么通解了
【在 o*******w 的大作中提到】
: 起始位置和速度
: x=0, y=1m
: v(0):（1m/s，1m/s) (比如; 随便设即可)
: 不可能是匀加速直线运动， 因为加速度方向是变的 （总与径向垂直）, θ(x,y) 是变
: 的.
: a_x = cos(θ)
: a_y = sin(θ)
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T*******x
发帖数: 8565 | 7 在x=y直线上，如果速度也在x=y直线上，那么它走匀加速运动。如果速度不在x=y直线
上，它看起来像是要渐进回归这条直线。
【在 o*******w 的大作中提到】
: x''(t) = y/r
: y''(t) = -x/r
:
: where r = SQRT(x^2 + y^2)
: 我猜想这是一个椭圆，给一个初始值的话; v(0), r(0);
: e.g. 不失一般性
: r(0): x=0,
: y=r0
: v(0): v_x=0,
: v_y=0
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f****i
发帖数: 1 | 8 算个屁
就是个圆
圆周运动加速度方向永远垂直切线方向，你妈这么明显的特征，还算个屁啊
【在 T*******x 的大作中提到】
: 在x=y直线上，如果速度也在x=y直线上，那么它走匀加速运动。如果速度不在x=y直线
: 上，它看起来像是要渐进回归这条直线。
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l********e
发帖数: 3986 | 9 这有物理原型吗？如果初始条件X，Ｙ ＞ ０， 二次倒数都是正，这玩意很快就能
到光速。 |
o*******w
发帖数: 349 | 10 不好意思，犯了个错误： 应该是
x''(t) = y/r
y''(t) = -x/r
原帖和标题一并改了。多谢！
【在 l********e 的大作中提到】
: 这有物理原型吗？如果初始条件X，Ｙ ＞ ０， 二次倒数都是正，这玩意很快就能
: 到光速。
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w********9
发帖数: 8613 | 11
不一定
如果x和y的分速度都足够负。。。
【在 l********e 的大作中提到】
: 这有物理原型吗？如果初始条件X，Ｙ ＞ ０， 二次倒数都是正，这玩意很快就能
: 到光速。
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S**********A
发帖数: 1 | |
o*******w
发帖数: 349 | 13 应该是
x''(t) = y/r
y''(t) = -x/r
(sorry)
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 不一定
: 如果x和y的分速度都足够负。。。
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T*******x
发帖数: 8565 | 14 哦，那就是弃婴说对了。看来弃婴连你要犯的错误都了解啊。高！
【在 o*******w 的大作中提到】
: 不好意思，犯了个错误： 应该是
: x''(t) = y/r
: y''(t) = -x/r
: 原帖和标题一并改了。多谢！
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o*******w
发帖数: 349 | 15 应该是
x''(t) = y/r
y''(t) = -x/r
-- sorry
那么这是一个什么情形? 能麻烦你再帮我算一下吗
【在 S**********A 的大作中提到】
: 用ode45算了一下，接近于一个y=x的线性方程
: https://www.mitbbs.com/article/Joke/34305233_0.html
|
o*******w
发帖数: 349 | 16 实在是高！
【在 T*******x 的大作中提到】
: 哦，那就是弃婴说对了。看来弃婴连你要犯的错误都了解啊。高！
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 料敌机先啊。
【在 f****i 的大作中提到】
: 算个屁
: 就是个圆
: 圆周运动加速度方向永远垂直切线方向，你妈这么明显的特征，还算个屁啊
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o*******w
发帖数: 349 | 18 就是对面的一个物体永远向我的右方向加速, 大小是 1/r.
【在 l********e 的大作中提到】
: 这有物理原型吗？如果初始条件X，Ｙ ＞ ０， 二次倒数都是正，这玩意很快就能
: 到光速。
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o*******w
发帖数: 349 | 19 不会收敛吗？比如最终是一个大椭圆 （比初始半径大）
【在 S**********A 的大作中提到】
: 用ode45算了一下，接近于一个y=x的线性方程
: https://www.mitbbs.com/article/Joke/34305233_0.html
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T*******x
发帖数: 8565 | 20 也不对。加速度不在径向方向，而是垂直，大小为常数。这不是保守力场。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 哦，那就是弃婴说对了。看来弃婴连你要犯的错误都了解啊。高！
|
f****i
发帖数: 1 | 21 圆周运动不就是这样啊
【在 T*******x 的大作中提到】
: 也不对。加速度不在径向方向，而是垂直，大小为常数。这不是保守力场。
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o*******w
发帖数: 349 | 22 好像不对啊。y 的符号不变的时，x 怎么会向回走呢？
【在 S**********A 的大作中提到】
: 用ode45算了一下，接近于一个y=x的线性方程
: https://www.mitbbs.com/article/Joke/34305233_0.html
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w********9
发帖数: 8613 | 23
加速度永远与位置矢量垂直
相当于径向没有任何约束，切向永远在变加速度。很复杂的火箭系统，与最初位置和状
态有关。也不会有通解
【在 o*******w 的大作中提到】
: 应该是
: x''(t) = y/r
: y''(t) = -x/r
: -- sorry
: 那么这是一个什么情形? 能麻烦你再帮我算一下吗
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w********9
发帖数: 8613 | 24 你如果实在想要圆周
设：
x=cost t
y=sin t
x“=-cost = -x
y“=-sint = -y
因此，你要想办法有必要条件
x”=-x/r
y”=-y/r
但光凭这个也是没法确定是圆 |
o*******w
发帖数: 349 | 25 是不是一个越来越大的类似螺旋状？不收敛？
【在 w********9 的大作中提到】
: 你如果实在想要圆周
: 设：
: x=cost t
: y=sin t
: x“=-cost = -x
: y“=-sint = -y
: 因此，你要想办法有必要条件
: x”=-x/r
: y”=-y/r
: 但光凭这个也是没法确定是圆
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w********9
发帖数: 8613 | 26 别瞎捣鼓了
2阶方程必须有足够的条件
看自由落体或抛物运动就知道了。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 27 初始速度为0的话，螺线运动，圈越来越大。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 也不对。加速度不在径向方向，而是垂直，大小为常数。这不是保守力场。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 28 对。初速度为0的话z
不为0的话。。。
【在 o*******w 的大作中提到】
: 是不是一个越来越大的类似螺旋状？不收敛？
|
o*******w
发帖数: 349 | 29 我认为初速度为0和不为0关系不大，因为我们可将任何大于零的时刻当成初始条件
【在 T*******x 的大作中提到】
: 对。初速度为0的话z
: 不为0的话。。。
|
o*******w
发帖数: 349 | 30 对，就是火箭相对地球横着飞，但加速度是1/r；越远越小。
【在 w********9 的大作中提到】
: 别瞎捣鼓了
: 2阶方程必须有足够的条件
: 看自由落体或抛物运动就知道了。
|
S*********N
发帖数: 6151 | 31
靠，小时候没有玩游戏吧？
就是用绳拴块木头或其他东西，然后拿在手里旋转，逐渐释放。
spiral
【在 o*******w 的大作中提到】
: 对，就是火箭相对地球横着飞，但加速度是1/r；越远越小。
|
w********9
发帖数: 8613 | 32
加速度大小是1，但方向总是在变
最终应该是离原点越来越远
【在 o*******w 的大作中提到】
: 对，就是火箭相对地球横着飞，但加速度是1/r；越远越小。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 33 加速度大小为恒定，方向是一圈一圈的。跟磁力线有点像。离原点远的时候，可以近似
成匀加速度，也就是类似于重力加速度，所以初速度不大的情况，短期轨迹是个抛物线。
大尺度下应该是个螺旋线。也可能有的条件下有渐近线。
【在 w********9 的大作中提到】
:
: 加速度大小是1，但方向总是在变
: 最终应该是离原点越来越远
|
o*******w
发帖数: 349 | 34 有点意思。点对点的情形实际上还有一维 ：加速度在纵向也
是一样的。也就是说横着加速，同时也纵着加速。所以这个orbit是rotating 的；或者
看成地球 is spinning 也可，反正都是相对的。
我这个模型是推导出来，没用"力". 我也不知道应该是什么。看来肯定不是Newton类型
的。能不能是MOND （modified Newtonian dynamics)呢？能不能解释宇宙膨胀现象？
希望能够最后有一个渐进的轨迹，而且跟初始状态无关。这样就能够描述星体之间的行
为是如何演进的；不需要所谓的第一“推动”.
我准备用numerical 的方法解一下。
"加速度大小为恒定，方向是一圈一圈的。跟磁力线有点像。"
确实, x''(t) = y/r， y''(t) = -x/r 是线和点情形的方程,
线。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 加速度大小为恒定，方向是一圈一圈的。跟磁力线有点像。离原点远的时候，可以近似
: 成匀加速度，也就是类似于重力加速度，所以初速度不大的情况，短期轨迹是个抛物线。
: 大尺度下应该是个螺旋线。也可能有的条件下有渐近线。
|
o*******w
发帖数: 349 | 35 没法画在一张图，因为一圈之后，先前的曲线看起来缩成一团。所以分别画了四张图
示意一下(请注意原点在不同的地方)，不同的数量级的加速度.
z x''(t) = 0.01*z/r, z''(t) = -0.01*x/r
2.00 +
|
|
| **
| **
0.00 +
| ****
| ***
| ***
| **
-2.00 +
| **
| **
| **
| *
-4.00 +
| **
| **
| *
| *
-6.00 +
| *
|
-__+_____________+_____________+_____________+__ x
0.00 2.00 4.00 6.00
x''(t) = 0.1*z/r, z''(t) = -0.1*x/r
|
|
0.00 + *
| **
| *
| *
| *
| **
| **
-20.00 +
| **
| **
| ***
| ***
| ****
| ***
-40.00 +
| *****
| *** **
| * **** **
| **
|
|
-60.00 +
-+________+________+________+________+________+________+_ x
-50.00 -40.00 -30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00
z | x''(t) = z/r, z''(t) = -x/r
|
400.00 +
| *
| *
| *
| *
300.00 +
| *
| *
| **
| **
200.00 +
| *
| *
| *
| **
100.00 +
| *
| **
| **
| **
0.00 +
| * *
| * *
| * *
|
-100.00 +
|
-+________+________+________+________+________+________+
-500.00 -400.00 -300.00 -200.00 -100.00 0.00 100.00 x
| x''(t) = 10*z/r, z''(t) = -10*x/r
5000.00 +
|
| *
| *
4000.00 +
| *
| *
| *
| *
3000.00 +
| *
| *
| *
| *
2000.00 +
| *
| *
| *
| *
1000.00 +
| *
| *
| *
| *
0.00 +
|
-+________+________+________+________+________+________+
-1000.0 0.00 1000.00 2000.00 3000.00 4000.00 5000.00
【在 o*******w 的大作中提到】
: 有点意思。点对点的情形实际上还有一维 ：加速度在纵向也
: 是一样的。也就是说横着加速，同时也纵着加速。所以这个orbit是rotating 的；或者
: 看成地球 is spinning 也可，反正都是相对的。
: 我这个模型是推导出来，没用"力". 我也不知道应该是什么。看来肯定不是Newton类型
: 的。能不能是MOND （modified Newtonian dynamics)呢？能不能解释宇宙膨胀现象？
: 希望能够最后有一个渐进的轨迹，而且跟初始状态无关。这样就能够描述星体之间的行
: 为是如何演进的；不需要所谓的第一“推动”.
: 我准备用numerical 的方法解一下。
: "加速度大小为恒定，方向是一圈一圈的。跟磁力线有点像。"
: 确实, x''(t) = y/r， y''(t) = -x/r 是线和点情形的方程,
|
g*********r
发帖数: 1 | 36 转成极坐标，方程变为
r''-r (theta')^2=0
r theta'' + 2 r' theta' = 1.
（应该是-1，但时间反演后可以写成1）
第二个方程积分得
r^2 theta' = t+C，
时间平移后不妨设C=0。于是方程变为
r''= t^2/r^3,
r^2 theta' = t.
只要解出上面第一个方程即可。此方程似乎没有显示解，但可以研究在时间无穷处的渐
进行为。这第一个方程是关于时间反演对称的，故只需考虑时间趋于正无穷的情况。首
先，只要r(0)>0,此方程的解整体存在（不可能有限时间爆破）。原因是在爆破时间 t=
T_0 附近方程的行为接近于r'' = T_0^2/r^3，而后者有能量(r')^2+T_0^2/r^2守恒。
故爆破时间附近r不能趋于0.如果r趋于无穷则r''有界，推出r',r都有界，矛盾。
由于r''>0，解是严格上凸的。故当t趋于无穷时，r只能递增到无穷，或递减到零。若r
递减到零，则r''在t充分大时有下界，故r'必在有限时间内转正，矛盾。故r必须递增
到无穷。
用反证法可以证明，对任意小的ep>0，存在C_1,C_2>0,使得对充分大的t有
C_1 t (log t)^(1/4-ep) < r(t) < C_2 t (log t)^(1/4+ep).
由此可得 theta'(t)=t/r^2> C/[t (log t)^(1/2+2ep)].
上式右边的积分在无穷远处发散，故theta(t)趋于无穷。所以解曲线在t趋于无穷时是
不断旋转的螺旋线。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 37 greatspacer！难得一见啊。
这都好几年了，上站次数还是20。难怪难得一见！
【在 g*********r 的大作中提到】
: 转成极坐标，方程变为
: r''-r (theta')^2=0
: r theta'' + 2 r' theta' = 1.
: （应该是-1，但时间反演后可以写成1）
: 第二个方程积分得
: r^2 theta' = t+C，
: 时间平移后不妨设C=0。于是方程变为
: r''= t^2/r^3,
: r^2 theta' = t.
: 只要解出上面第一个方程即可。此方程似乎没有显示解，但可以研究在时间无穷处的渐
|
